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高中数学人教a版必修课时达标检测(四)三角函数线及其应用.doc

高中数学人教a版必修课时达标检测(四)三角函数线及其应用.doc

上传者: 彭劳谦 2018-01-13 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《高中数学人教a版必修课时达标检测(四)三角函数线及其应用doc》,可适用于高中教育领域,主题内容包含高中数学人教a版必修课时达标检测(四)三角函数线及其应用课时达标检测(四)三角函数线及其应用一、选择题ππ(角和角有相同的()A(正弦线B(余弦线C符等。

高中数学人教a版必修课时达标检测(四)三角函数线及其应用课时达标检测(四)三角函数线及其应用一、选择题ππ(角和角有相同的()A(正弦线B(余弦线C(正切线D(不能确定答案:C(已知α的余弦线是单位长度的有向线段那么α的终边在()A(x轴上B(y轴上C(直线y,x上D(以上都不对答案:Aππ(若,θ,则sinθcosθtanθ的大小关系是()A(tanθ,cosθ,sinθB(sinθ,tanθ,cosθC(cosθ,tanθ,sinθD(cosθ,sinθ,tanθ答案:D(设a,sin(,)b,cos(,)c,tan(,)则有()A(a<b<cB(b<a<cC(c<a<bD(a<c<b答案:C(使sinxcosx成立的x的一个变化区间是()ππππA,B,ππC,D(π答案:A二、填空题(利用单位圆可得满足sinα,且α(π)的α的集合为(ππ,,,,答案:π,,,,(若<α<π且sinα<cosα>利用三角函数线得到α的取值范围是(ππ,,,,π答案:,,,,ππ,,(若θ则sinθ的取值范围是(,,,,答案:,,,三、解答题π(试作出角α,的正弦线、余弦线和正切线(π试作出角α,的正弦线、余弦线和正切线(π解:如图:α,的余弦线、正弦线和正切线分别为OM~MP和AT,sinx,,(利用单位圆中的三角函数线求满足的x的取值范围(,,cosx,,sinx~,,sinx~,,,解:由得,,,cosx,,~cosx,,,如图所示~由三角函数线可得kπxkππkZ~,,,ππkπ,<x,kπkZ,,π此交集为图形中的阴影重叠部分~即kπx,kπ(kZ)(,π,,,故x的取值范围为x|kπx,kπ~kZ,,π(试利用单位圆中的三角函数线证明:当<α<时sinα<α<tanα证明:如图~单位圆与α的终边OP相交于P点~过P作PMx轴~垂足为M~连接AP~过单位圆与x轴正半轴的交点A作ATx轴交OP于点T~则sinα,MP~α,AP~tanα,AT~由S<S~即扇形OAPOATOAAP<OAAT~所以AP<AT又MP<PA<AP~因此MP<AP<AT~即sinα<α<tanα课时作业(一)正弦定理A组基础巩固(在ABC中已知b,c,C,则此三角形的解的情况是()A(有一解B(有两解C(无解D(有解但解的个数不确定bc解析:由正弦定理,~sinBsinCsinCb得sinB,,,>cB不存在(即满足条件的三角形不存在(答案:C(在ABC中角A、B、C的对边分别为abc且acosBacosC,bc则ABC的形状是()A(等边三角形B(锐角三角形C(钝角三角形D(直角三角形解析:acosBacosC,bc~由正弦定理得~sinAcosBsinAcosC,sinBsinC,sin(AC)sin(AB)~化简得:cosA(sinBsinC),~又sinBsinC>~πcosA,~即A,~ABC为直角三角形(答案:D(在ABC中一定成立的等式是()A(asinA,bsinBB(acosA,bcosBC(asinB,bsinAD(acosB,bcosAabc解析:由正弦定理,,~得asinB,bsinAsinAsinBsinC答案:C(在ABC中已知B,最大边与最小边的比为则三角形的最大角为()A(B(C(D(asinAsinA解析:不妨设a为最大边~c为最小边~由题意有,,~即,csinCsin,A整理~得(,)sinA,()cosAtanA,~A,~故选B答案:B(在ABC中BAC,AD为角A的平分线AC,AB,则AD的长是()A(B(或C(或D(解析:如图~由已知条件可得DAC,DAB,AC,~AB,~SS,S~ACDABDABCADAD,~解得AD,答案:A(在ABC中A,BC,则ABC的两边ACAB的取值范围是()A(B((,)C((D((,ACABBC解析:由正弦定理~得,,,sinBsinCsinAAC,sinB~AB,sinCACAB,(sinBsinC),sinBsin(,B),,,sinBcosBsinB,,,,,sinBcosB,,,,,,sin(B)(sinBcosB,,<B<~<B<<sin(B)<sin(B)<ACAB答案:Dππ(已知在ABC中ab,A,B,则a的值为(asinB解析:由正弦定理~得b,,asinA由ab,aa,~解得a,,答案:,(若三角形三个内角的比是最大的边是则最小的边是(解析:三个内角和为~三个内角分别为~~x设最小的边为x~最大的边为~,~x,~sinsin最小的边是答案:(在ABC中B,AC,cosC,求BC边的长(解:cosC,~,,sinC,,cosC,,,,,sinA,sin(BC),sin(C),(cosCsinC),由正弦定理可得:ACsinABC,,,sinB(在ABC中角ABC所对的边分别为abc已知a,cosA,B,Aπ()求b的值()求ABC的面积(解:()在ABC中~由题意知sinA,,cosA,~π又因为B,A~π,,所以sinB,sinA,cosA,,,由正弦定理可得asinBb,,,sinAπ()由B,A得π,,cosB,cosA,,sinA,,~,,由ABC,π~得C,π,(AB)(所以sinC,sinπ,(AB),sin(AB),sinAcosBcosAsinB,,,,,,,因此ABC的面积S,absinC,,B组能力提升(若ABC的三个内角ABC所对的边分别为abcasinAsinBbcosA,ba则,()aA(B(CD解析:由正弦定理得~sinAsinBsinBcosA,sinA~即sinB(sinAcosA),sinA~b故sinB,sinA~所以,a答案:Da,bc(已知在ABC中ABC,a,则,sinA,sinBsinC解析:ABC,~A,~B,~C,abc,,,,~sinAsinBsinCsina,sinA~b,sinB~c,sinCa,bc,sinA,sinBsinC答案:如图D是RtABC斜边BC上一点AB,AD记CAD,αABC,β()证明:sinαcosβ,()若AC,DC求β的值(ππ解:()证明:α,,(π,β),β,~π,,sinα,sinβ,,,cosβ~即sinαcosβ,,,()解:在ADC中~由正弦定理~DCAC得,~sinαsinπ,βDCDC即,~sinβ,sinαsinαsinβ由()得sinα,,cosβ~sinβ,,cosβ,,(,sinβ)~由sinβ,sinβ,,~解得sinβ,或sinβ,,ππ<β<~sinβ,~β,absinB(在ABC中已知,且cos(A,B)cosC,,cosCsinB,sinaA()试确定ABC的形状ac()求的取值范围(bababsinBb解:(),~,~asinB,sinAab,ab,a,abcos(A,B)cosC,,cosC~cos(A,B),cos(AB),sinCcosAcosBsinAsinB,cosAcosBsinAsinB,sinCsinAsinB,sinCsinAsinB,sinCab,cb,a,c~即ac,bABC为直角三角形(π()在ABC中~B,~πAC,~sinC,cosAacsinAsinCsinAsinC,,,sinAcosA~bsinBπsinacπ,,,sinA,,bππππ<A<~<A<ππ,,,,<sinA<sinA~,,,,ac即的取值范围为(~(b课时作业(二)余弦定理A组基础巩固(边长为,,的三角形的最大角与最小角之和为()A(B(C(D(解析:设长为的边所对的角为θ~由已知条件可知