高分子链均方末端距三种已知方法的比较和一些想法

高分子链均方末端距三种已知方法的比较和一些想法     ――――――――――材料物理020倪孝威 小目录 （）公式推导的对象 一. 数学向量几何做法最好 1， 向量几何法的推导 2， 向量几何法的想法 二. 无规飞行方法的一种推导 1， 无规飞行的推导过程 2， 无规飞行的想法 三. 中科大的麦克斯韦分布类比推导 1， 麦克斯韦分布的推导过程 2， 麦克斯韦和无规飞行中的类似性 3， 麦克斯韦法的本质的东西――寻找其他类型的分布可能性 四. 麦克斯韦经典分布和两种量子分布的介绍 五. 尝试量子分布推导的天真失败 六. 麦克斯韦分布的另类尝试 七. 结果与思考 八. 参考文献高分子 九. 兴趣小组的感想 …（）公式推导的对象―――自由结合链 一个孤立的高分子链，在内旋转时有键角限制和位垒障碍，情况非常复杂。我们从最简单的情况开始考虑，这符合认真事物规律的方法。利用一个理想化模型：假定分子是由足够多的不占体积的化学键自由结合而成，内旋转没有键角和位垒的障碍，其中每个键在任何方向的几率都相等，我们称这种链为自由结合链。 一. 数学向量几何做法最好   1，向量几何法的推导 现以碳--碳单键组成的碳链高分子为例: 首先讨论”自由结合链”,即键长l固定,键角不固定,内旋转自由的理想化的模型. 由n个键组成的”自由结合链”的末端距应该是各个键长的矢量加和, 式中f, j----自由连接. 则 均方末端距     在数学上, 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示在上的投影与的模的乘积 当i=j的项, =,共n项 这是因为对于自由结合链来说,键在各个方向取向的几率相等.所以 2， 向量几何法的想法 该方法容易理解也，思考的比较数学化，得出的结果是后面方法的一个依据。从 可以看出自由结合链的尺寸比完全伸直链尺寸小得多。 二.  无规飞行方法的一种推导 ――――――――无规飞行是从一维到三维的独立性而得 1.设键长为l, 无规飞行的推导过程 键数为n得”自由结合链”的一端固定在坐标原点,则另一端在空间的位置随时间而变化,末端距h是一个变量,而均方末端距可用下式表示 式中-----末端距的几率密度 对于一维空间的无规行走 它的推导如下 在具体的情况下,许多等长的分子链的末端距总是无规分布的,其推导方法类似于理想气体的麦克斯维(Maxwell)分布. 设链末端距沿x轴方向的分布函数为W(x),因为链末端距在空间的分布是对称的,W(x)=W(-x), 所以,W(x)必为x的函数.对于最简单的情况, 当键的数目n减少时,对于空间三个方向的三个分布函数必定是互相有关的. 例如 ,x=1时,必须遵守,其中, 是键长.随着分子链中键的数目增加,总分布函数的三个分量的互相关系就变得少了,如果n很大,均方末端距比完全伸直分子链的长度平方小得多,那么,各分量可看作是互相独立的,所以,总几率就是各个几率的乘积.- ------- 这个总几率与空间方向无关,它必须是均方末端---的函数 于是,必定有 ------- 只有一个数学函数能满足上式的条件,即 ………………………….(1) 用负号是使x趋于无穷大时W(x)趋于零,常数a和b可由分布函数的归一化条件来确定,即 …………..(2) 分布函数的二次矩给出h分量的均方值 即—-(自由结合链)        （ $$） 则 …….(3) 用式(3)除以式(2),并代入式(1)可得 式中 2.无规飞行的想法 ,由（ $$）式子可知 中的式中是在令而得到的 这点我认为很重要!―――这点在麦克斯韦法上有类似的事情。也就是说它的结果常数的确定是在是在的基础上得到的，这就为其他可能分布的证明方法指导了方向。 三．从麦克斯韦速度分布函数直接推导高分子链末端分布函数的方法 1，麦克斯韦分布的推导过程 实际上，在数学上求解末端距h于求解小分子运动速度v一样，都采用了向量运算，同时对于大量小分子的集合体，麦克斯韦认为速度三个分量的分布也是彼此独立的，那么，就可以从熟知的麦克斯韦速度分布函数直接推导出高分子链末端距的径向分布函数。他的这种证明方法和上面无规飞行方法的一种推导，有很大的类似性。 