常微分方程
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常微分方程
Ordinary Differential Equation 一什么是微分方程 例3 人口模型 例5 生物种群模型 牛顿1642 – 1727 莱布尼兹1646 – 1716 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 绪论 常微分方程是现代数学的一个重要分支是人们解决各种实际问题的有效工具它在几何力学物理电子技术航空航天生命科学经济领域等都有广泛的应用 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的1676年詹姆士?贝努力致牛顿的信中第一次提出微分方程微分方程建立后立即成为研究了解和知晓现实世界的重要工具1846年数学家和天文学家合作通过求解微分方程发现了一颗有名的新星海王星1991年科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人据躯体所含碳原子消失的程度通过求解微分方程推断这个冰人大约遇难于5000年以前类似的实例还有很多在微分方程发展的史中数学家牛顿莱布尼茨雅各布?贝努利欧拉拉格朗日等等都做出了卓越的 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的在初等数学中就有各种各样的方程比如线性方程二次方程高次方程指数方程对数方程三角方程和方程组等等这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式然后取求方程的解
在实际工作中常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题比如某个物体在重力作用下自由下落要寻求下落距离随时间变化的规律火箭在发动机推动下在空间飞行要寻求它飞行的轨道等研究这些问题所建立的数学方程不仅与未知函数有关而且与未知函数的导数有关这就是我们要研究的微分方程 解
这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来从列出的包含未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式,,,即求解微分方程 二微分方程的研究
内容
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1利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解常微分方程的解包括通解和特解能用初等积分求通解的是非常少的因此人们转而研究特解的存在性问题 2利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性延展性解对初值的连续性和可微性问题 5微分方程的定性和稳定性理论 1900年希尔波特提出的23个问题中的第16个问题之一至今未解决 4微分方程的数值解法 3微分方程解析理论 由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到而理论上又证明了解的存在性因此人们将未知函数即解的表示成级数形式并引进 特殊函数如椭圆函数阿贝尔函数贝塞尔函数等并使微分方程和函数论及复变函数联系起来产生了微分方程解析理论 ?11 微分方程模型 微分方程 联系着自变量未知函数及其导数的关系式 为了定量地研究一些实际问题的变化规律往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设建立数学模型当问题涉及变量的变化率时该模型就是微分方程下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程 例1 镭的衰变规律 解 即镭元素的存量是指数规律衰减的 例2 RLC电路 如图所示的R-L-C电路 它包含电感L电阻R电容C及电源et 设LRC均为常数et是时间t的已知函数试求当开关K合上后电路中电流强度I与时间t之间的关系 电路的基尔霍夫Kirchhoff第二定律 在闭合回路中所有支路上的电压的代数和为零 设当开关K合上后 电路中在时刻t的
电流强度为It 则电流 经过电感L 电阻R和电容的电压降分别为
其中Q为电量 由Kirchhoff第二定律 得到 因为 于是得到
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式 解 解Malthus模型 Logistic模型 英国人口学家马尔萨斯Malthus在担任牧师期间查看了当地教堂100多年人口出生统计资料发现人口增长率是一个常数 假设条件净相对增长率单位时间内人口 的净增长数与人口数之比为常数 例4 传染病模型 长期以来建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程一直是各国有关专 家和官员关注的课题人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型 解 SI模型 SIS模型 SIR模型 意大利生物学家棣安考纳发现某海港在第一次世界大战期间捕鱼量减少而捕获到的捕食鱼占的百分比确急剧增加为解释这种现象意大利数学家沃特拉Volterra建立了一个关于捕食鱼和被食鱼生长情形的模型 沃特拉把所有的鱼分为两类被食鱼与捕食鱼设t时刻被食鱼的总数为xt而捕食鱼的总数为yt Volterra 被捕食-捕食模型 Volterra 模型 解 例6 Lorenz方程
气象学家洛伦茨在美国天气预报中心工作进行数值天气预报他在20世纪60年代初开始用数字计算机曾简化气象方程最终得到后来被成为混沌Choas现象第一例的有名的气象方程Lorenz方程 微分方程模型的构造方法 1从已确定的自然规律物理力学知识出发考虑主要因素忽略次要因素提炼出自变量未知函数及其导数的关系式即相应微分方程 2如果没有直接的已知规律可参考可应用类比方法建立模型 3根据已发现的数据通过分析数据的相互关系加上合理的逻辑推理寻找相关规律建立相应的模型 4还可根据一定的目的通过反复实验寻找适合要求的模型 伟大的英国数学家 物理学家 天文 学家和自然科学家 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分 1665年他提出正 流数 微分 术 次年又提出反流数积分术 并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 1736年出版 他 还
著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 德国数学家 哲学家 他和牛顿同为 微积分的创始人 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中 有的早于牛顿 所用微积分符号也远远优于牛顿 他还设计了作乘法的计算机 系统地阐述二进制计 数法 并把它与中国的八卦联系起来 雅各布第一 ? 伯努利 书中给出的伯努利数在很多地方有用 伯努利1654 – 1705 瑞士数学家 位数学家 标和极坐标下的曲率半径公式 1695年 版了他的巨著《猜度术》 上的一件大事 而伯努利定理则是大数定律的最早形式 年提出了著名的伯努利方程 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外 他对 双纽线 悬链线和对数螺线都有深入的研究 欧拉 1707 – 1783 瑞士数学家 他写了大量数学经典 著作 如《无穷小分析引论 》 《微 还 写了大量力学 几何学 变分法教材 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文 他的最大贡献是扩展了微积分的领域 要分支 如无穷级数 微分方程 与微分几何的产生和 发展奠定了基础 分学原理 》 《积分学原理》等 为分析学的重 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数 公式和定理 拉格朗日 1736 – 1813 法国数学家 他在方程论 解析函数论 及数论方面都作出了重要的贡献 近百 余年来 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作 他是对分析数学 产生全面影响的
数学家之一
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