角θ为中间角(,cosθ,,~θ,~最大角与最小角的和为答案:B(若ABC的内角ABC所对的边abc满足(ab),c,且C,则ab的值为()A(,B(CD解析:C,~c,ab,abcos~即c,ab,ab又(ab),c,~c,abab,比较知,ab,ab,~ab,答案:C(ABC的两边长分别为,其夹角的余弦值为则其外接圆半径为()ABCD解析:不妨设c,~b,~则cosA,~sinA,a,bc,bccosA~a,,,~a,aa,R~R,,,sinAsinA答案:C(ABC的三边长分别为AB,BC,CA,则ABBC的值为()A(B(C(,D(,解析:由余弦定理的推论ABBC,ACcosB,,~ABBC,,又ABBC,|AB||BC|cos(π,B),,,,,,答案:D(已知锐角ABC的内角ABC的对边分别为abc,cosAcosA,a,c,则b,()A(B(C(D(解析:先求出角A的余弦值~再利用余弦定理求解(由cosAcosA,得cosAcosA,,~解得cosA,A是锐角~cosA,又a,bc,bccosA~,b,b~b,或b,,又b>~b,答案:D(在ABC中内角ABC所对的边分别是abc已知b,cC,B则cosC,()AB(,C(DsinCc解析:由C,B得sinC,sinB,sinBcosB~由正弦定理得cosB,,,~sinBb,,所以cosC,cosB,cosB,,,,~故选A,,答案:A(在ABC中角ABC的对边分别为abc且a,b,c,则bccosAaccosBabcosC的值是(bc,a解析:cosA,~bcbccosA,(bc,a)(同理accosB,(ac,b)~abcosC,(ab,c)(bccosAaccosBabcosC,(abc),答案:(设ABC的内角ABC的对边分别为abc且a,b,cosC,则sinB,ab,c,c解析:由余弦定理及题中条件可得cosC,,,~解得c,~所以abABC为以BC为底边的等腰三角形~故B,C~得cosB,由同角三角函数的基本关系式可得sinB,,cosB,~又因为B(~π)~可得sinB,答案:(在ABC中a、b、c分别是角A、B、C所对的边长若(abc)(sinAsinB,sinC),asinB求C的大小(解:由题意可知~(abc)(ab,c),ab~于是有aabb,c,ab~ab,c即,~ab所以cosC,~所以C,(在ABC中角ABC的对边分别为a、b、ctanC,()求cosC()若CBAC,,且ab,求csinC解:()tanC,~,~cosC又sinCcosC,~cosC,又tanC>~C为锐角(cosC,()CBAC,,~CBCA,abcosC,又cosC,~ab,ab,~(ab),aabb,~ab,由余弦定理~得c,ab,abcosC,,,~c,B组能力提升(在ABC中角ABC所对的边长分别为abc若C,c,a则()A(a>bB(a<bC(a,bD(a与b的大小关系不能确定,aa解析:c,ab,abcos~c,abab,a,b,<a~故选A答案:AAC(在锐角ABC中BC,B,A则的值等于AC的取值范cosA围为(解析:设A,θB,θACBC由正弦定理得,~sinθsinθACAC,,cosθcosθ由锐角ABC得<θ<<θ<又<,θ<<θ<故<θ<<cosθ<AC,cosθ(~)(答案:()(已知ABC的周长为且sinBsinC,sinA()求边BC的长()若ABC的面积为sinA求角A的度数(解:()由题意及正弦定理~得ACAB,BCABBCAC,~BCBC,~BC,()S,ACABsinA,sinA~ABCACAB,又ACAB,~由余弦定理~得ACAB,BCcosA,ACABACAB,ACAB,BC,ACAB,,,,~A,(已知向量m,(cosωxsinωx)n,(cosωx,cosωx,sinωx)ω>函数f(x),πmn|m|且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为()求ω的值()在ABC中abc分别是角ABC的对边f(A),c,S,求aABC的