一类矩阵方程的反对称正交反对称解及其最佳逼近

一类矩阵方程的反对称正交反对称解及其最佳逼近 一类矩阵方程的反对称正交反对称解 Ξ 及其最佳逼近 彭亚新 ,厉 亚 ,周 岳 ()湖南大学 数学与计量经济学院 ,湖南 长沙 410082 摘 要 :定义了一种新的矩阵类 :反对称正交反对称矩阵 ,研究了一类矩阵方程的反对 称正交反对称解的存在性及其最佳逼近问题 . 利用矩阵的广义奇异值分解 ,得到了该矩阵方 程有反对称正交反对称解的充要条件及其通解表达式 ,并且给出了矩阵方程的解集合中与 给定矩阵的最佳逼近 . 文献标识码 :A :O175113 中图分类号 关键词 :矩阵方程 ;反对称正交反对称矩阵 ;矩阵范数 ;最佳逼近 The Anti2Symmet ric Ort hogo nal Anti2Symmet ric Solutio n of a Linear Mat rix Equatio n and it s Op ti mal App ro xi matio n P EN G Ya2xin ,L I Ya , ZHO U Yue ( )College of Mat hematics and Eco no met rics , Hunan U niv , Changsha 410082 , China Abstract :This paper defines a new t ype of mat rix , i . e . anti2symmet ric o rt hogo nal anti2symmet ric mat rix , and st udies t he existence of t he solutio n of t his mat rix and it s op timal app ro ximatio n in a t ypical kind of linear mat rix equatio n . By applying t he generalized singular value deco mpo sitio n of mat rices , we have established t he necessary and sufficient co nditio ns fo r t he existence of solutio n and t he general exp ressio n of t he solutio n to t his mat rix , and have derived t he op timal app ro ximatio n of t he solutio n in t he solutio n set of given mat rix . Key words :mat rix equatio n ; anti2symmet ric o rt hogo nal anti2symmet ric mat rix ; mat rix no r m ; op timal ap2 p ro ximatio n 的秩 , ‖?‖表示矩阵的 Fro benius 范数 , A 3 B 表 1 引言与引理 示矩阵 A 与 B 的 Hadamard 乘积 , 其定义为 A 3 B = n ×n ( )( ) ( ) b ?R .= ab, 其中 A = a, B ij i j i j i j n ×m n ×n n ×n T T 令 R 表示所有 n × m 实矩阵集合 , R 表 n 设 P ?R 且 P P = I , P = P , 即 P 为对n ×n 示所有 n 阶可逆方阵集合 , O R 表示所有 n 阶正称正交矩阵 . 若无特别声明 , 本文中的 P 为一给定 n ×n 交矩阵的集合 , A SR 表示所有 n 阶实反对称矩 的对称正交阵 . n ×n T ( ) 阵集合 , I 表示 k 阶单位矩阵 , rank A 表示矩阵 A k 定义 1 设 X ? R , 若 X 满足 X = - X , Ξ 收稿日期 :2003206230 ( )基金项目 :国家自然科学基金资助项目 10171031 第 2 期 彭亚新等 :一类矩阵方程的反对称正交反对称解及其最佳逼近 107 T ( ) P X = - P X , 则称 X 为反对称正交反对称矩阵 . O 2k D所有 n 阶 反 对 称 正 交 反 对 称 矩 阵 的 全 体 记 为 2s n ×n A SR . = I , p t? 2 t - k - s T 矩阵方程 A XA = B 在振动理论 、结构动态设 ? ? ? n - t O 计中有着重要应用. 有关这个矩阵方程在某集合类 ( )6 t s n - r + k - t - k - s 中的解的研究文献很多 , 如 : 文 [ 1 , 3 ] 分别讨论了 T T T ( ) ( ) t = rɑnk A , A , k rnɑk A, s = = t - 1 2 2 它有一般解 、对称解和对称正定解的充要条件 , 文 T T ( )( ) ( rnɑk A + rnɑk A - t , D = digɑ ɑ, ɑ, ?, 1 2 1 1 2 [ 4 ] 讨论了它有中心对称解的充要条件及通解表达 ) ( ) ɑ> 0 , D= digɑ b, b, ?, b> 0 , O , O , O s 2 1 2 s 1 2 式 , 并给出了与已知矩阵的最佳逼近 . 