（最新）数形结合的典型例题

（最新）数形结合的典型例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 数形结合思想 一、 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 结合思想 所谓的数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相 互转化来解决数学问题的思想。 数学结合思想的应用包括以下几个方面: (1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维有形象 思维，提示数学问题的本质; (2)“以数助形”，把直观图形数量化，使形更加精确。 二、运用数形结合需要熟练掌握“数”、“形”及其相互转化: 1(“数”:主要是指数和数量关系。 中学阶段的“数”有以下几类: (1)复数;(2)代数式;(3)函数; (4)不等式;(5)方程;(6)向量。 2(“形”:主要是指图形，有点、线、面、体等。 中学阶段的“形”有以下几类: (1)数轴;(2)Venn 图;(3)函数图象;(4)单位圆;(5)方程的曲线;(6)平面 几何的图形; (7)立体几何图形;(8)可行域; 三、数形结合思想应用的关键: 1 (由“数”联想到“形” ;2 (由“图”想“数” 。 四、数形结合思想解决的问题类型: 1(运用数轴、Venn 图解决不等(组)的解集、 集合的运算问题; 2(运用平面直角坐标系和函数的图象解决 函数问题、不等式问题、方程问题; 3(三角函数与解三角形问题; 4(立体几何问题; 5(可行域求最优解问题; 6(数列问题; 7(方程曲线与曲线方程等解析几何问题; 8(复数问题。 数形结合思想的典型试题 以形助数探索解题思路 ?sin πx(0 ? x ? 1) ， 若 a , b, c 互 不 相 等 ， 且 例 6 : ( 改 编 题 ) 已 知 函 数 f ( x) = ? ?log 2011 x( x > 1) f (a ) = f (b) = f (c) ，则 a + b + c 的取值范围是( C ) D( [2,2012] A( (1,2011) B( (1,2012) C( (2,2012) 1 y O a b1 c x 2011 sin x1 sin x2 和b = 的大小. x1 x2 sin x sin x 【分析 及解】由式子 的结构可知, 的的几何意义是连接两点 O ( 0, 0 ) x x T ( x,sin x ) 的直 线的斜率,于是,可以画出 y = sin x 的图象，研究两点 A ( x1 ,sin x1 ) 例 7(设 0 < x1 < x2 < π ,试比较 a = 和 B ( x2 ,sin x2 ) 与 O ( 0, 0 ) 连线的斜率,由 图象可知, kOA > kOB ,即 a > b . y A( x1 , sin x1 ) B( x2 , sin x2 ) O x1 x2 x 变式: sin x 。 x (1)给出下列三个命题，其中真 命题是 已知函数 f ( x) = ?? 。 ? f ( x) 偶函数;? f ( x) < 1 ;? 当 x = (2)满足 f ( nπ nπ π )< f( + ) 的正整数 n 的最小值为 6 6 6 3π 时， f ( x) 取得极小值。 2 9 。 3π 2 数量分析解决图形问题(以数助形) 例 8: (1)下列四个函数图象， 只有一个是符合 y =| k1 x + b1 | + | k 2 x + b2 | ? | k3 x + b3 | (其中 k1 , k 2 , k 3 为正实数， b1 , b2 , b3 为非零实数)的图象，则根据你所判 断的 2 图象， k1 , k 2 , k 3 之间一定成立的关系是( y y x ) y y O O x O x O x ? A( k1 + k 2 = k 3 ? B( k1 = k 2 = k 3 ? C( k1 + k 2 > k 3 ? D( k1 + k 2 < k 3 可行域与最值问题 例 9.( 周 末 练 习 7) 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 ， 且 对 于 任 意 的 x 都 有 f (1 ? x) + f (1 + x) = 0 恒成立. ? f (m 2 ? 6m + 23) + f (n 2 ? 8n) < 0 如果实数 m、n 满足不等式组 ? ，那么 m 2 + n 2 的取 ?m > 3 值范围是( ) A.(3, 7) B.(9, 25) C. (9, 49) D. (13, 49) 解 析 : 由 已 知 可 得 f (x) 的 图 象 关 于 点 (1,0) 对 中 心 对 称 ， 于 是 由 f (m 2 ? 6m + 23) + f (n 2 ? 8n) < 0 可知: m 2 ? 6m + 23 + n 2 ? 8n < 2 即 (m ? 3) 2 + (n ? 4) 2 < 4 ，又由 m > 3 ，可得可行域如图: 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :D 4 y O 3 x 借助图形巧求参数的范 围(值) 例 10(已知 m ? R ，函数 f ( x) = x 2 + 2(m 2 + 1) x + 7, g ( x) = ?(2m 2 ? m + 2) x + m 。 (1)设函数 p ( x) = f ( x) + g ( x) ，如果 p ( x) = 0 在(1,5)内有解但无 重根，求实数 m 的取值范围; ? f ( x), x ? 0 (2)函数 h( x) = ? ，是否存在 m ，对 于任意非零实数 a ，总存在 ? g ( x), x < 0 唯一非零的实数 b(b ? a ) ，使得 h(a ) = h(b) 成立，若存在，求 m 的值， 若不存在，请 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由。 解析:(1) Q p ( x) = f ( x) + g ( x) = x 2 + mx + 7 + m ，令 p ( x) = 0 ，? 3 因 为 方 程 ? 在 (1,5) 内 有 实 数 解 ， 且 没 有 重 根 ， 由 p ( x) = 0 得 m=? x2 + 7 8 = 2 ? ( x + 1) ? ，Q x ? (1,5) ， x +1 x +1 6 令 t = x + 1,2 < t < 6 ， 8 从而原问题转化为函数 y = 2 ? t ? (2 < t < 6) 2?4 2 t 16 与直线 y = m 有交点但不相切。如图， ? < m ? 2 ? 4 2 16 3 ? 3 16 但 m = 2 ? 4 2 时有两个相等的根，? ? < m < 2 ? 4 2 3 2 2 2 6 x (2)由题意得，当 x ? 0 时， h( x) = x 2 + 2(m 2 + 1) x + 7 ， h(x) 在 x ? 0 时单调递增， 且值域 A = [7,+?) ，当 x < 0 时， h( x) = ?(2m 2 ? m + 2) x + m 在 x < 0 时单调递减， 且值域 B = (m,+? ) y y y m 7 m O x 7 O m x 7m O x m<7 m>7 m=7 当 m < 7 或 m > 7 时，不存在 b ，使得 h(a ) = h(b) ，当 m = 7 ，有 h(a ) = h(b) ， 综上所述， m = 7 的所求。 数与形和谐统一 例 11((2012 泉州市质检理 10)函数的图象与方程的曲线有着密切的联系， 如