值(解:()f(x),mn|m|,cosωxsinωxcosωx,sinωx,cosωxsinωx,π,,sinωx,,π由题意知T,π~又T,,π~ω,ωπ,,()f(x),sinx~,,ππ,,,,f(A),sinA,~sinA,,,,,πππ<A<π~<A<π~πππA,~A,~S,bcsinA,~b,ABCa,bc,bccosA,,,a,课时作业(三)正、余弦定理在实际中的应用A组基础巩固(如图在一幢m高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为塔基的俯角为则这座塔的高度是(),,A(m,,B(()mC(()mD(()m解析:如图~过点A作AECD交CD于点E由已知可得DAE,~EAC,~AB,~AE,CE,~DE,CD,,()(答案:B(海上有AB两个小岛相距nmile从A岛望C岛和B岛成的视角从B岛望C岛和A岛成的视角则BC之间的距离为()A(nmileBnmileC(nmileD(nmile解析:在ABC中~A,~B,~C,ABBCABsinA,~BC,,,sinCsinAsinC答案:D(如图要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分)可在岸边一建筑物AB上进行有关的ππ测量(已知AB,米且测出CAD,ACB,则灯塔CD的高度为()A((,)米B((,)米C(米D(()米AB解析:在RtABC中~AC,,(米)(sinACBCDAC在ACD中~由正弦定理可知,~sinCADsinADCACsinCAD从而CD,sinADCπππ又ADC,π,CAD,ACD,π,,,~πππ,,sinADC,sin,sin,~,,所以CD,,(,)(米)(答案:A(如图为了测量某湖泊的两侧AB的距离给出下列数据其中不能唯一确定AB两点间的距离的是()A(角A、B和边bB(角A、B和边aC(边a、b和角CD(边a、b和角A解析:根据正弦定理和余弦定理可知~当知道两边和其中一边的对角解三角形时~得出的答案是不唯一的~所以选D答案:D(如右图从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆BC的俯角分别为αβ此时气球的高度为h则两个场馆BC间的距离为()hsinβ,αhsinαsinβABsinα,βsinαsinβhsinαhsinβCDsinβsinα,βsinαsinα,βACsinβ,αh解析:在RtADC中~AC,~在ABC中~由正弦定理~得BC,,sinβsinαhsinβ,αsinαsinβ答案:B(一艘轮船从A出发沿南偏东的方向航行海里后到达海岛B然后从B出发沿北偏东的方向航行了海里到达海岛C如果下次航行直接从A出发到C此船航行的方向和路程(海里)分别为()A(北偏东()B(北偏东()C(北偏东()D(北偏东()解析:由题可知ABC,~在ABC中~AB,~BC,~所以AC,ABBC,ABBCcosABC,(),cos(),~所以AC,()BCACACsinABC,sinBAC,,~所以BAC,~所以下次航行直sinBACsinABCBC接从A出发到C~航向为北偏东~故选C答案:C(如图为测量山高MN选择A和另一座山的山顶C为测量观测点(从A点测得M点的仰角MAN,C点的仰角CAB,以及MAC,从C点测得MCA,已知山高BC,m则山高MN,m解析:利用三角函数的定义及正弦定理求解(根据图示~AC,m在MAC中~CMA,,,,ACAM由正弦定理得,AM,msinsinMN在AMN中~,sin~AMMN,,(m)(答案:(某海岛周围海里有暗礁一轮船由西向东航行初测此岛在北偏东方向航行海里后测得此岛在东北方向若不改变航向则此船触礁的危险((填“有”或“没有”)解析:如图~在ABC中~AB,~BAC,~ABC,~ACB,AB由正弦定理~得BC,sinBAC,sin,,()(sinACBsin,过点C作CD垂直AB~交AB的延长线于点D在RtBDC中~CD,BC,()>所以没有触礁的危险(答案:没有(如图为了解某海域