均为零矩阵 . - 1 - T 将矩阵 W B W 作如下分块 n ×n n ×n 本文讨论如下两个问题 : 问题 ? 给定 A , B ?R ,求 X ?ASR ,使 p k B B B B 11 12 13 14 T )( A XA = B 1 s B B B B 21 22 23 24 3 n ×n - 1 T , X 问题 ? 给定 ?R , 求 X^ ?S, 使 W B W = E B B B B t - k - s 31 32 33 34 3 3 ( )‖X^ - X ‖ = min ‖X - X ‖, 2 X ?S B B B B 41 44 42 43 n - t E k s n - s t - k - t ( )其中 S为问题 ?的解集 . 7 E 那么我们有如下结论 本文利用矩阵的广义奇异值分解 , 给出了问题 T n ×n ( 1) 定理 给定 A , B ?R , 若 H A 按 4式 ?有解的充要条件及通解表达式 , 并求出了问题 ? T T 进行分 块 , 矩 阵 对 [ A , A ] 的 广 义 奇 异 值 分 解 由 1 2 的解. - 1 - T ( ) ( ) 5式给出 , W B W 按 7式进行分解 , 则矩阵 T n ×n 2 问题 I 的解 A XA 方程 = B 有解 X ?A SR 的充要条件是p T [ 6 ]n ×n ( ) ( )B i , j = 1 , 2 , 3 , 4, B , B = 0 , B = - ijji 13 14 引理 1 矩阵 X ?A SR 的充要条件是 Xp ( )8 B = 0 , B = 0 , B = 0 , 24 34 44 可表示为 ( ) 并且当 8式成立时 , 其通解可表示为 : 0 X 1T ( )H , X = H 3 0 X 1 T X 0 2 ( )X = H H , 9 ( ) ( ) n - r×n - r n ×n X 0 2 ? A SR , r其 中 X? A SR , X= 1 2 - 1 B B D X 11 12 1 13 1 n ×n ( rnɑk I +), H ?O R , H 由 P 唯一确定 .P - 1 T T 2 D B - X X U , 其中 X U = 1 12 22 23 1 T T 记 - X - X X 13 23 33 YYYA 11 12 13 1( ) T n - r×n r ×n A H ?R ,, A ?R , A = 1 2T - 1 - 1 - 1 T ( ) - DB- D XDDBYDX= V V , 2 22 212 1 22 1 2 23 2 A 2 T T - 1 - - YBDB13 23 2 33 ( )4 T T且 X, X, Y, Y为任意具有合适阶数的矩阵 , 13 23 12 13 A , A 设矩阵对 的广义奇异值分解为 1 2 X, X, Y为任意具有合适阶数的反对称阵 . 22 33 11 T T T T ( )W U , A = W V ,5 A = 21 ? ? T 1 2 证 必要性 : 若矩阵方程 A XA = B 有解 X ? n ×n r ×r T T n ×n ( ) 其中 W ? R 即? O R , VW 可 逆, U ? n A SR ( ) , 则显然有 B = - B , 且由 7式知 B = p ij ( ) ( ) n - r×n - r O R , 且() = 1 , 2 , 3 , 4. 又由引理 1 , X 可表示为 - B i , j j i I X0 k1 k T ( )X = H H , 10 D0 X 21s ( )( ) r ×r n - r×n - r ( ) 其中 X?A SR , X?A SR, 将 10式 = , 1 2 O 1? 1r - k - s T 代入方程 A XA = B , 得 ? ? ? X 0 n - r 1T TT Q ( ( )) H A H A = B . 11 X 0 k s r - k - s 2 ( )2004 年 108 湖南大学学报 自然科学版 ( ) ( ) ( ) 将 4式代入 11式 , 得 比较 17式左右两端得 T T )( ( ) + A X A 12 A B , B XA = 0 , B = 0 , B = 0 , B = 0 , = B , 2 2 2 1 1 1 13 14 24 34 44 T T ( ) 将 A , A 的广义奇异值分解代入 12式 , 得 ( )1 2 18 T - 1 - 1 T T XB , X= B D = D B ,= , Y 2 23 ( 1111 1223)W12 1W U XU + 1 ? ? 1 1 T = Y( )B , 19 33 T T 33 ( )WW V XV = B , 2 ? ? 