气体中，每个分子的速率（用v表示）时刻在变，完全受概率所支配，麦克斯韦假定：在热平衡态下，速度三个分量    的分布是彼此独立的，此外，对于宏观上静止的气体来说，在速度的分布是各向同性的，这就是说，在速度空间中，  的分布需要用同一形式的函数表示，且仅取决于速度的量值，与它在空间的方向无关，即：               （4） 满足（1）式的唯一函数应具有如下形式：  （5） 由此得出 上式中的参数由如下的归一化条件决定: 这里是分子的平均动能。将得出的  代回（6）式得到麦克斯韦速度分布函数 ： (7)如果考虑到速度分布的各向同性，麦克斯韦速度分布函数又可以表示为：   （8） 式中  为速度空间中的半径为 的球壳面积 显然， 的独立性是麦克斯韦推导气体速度分布函数中最重要、最基础的一步，这个假定对于含有大量分子（个或更多个）的体系是成立的。对于线形高分子链，末端距h与速度v一样，在数学上采用向量运算来处理，同时对于这种由大量结构单元联结而成的长链分子，类似的独立性假设(即：高分子链末端距三个分量  分布独立)也是合理的，因此从数学来看，高分子链末端距的径向分布与描述小分子运动的麦克斯韦分布就是同一种函数形式，从而可以根据麦克斯速度分布函数直接写出高分子末端距的径向分布函数：    （9） 再根据下列归一化条件： 得到      这样（5）式可表示为：         （10） 这里，和分别代表主链上可划分出来的最小独立运动单元的数目和长度，略小于，表示主链上的单健的数目。这是因为，高分子链主链上的单健虽然能够发生不同程度的内旋转，但是单健旋转时互相牵制，一个健转动，带动相邻健以及靠的较近的一段链节的一起运动，这样每个键不可能成为一个独立运动单元，但是只要主要主链足够长，且具有一定的柔性，则总可以把若干个键组成的一段链看作一个独立运动单元，称它为“链段”，链段之间按无规行走方式运动。对于聚乙烯，=/10，仍是一个很大的数。由于每个链段的运动类似于单个小分子的运动，因此又称为微布朗运动。 2，麦克斯韦和无规飞行中的类似性 它们的类似性从上面的过程中明显可以看得出来。我认为它们的类似性不是偶然的。是它们思想方法本质上是一致的，或者说中科大的麦克斯韦分布法是对无规飞行方法的继承很发展。它们的共同立足点是“高分子链末端距三个分量  分布独立”。所以,它的分布的总几率就是各个几率的乘积.-进推导出特殊的函数式。 3， 麦克斯韦法的本质的东西――寻找其他类型的分布可能性 麦克斯韦法的本质的东西――就是刚刚在无规后面我认为很重要的一点， 归一化条件： 或者＝ 它寻找其他类型的分布可能性。也就是说若能找到其他的分布代入这个条件，解出常数，就有可能推出新的方法。由此启发我开始了寻找其他分布的历程。 四，麦克斯韦经典分布和两种量子分布的介绍 1，麦克斯韦经典分布 对于服从古典规律的粒子系统,速率分量在                            之间的平均粒子数 是 麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数正比于粒子出现于状态 时的 概率密度 它的具体形式同(7) （11） 这里,N是粒子总数,m是每个粒子的质量,k是玻尔兹曼常数,和T是绝对温度。 它等价形式为 （12）， 为对某一能级为（简并度为）上的粒子数。 由    总粒子数 总能量 可以联合推出 2.两种量子统计分布 量子统计描述由大量粒子组成的服从量子力学规律的系统,每一个系统具有大量的离散态,每一个态由一组完全的量子数描述,系统中每一个粒子占据着其中的一个态,量子统计区别于经典统计的特点之一是其推导建立在量子分布函数上,这里粒子是不能彼此区分的. （1）费米-狄拉克分布(F—D)具有半整数自旋的粒子称为费米子,它的统计由E.费米和P.狄拉克提出,费米系统的一个例子是大量的相互间的作用微弱的电子(自旋1/2),即电子“气” 费米-狄拉克分布函数描述服从泡利原理的，全同的，不可区分的粒子，在绝对温度T下平衡的费米子系统中，在能量下的某个态i中粒子期望数是 （13） 这里k是玻尔兹曼常数，而 称为费米能，它是描述的系统的一个特征， 和 两者都是T的函数，当， ，一个正常数。