海底构造对海平面内一条直线上的ABC三点进行测量(已知AB,mBC,m于A处测得水深AD,m于B处测得水深BE,m于C处测得水深CF,m求DEF的余弦值(解:作DMAC交BE于点N~交CF于点M~作FHAC交BE于点H由题中所给数据~得DF,MFDM,,~EN,DE,DN,~EF,EHFH,,DEEF,DF,在DEF中~由余弦定理~得cosDEF,,,DEEF(一只船以海里时的速度向正东航行它在A点时测得灯塔P在船的北偏东方向小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东方向求:()船在B点时与灯塔P的距离()已知以P点为圆心海里为半径的圆形水域内有暗礁那么此船继续向正东航行有无触礁的危险,解:如图~在ABP中~依题意~知AB,,~PAB,~ABP,~所以BPABAPB,由正弦定理得,~解得BP,()(sinsin()过P点作PDAB~D为垂足~在RtBPD中~PD,BP,<故船在B点时与灯塔相距()海里~继续航行有触礁的危险(B组能力提升(一货轮航行到M处测得灯塔S在货轮的北偏东方向上与灯塔S相距nmile随后货轮按北偏西的方向航行h后又测得灯塔在货轮的东北方向则货轮的速度为()Anmileh,BnmilehCnmileh,Dnmileh解析:如图~在MNS中~MS,~NMS,~SNM,~MSN,在MNS中~由正弦定理~MSMN得,sinMNSsinMSNsinMN,,,(,)(sin,货轮的速度为nmileh答案:B(甲船在岛B的正南A处AB,nmile甲船自A处以nmileh的速度向正北航行同时乙船以nmileh的速度自岛B出发向北偏东方向驶去则两船相距最近时经过了min解析:设甲、乙两船行驶xh后~分别位于C、D处~CD,y~如图所示(在CBD中~y,(,x)(x),(,x)xcos,x,x,,,x,~,,所以当x,h~即x,,min时~y,min答案:(已知海岛B在海岛A的北偏东方向上A、B相距海里小船甲从海岛B以海里小时的速度沿直线向海岛A移动同时小船乙从海岛A出发沿北偏西方向也以海里小时的速度移动(()经过小时后甲、乙两小船相距多少海里,()在航行过程中小船甲是否可能处于小船乙的正东方向,若可能请求出所需时间若不可能请说明理由(解:()经过小时后~甲船到达M点~乙船到达N点~|MN|,|AM||AN|,|AM||AN|cos,,,~|MN|,()设经过t(<t<)小时小船甲处于小船乙的正东方向(则甲船与A距离为|AE|,,t海里~乙船与A距离为|AF|,t海里~EAF,~,t|AE||AF|tEFA,~则由正弦定理得,~即,~sinsinsinsinsint,,<sinsin答:经过小时小船甲处于小船乙的正东方向((某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击发出呼叫信号如图我海军护航舰在A处获悉后立即测出该货船在方位角为距离为海里的C处并测得货船正沿方位角为的方向以海里小时的速度向前行驶我海军护航舰立即以海里小时的速度前去营救求护航舰的航向和靠近货船所需的时间(解:设所需时间为t小时~则AB,t~CB,t~ACB,~在ABC中~根据余弦定理~则有AB,ACBC,ACBCcos~可得(t),(t),tcos~整理得t,t,,~解得t,或t,,(舍去)(舰艇需小时靠近货船(此时AB,~BC,~又AC,~所以CAB,~所以护航舰航行的方位角为课时作业(四)正、余弦定理在三角形中的应用A组基础巩固cosAb(在ABC中若,,则ABC是()cosBaA(直角三角形B(等腰三角形C(等腰或直角三角形D(等腰直角三角形bsinBcosA解析:根据正弦定理,,~因此sinBcosB,sinAcosA~即sinB,sinA~所asinAcosBbπ以B,A或BA,π~由于,~所以BA,π成立~即BA,a答案:A(ABC中AB,AC,B,则ABC的面积等于()ABC或D或解析:,~sinC,<C<~C,或()当C,sinsinC时~A,~BC,此时S,ABC()当C,时~A,~此时