2 2 - 1 - 1 ( ) Y= D B D X D D , - 22 2 22 1 22 1 2 因为 W 可逆 , 则 s ×s )( T T ?A SR , 20 X22 T T )( )( XV = U XU V + 2 1 ? ?? ? 1 12 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 将 19, 20代入 10式即得 9. - 1 - T W B W .( )13 ( ) 充分性 :若 8式成立 , 取( ) ) r ×r n - r×n - r 由于 X?A SR , X ?A SR , 记1 2- 1 0 B B D 12 1 11XXXk 111213 T - 1 T U , = U XD B 0 0 - 10 1 12 T T - XXXs UXU = , 12 22 23 1 0 0 0 T T r - k - s XX- - X 33 13 23 0 0 0 s r - k - s k - 1 - 1 - 1 T 0 B B D D D 23 V , X= V 2 22 22 20YY Y 13 1211 n - r + k - t T - 1 B D 0 - B 23 2 33 T T YY- YVXV = 12 23 22 s 2 令 T T k - s t - Y- YY - 13 23 33 X0 10 T ( )s 14 n - r + k - t H , t - k - s H X= 0 X0 20 T TX 其中 = - X , Y ( ) = - Y i = 1 , 2 , 3, 则 ii i i ii ii ( )( ) r ×r n - r×n - r 显然 X?A SR , X?A SR , 且由引 10 20T T ( ) U XU=1 n ×n ?? 1 1 理 1 知 X ?A SR , 又 0 p k XXD0 0 1112 1X0 10 T T T TA XA = A H H A = 0 s 0 0 - DX D X D 1 22 1 1 12 X 0 20 , T T 0 0 0 0 t - k - s A = XA +A XA 1 10 1 2 20 2 n - t 0 0 0 0 0 0 B B 11 12 ( )k t - s n - t 15 s k - T 0 0 B 0 - 12T T W + ( ) V XV=2 ?? 2 2 0 0 0 0 k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 DYDDY2 22 2 2 23 s 0 0 0 0 . T 0 0 - YD Y B 0 0 B 23 2 33 t - k - s 23 22T W = T n - t 0 0 0 0 0 0 B B - 33 23 t ( )s t - k - s n - 16 k 0 0 0 0 T ( ) ( ) ( ) 将 15, 16, 7式及 B = - B ( )均代入 13 ij ji B 0 0 B 11 12 式得 T 0 - B B B 12 22 23 T X XD0 0 W W = B , 11 12 1T 0 0 B - B 23 33 T 0 - D X D X D + D Y D D Y 1 12 1 22 1 2 22 2 2 23 = 0 0 0 0 T - YD 0 0 Y 23 2 33 T 是矩阵方程 A XA 因而 X = B 的解. 0 0 0 0 0 3 B B B B 问题 ?的解的表达式 11 121314 T m ×n n ×m - B B B B 12 22 23 24 引理 2给定 E ?R , F ?R , 则存在唯 ( )17 . T T m ×n - - B B B B 13 23 33 34 ?R , 使 一的矩阵 ^G T T T 2 T 2 B B B B - - - ( ) 14 24 34 44 g G= ‖G - E ‖+ ‖G + F ‖= min , 第 2 期 彭亚新等 :一类矩阵方程的反对称正交反对称解及其最佳逼近 109 3 3 3 1 TYYY 111213n - r + k - t ( ) 且 ^ G = E -F . 2 3 3 3 , YYYs 21 22 23 ) ) ( ( 证g, Ee, 设 G = = ij m ×n i j m ×n 3 3 3 t - k - s YYY 313233( ) f , 则F = ij n ×m 2 2( )n - r + k - s 22 t t - k - s ( ) ( ) g- e+ g- f ( )g G = ij ijij ji , ? 1 ?i ?m 则有 1 ?j ?n ( )g G1 90 X^ 1 ( ) = 0 , 得 g - f . 