或的准确形式由系统中的粒子数是固定数的规一化条件确定。 F—D等价形式是 （14） 为对某一能级为（简并度为）上的粒子数。 由    总粒子数 总能量 可以联合推出 （2）.玻色 爱因斯坦分布（B—E） 玻色 爱因斯坦分布提出了一个统计，它适用于大量的，相互作用弱的，具有整数自旋的，全同的和不可区分的粒子所组成的系统。这些粒子称为 玻色子，不服从泡利不相容原理，玻色系统的例子是光子，分子和液氮。 玻色-爱因斯坦分布函数给出在温度T下平衡的系统的玻色子平均数，在能量为的特定态i上有 量的值与正要讨论的一个玻色系统有关。 B――E的等价形式是 （15） 为对某一能级为（简并度为）上的粒子数。 由    总粒子数 总能量 可以联合推出 五，尝试量子分布推导的天真失败 由F—D等价形式 （14） 和B――E的等价形式   （15） 当也就是，即满足弱简并条件时可以得到 （14）变为同（12）， （15）变为同（12） 可以看出，在满足弱简并条件的情况下，两种量子统计F—D和B—E的分布函数都可以用M――B统计分布函数来近似。 三种分布可以统一写为 A＝－1 ,为玻色－爱因斯坦(适用于全同粒子) A=  0 ,为麦克斯韦玻尔兹曼分布 （适用可分辨粒子，或者满足弱简并条件的全同粒子） A＝＋1，为费米－狄拉克分布（适用于全同粒子，满足泡利不相容原理） 弄清楚以上三种的统计分布函数之后发现，两种量子统计分布的条件都是全同粒子。所以尝试用量子统计分布来处理高分子末端距的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 看来有些太天真了。 因为高分子链，不可能是全同的（至少我认为是这样），很显然从高分子的分子量分布图中也可以看得出来。即使作理想的高分子链段，也不可能保证全同。 所以想用量子统计分布来推导高分子末端距的道路是走不通的。 六，麦克斯韦分布的另类尝试   既然量子统计分布是不通的，那么我们就不走下去了。在麦克斯韦分布函数法推导的过程中，我受到了点启发。观察式（6）和（11） （11） 可以看出＝再有v和h建立联系，从而类比得到＝ 进而得出径向分布函数为 再带入归一化条件处理即可（上面式（9）后面有） 那么我想之间找E和h的联系性，也就是能量和均方末端距的处理。由（11）得 类比从而 径向分布函数为 代入归一化条件：归一化条件： 或者＝ 得到和 原则上可以解出和，限于笔者水平有限，在此不作求解，猜想可能得不到精确解。要用数学软件比较好。 七，结果与思考 1， 首先向量几何法还是很经典的是后面两种方法的依归。起此中科大的麦克斯韦分布函数法本质上于无规飞行是相通的。 2， 两种量子统计费米狄拉克分布和玻色爱因斯坦分布不能用来推导高分子末端距分布。起初想从这两种量子统计中来推导是种天真的失败。或许当高分子的链段都达到全同时可以，但那种情况的概率几乎为零。 3， 麦克斯韦分布函数的另类思考是想建立以原始麦克斯韦统计中含能量的表达是来建立和末端距的联系。然后代入归一化的条件于向量几何法的结果进行统一，正确与否还待商讨。 八，参考文献 （1） 何平笙，朱平平，杨海洋.高分子通报，2004，6：91－93 （2） 宗祥福，翁渝民.材料物理基础，上海，复旦大学出版社，2002 （3） 金日光，华幼光.高分子物理，北京，化学工业出版社，1991年6月第一版 （4） R.戈特罗 W.萨万著，孙宗扬 译，北京，科学出版社，2002年2月第一版 （5） 韩哲文主编，高分子科学 教程 人力资源管理pdf成真迷上我教程下载西门子数控教程protel99se入门教程fi6130z安装使用教程 ，上海，华东理工大学出版社，2001年12月 九，兴趣小组的感想 1， 参加兴趣小组有利于高分子物理课程的学习。和这门课程拉近了距离。 2， 和求知欲强勤奋好学的同学们以及老师的交流是件让我有所启发和高兴的事情。 3， 学到了很多东西，即使没有多大的成果，起码也把文档中公式编辑器练熟练了。 4， 这篇文章拖了好久才出来，让我体会到以后处理好多事情要果断及时。要专心投入集中做一件事才有成果。另外，就是尽一切可能去兑现自己的诺言。