S,sin,ABC答案:D(在ABC中A,AB,AC,则S的值为()ABCABCD(解析:S,ABACsinA,ABC答案:B(在ABC中A,AB,且ABC的面积S,则边BC的长为()ABCAB(CD(解析:S,ABACsinA,~ABCAC,~由余弦定理可得BC,ABAC,ABACcosA,,cos,即BC,答案:A(若ABC的周长等于面积是B,则边AC的长是()A(B(C(D(解析:设ABC中~A、B、C的对边分别为a、b、c~已知B,~由题意~得c,bacos,~ac,,acsin,~,abc,~b,ac,ac~,,ac,~即,,abc,,解得b,~边AC的长为答案:C(在ABC中D是边AC上的点且AB,AD,AB,BDBC,BD则sinC的值为()ABCD解析:设AB,AD,~则BD,AB,~BC,BD,~在ABD中利用余弦定理得,cosA,,~,,sinA,,,,,BCAB在ABC中利用正弦定理得,~sinAsinCABsinAsinC,,,~故选DBC答案:D(在ABC中已知a,b,角C的余弦值是方程xx,,的根则第三边c的长为(解析:xx,,可化为(x,)(x),x,~x,,(舍去)(cosC,根据余弦定理~c,ab,abcosC,,,c,~即第三边长为答案:(已知ABC的三个内角ABC满足B,AC且AB,BC,则BC边上的中线AD的长为(解析:B,AC~ABC,B,~B,~BC,~BD,~在ABD中~AD,ABBD,ABBDcos,,cos,答案:(在锐角三角形中边a、b是方程x,x,的两根角A、B满足:sin(AB),,求角C的度数边c的长度及ABC的面积(解:由sin(AB),,~得sin(AB),~ABC为锐角三角形~AB,~C,~又a、b是方程x,x,的两根~ab,~ab,c,ab,abcosC,(ab),ab,,,~c,~S,absinC,,ABC(在ABC中角ABC所对的边分别为abc求证:abcosBcosA,,,,c,,,babaac,b证明:由余弦定理的推论得cosB,~acbc,acosA,~代入等式右边~得bcac,bc,ab,,右边,c,,,abcabca,ba,bab,,,,,左边~ababbaabcosBcosA,,,,c,,,babaB组能力提升(在平行四边形ABCD中对角线AC,BD,周长为则这个平行四边形的面积为()A(BC(D(解析:如右图~设AB,CD,a~AD,BC,b~,ab,~,,则,ab~,,,ab,~,,即ab,~,,,,a,~a,~,,,,解得或b,~b,~,,,,,cosBAD,,~sinBAD,~从而S,,ABCD答案:Ac(若三角形ABC的三个内角ABC所对的边分别为abc且满足等式aba,b则B,bcca解析:,b~abbca,bcab,abcb,bc,abc,~即(abc)(ac,b,ac),又a~b~c表示边长~abc~ac,b,ac,~由余弦定理的推论得cosB,~B,答案:(在ABC中内角ABC的对边分别为abc且bsinA,acosB()求角B的大小()若b,sinC,sinA求ac的值(ab解:()由bsinA,acosB及正弦定理,~得sinB,cosB~sinAsinB所以tanB,~π所以B,ac()由sinC,sinA及,~得c,asinAsinC由b,及余弦定理b,ac,accosB~得,ac,ac~所以a,~c,(在ABC中求证:asinBbsinA,absinC证明:法一:左边,asinBcosBbsinAcosAac,bbc,aba,abRacRbcab,(ac,bbc,a)Rcabc,c,ab,absinCRcR,右边(所以原式得证(法二:asinBbsinA,(RsinA)sinBcosB(RsinB)sinAcosA,RsinAsinB(sinAcosBcosAsinB),RsinAsinBsin(AB),RsinAsinBsinC,RsinARsinBsinC,absinC所以原式得证(

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