从而存在唯一 令 = eT ij i j j i ( )23 X^ = H H 2 9g i j^X 0 2 1 m ×n ( 的矩阵 ^ G- 1 E -( ) min , 且 ^G = ?R , 使 g G= B B D X^ 12 1 11132 TT - 1 T ) F . U , = U 其中 X^ - D B X^ X^ 1 12 22 23 1 TT 引理 2 中 , 若取 m = n , E = F , 则 - X^ - ^X ^X 13 23332n ×n ‖G - E ‖ = min 在 A SR 内 有 唯 一 解 ^G= ^Y ^Y ^Y 11 12 13 - 1 - 1 - 1 TT 1 T( ) D DB- DX^ DD - ^Y B^X = V 22 22 1 22 1212 V2 23 , ( ) E -E . 2 TT - 1 - ^Y - BDB 13 23 2 33 n ×n (σσ引理 3diɑg ,, ?, = 设 E , F ?R , D1 2 且 1 n ×n Φ σ)(φ)φ = > 0 , =?R ,, 则 n i j ij22 1 T 3 3( σσ)2 1 + i j ( X^ = X -X) ( ) i = 1 , 2 , 3, i3 i3 3 i2 2 2( ) 问题 h G= ‖G - E ‖+ ‖D GD - F ‖ = min 1 T 3 3 n ×n T ( ) ( ) j = 1 , 2 , 3, ^Y= Y-Y1 j 1 j j1 Φ ( ^ G = 3 E - 在 A SR 内有唯一解 ^ G , 且E + 2 T33 T - 1 - 1 - 1 ( ) ) D F - F D . Φ ( (= 3 X -X+ DD2 D B X^ D - 2 1 22 2 22 2 22 22n ×n 3 3 T - 1 ( ) ( )= g? A SR , E 证设 e? G = ij ij ) Y) YDD + , 22 1 222 n ×n n ×n ( )R , F?R , 则 = f ij 且 2 2 2 ) ( ) ( g- eh G= +ij ij ? bb i j s ×s 1 ?i < j ?n (φ)Φ φ =?R ,= . ij i j 2 2 2 2 ( )2 ɑɑ+ b b 2 2 2 i j i j ( ) (σσ) (σσ) g+ e+ g- f + g+ f ij jii j ij ij i j ij ji+ 证 ( ) ( ) ( ) ( ) 由 9, 10, 21, 22式及正交矩阵的 n 2 3 2 2 ) ( ) (σf . [ g- e+ g -保范性可知 , 存在唯一的 X ?S, 使 ‖X - X ‖ = E i ii i i i i i i ? i = 1 min 的问题等价于 9h 令 = 0 , 得 T 3 2 3 2 9g‖X-‖ +‖X+X‖ = min ,X i j13 13 13 31 3 2 3 2 T 1 X‖ + ‖X+ X‖ = min , ‖X- 23 23 32 σσ23 σσ) g( e+ f - = e- f .ij ij i ji j j i ij ji 22 ( σσ)2 1 + i j 3 2 X‖ = min , 33 2 2 ‖X- 33 ( ) 所 以问题 h G= ‖G - E ‖+ ‖D GD - F ‖= 3 2 n ×n Y‖ = min , 11 ‖Y- Φ ( min 在 A SR 内有 唯 一 解 ^ G , 且 3 E - ^ G = 11 3 2 3 2 T T TY‖ + ‖Y+ Y‖ = min , ( ) ) 12 12 21 E + D F - F D . ‖Y- 12 3 n ×n T T 3 2 3 2 定理 2= B 设 X ?R , 矩阵方程 A XA Y‖ +‖Y+Y‖ = min ,‖Y - 13 13 13 31 n ×n - 1 3 2 3 2 - 1 在 A SR 内的解集 S 非空 , 则问题p E ) ( - D X D D- Y‖= min. ‖X- X‖+ ‖DB 22 2 22 1 22 1 2 22 22 3 ‖X - X ‖ = min 在 S内存在唯一解 ^X . 符号与 E ( )24 定理 1 相同 , 若令 由引理 2 知 3 3 K K1 11 T 3 12r 3 T 3 ( ) ( ) XXi = 1 , 2 , 3, = X - i3i3 3 i( )H X H = 21 2 3 3 n - r KK 21 22 1 3 3 T 3 3 3 )( ( ) Y= Y - Y j = 1 , 2 , 3. j j1 1 1 jX XX11 k 12 13 2 3 3 3 T 3 ( ) 且由 24式最后一式得 U K U= , XXX s 11 212223 3 2 - 1 - 1 ‖X- X‖ + ‖D 3 3 3 D XD D - 22 22 21 22 1 2r - k - s X XX32 31 33 3 2 - 1 - 1 ( ) ( )Y‖ min , 25 = D B D - 22 2 22 2 k s r - k - s T 3 - 1 - 1 - 1 - 1 ( V K 因 为 D D=diɑg ɑb, ɑb, VD D = = 2 1 1 1 2 2 22 1 2 ( )2004 年 110 湖南大学学报 自然科学版 - 1 decompositionsJ . Linear Al gebra Appl ,1989 ,119 :35 - 50. ) ?ɑb > 0 , 由引理 3 知 s s 2 DA I H. Linear Mat rix Equatio ns Fro m An Inverse Pro blem of - 1 3 3 T - 1 - 1 Φ ( (D -= 3 X - X + D D 2 D B X 22 22 2 1 2 22 2 22Vibratio n Theo ryJ . Linear Al gebra Appl ,1996 ,246 :31 - 47 . T 3 3 - 1 ) ) Y + YD D , 1 2 22 22何楚宁. 线性矩阵方程的正定解与对称正定解J . 湖南数学年 3 2 2 刊 ,1996 ,16 :284 - 93 . bb i j s ×s φ(φ)Φ ?R , , 于是 = T 其中 = 斌i jij 2 2 2 2 . 矩 阵 方 程 A XA = B 的 中 心 对 称 解 及 其 最 佳 逼 近4 彭振 贝 ( )2 ɑɑ+ bb i j i j J . 长沙电力学院学报 ,2002 ,17 :23 - 6 . ( ) 有 23式 . 5 胡锡炎 ,张磊 ,周富照. 对称正交对称矩阵逆特征值问题 J . 计 算数学 ,2003 ,1 :13 - 22 . 参考文献 6 戴华. 对称正交反对称矩阵反问题解存在的条件J . 高等学校 1 CHU K W E. Symmetric solutions of linear matrix equations by matrix 计算数学学报 ,2002 ,2 :169 - 178 . 书 评 新材料对于高新技术及产业的发展起着重要的作用 ,通过材料设计 ,用计算机对真实的系统进行模 拟 ,预测材料的性能 ,指导新材料的研究 ,可显著加速新材料的开发与实用化的进程 ,因而材料设计已引 起各国材料学家的普遍重视. 原子尺度计算机模拟 ,以原子 、分子为研究对象 ,根据原子间相互作用势 ,计算研究多原子 、分子系 统的结构和动力学过程 . 用经验和半经验的原子间势反映原子之间的相互作用 ,尽管会损失一些细节效 应 ,其物理实质虽不如第一原理电子结构理论深刻 ,但仍能简捷 、有效 、方便地研究材料的性质 . 80 年代 ( ) 中期 Daw 与 Baskes 基于密度泛函理论提出的嵌入原子方法 EAM模型理论和 Finnis 与 Sinclair 基于 有效介质理论提出 F - S 势是原子尺度材料设计理论的两个典型代表 . 原型 EAM 理论的模型参数确定 不是 分 析 形 式 的 , 不 能 直 接 和 具 体 的 物 理 参 数 相 联 系 , 为 此 ,Jo hnso n 提 出 了 分 析 型 的 EAM 模 型 () A EAM,给出了模型参数和物理参数对应关系的解析表达式 ,构筑了合金势 ,使特定结构的金属及合 金系统的 EAM 模型初步普适化. 《嵌入原子方法理论及其在材料科学中的应用 ———原子尺度材料设计理论》一书 ,介绍了原型 EAM ( ) 和 Jo hnso n 的 A EAM 方法. 详细阐述了该书作者提出的改进分析型 EAM 模型 MA EAM理论及在金 属及合金物性 、缺陷性质 ,表面聚集 、合金形成热等方面的研究应用 . MA EAM 理论针对原型模型中提 出的电子密度球对称分布的假设 ,偏离了实际的原子电子密度分布情况 ,提出在系统总能量表达式中经 验地加入一修正项 ,用以描述由于基本假定所引起的能量偏离 ,并且具体给出了该修正项的分析表达 式 . 另一方面 ,提出了能较好描述各种结构金属的原子间势函数的分析表达式 ,对于嵌入函数 、原子电子 密度和合金势 ,则仍然沿用 Jo hnso n 的原有分析表达式. 由此所提出的 MA EAM 理论对 fcc 、bcc 和 hcp 各种结构的金属皆能进行描述 ,且能处理负 Cauchy 压的元素 ,成为一个普适分析型 EAM 模型. 该专著详细介绍了模型的应用情况. 采用 MA EAM 模型理论研究了金属的声子谱 、态密度 、比热 、 德拜温度 、热膨胀等基本物性 ;系统地计算了二元合金形成热 ;系统地研究了二元合金的表面偏析 ,模拟 计算了空位 、自间隙原子 、层错 、表面等晶体缺陷的特性 ; 将 MA EAM 模型理论应用于金属间化合物的 研究 ,以元素的模型为基础预测了金属间化合物合金系统的结构 、形成热和晶体缺陷等. 充分表现了 MA EAM 理论只需从组成合金的金属元素基本物理性质出发 ,就可以预测合金的物理性质和缺陷特 性 ,这样建立的原子尺度材料设计理论可方便地应用于预测合金的各种性质. 这是 MA EAM 理论重要 的特征之一 . 这本专著对原子尺度嵌入原子方法理论的历史 ,MA EAM 模型的建立及应用进行了全面的详细的 介绍 ,使读者能尽快地了解和掌握原子尺度嵌入原子方法理论 ,并应用于实际的研究工作中. 我衷心祝 贺这部专著的出版 ,希望 MA EAM 理论对材料设计的研究和新材料的发展起到积极的促进作用 .