一维线性谐振子哈密顿量改写中的非幺正变换谢传梅

一维线性谐振子哈密顿量改写中的非幺正变换谢传梅 第 30 卷第 9 期 大 学 物 理 Vol( 30 No( 9 2011 年 9 月 COLLEGE PHYSICS Sep( 2011 收稿日期:2011 ,01 ,07; 修回日期:2011 ,03 ,29 基金项目:安徽大学博士科研启动经费项目资助; 国家自然科学基金( 10775097 和 10874174) 资助 作者简介:谢传梅( 1979—) ，女，安徽淮南人，安徽大学物理与材料科学学院讲 师，博士，主要从事理论物理教学与科研工作( 一维线性谐振子哈密顿量改写中的非幺正变换 谢传梅 1，2 ，范洪义 2 ( 1( 安徽大学 物理与材料科学学院，安徽 合肥 230039; 2( 中国科学技术大学 材 料与科学 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 系，安徽 合肥 230026) 摘要: 通过引入一非幺正算符实现了对一维线性谐振子系统哈密顿量的从坐标、动 量表象( Q，P) 到占有数表象( a，a + ) 的 改写( 一维线性谐振子; 非幺正算符; 占有数表象 关键词: 中图分类号: O 413( 1 文献标识码: A 文章编号: 1000-0712( 2011) 09-0008-02 量子力学教学中代数解法被广泛用于处理系统 的本征值问题 ,1，2, ，例如研究一维线性谐振子系统， 其中关键的一步是把一维线性谐振子系统的哈密顿 量从坐标、动量表象( Q，P) 改写到占有数表象( a， a + ) ( 一般量子力学教科书中对上述的改写给学生 的感觉是知其然而不知其所以然，本文从非幺正变 换的角度给这一改写加以诠释，以加深学生对其物 理意义的理解( 1 对一维线性谐振子哈密顿量改写的常规 做法 一维线性谐振子哈密顿量为 H = 1 2m P 2 + mω 2 2 Q 2 ( 1) 其中 ,Q，P, = i ( 2) 坐标 Q 和动量 P 为厄米算符( 令 a = 1 槡 ( 2 mω 槡 Q + i m 槡 ω ) P a + = 1 槡 ( 2 mω 槡 Q , i m 槡 ω ) P ( 3) 易证 ,a，a + ,=1 ( 4) 式( 3) 之逆为 Q = 槡2m ω ( a + a + ) ， P = , i m ω 槡2 ( a , a + ) ( 5) 利用式( 5) ，可将 H 表示为 H ( = a + a + ) 1 2 ω ( 6) 一维线性谐振子哈密顿量即变换到了占有数表象( 2 对一维线性谐振子哈密顿量改写的非 幺正变换法 6) 实现了从坐标 Q 和动量 P 算 从式( 1) 到式( 符过渡到玻色子的产生算符 a + 和湮没算符 a 的变 换，而这一变换实质上是一个非幺正变换( 这是因为 Q 和 P 都是厄米算符，但 a 和 a + 皆非厄米算符; Q 和 P 都有连续谱，而 a 虽有连续谱( 相干态本征值 谱) ，但相干态不正交，而且 a + a 有离散谱( 事实上， 说的更明确些，从( Q，P) 到( a，a + ) 的过渡是靠以下 变换实现的( 设 W 是一个非幺正算符 W [ = exp 1 2 ( fP 2 , gQ 2 ] ) ， fg ,0 ( 7) 由公式 e A Be , A = B [ + A， ] B + 1 2 [ ! A ] ] ，[A， B + … ( 8) 易证 WQW , 1 = Qcos γ ( , i f 槡g sin ) γ P = Q'， γ? 槡 fg ( 9) WPW , 1 = Pcos γ ( , i g 槡f sin ) γ Q = P' ( 10) 其逆变换为 Q ( ) P = cos γ i f 槡g sin γ i g 槡f sin γ cos γ Q' ( ) P' ( 11) 于是谐振子哈密‎‎顿量 H = 1 2m P 2 + mω 2 2 Q 2 就写成第 9 期 谢传梅，等: 一维线性谐振子哈密顿量改写中的非幺正变换 9 H = [ ( 1 2 mω 2 cos 2 γ , g fm sin 2 ) γ Q' 2 + ( 1 m cos 2 γ , f g mω 2 sin 2 ) γ P' 2 + 1 2 ( Q'P' +P'Q') sin 2 ( γ mω 2 f 槡g + 1 m g 槡 ) ] f (12) 若取参数f 和g 满足 m 2 ω 2 f g = tan 2 γ = 1 ( 13) 即取 g 槡f = mω，sin γ = cos γ = 1 槡 2 ，则 H 中的第一项 和第二项为零( 于是 H = i 2 ω( P'Q' + Q'P') ( 14) 而且Q' = 1 槡 ( 2 Q , iP m ) ω ， P' = 1 槡 2 ( , imωQ + P) ( 15) 定义a = i m 槡 ω = P' = 1 槡 ( 2 mω 槡 Q + i m 槡 ω ) P ( 16) 取其厄米共轭得到 a + = 1 槡 ( 2 mω 槡 Q , i m 槡 ω ) P = m 槡 ω Q' ( 17) 这样，尽管完成了从厄米算符 Q 和 P 向非厄米算符 a 和 a + 的过渡，它不是一个幺正变换( 更具体的说， 尽管 W 保持了对易关系不变，即仍有,Q'，P',= ,Q，P,= i ，但是 Q'和 P'不再是厄米算符( 另一方 面，将 Q'和 P'再变换到 a 和 a + 也不是幺正的(‎‎ 总的 来说，W 是一个非幺正算符，对应的变换是相似变 换 ,3，4, ，W , 1 ?W + ( 3 小结 通过引入一非幺正算符 W，我们实现了对一维 线性谐振子系统的哈密顿量从坐标、动量表象( Q， P) 到占有数表象( a，a + ) 的改写，可以加深人们对这 一过程物理本质的理解( 参考文献 ,1, 周士勋( 量子力学教程,M,( 北京: 高等教育出版 社，1979( ,2, 曾谨言( 量子力学,M,( 3 版( 北京: 科学出版社，2000( ,3, 范洪义( 量子力学中的表象和变换理论,M,( 上海: 上 海交通大学出版社，1993( ,4, 范洪义，吕翠红( 量子力学相空间理论进展,M,( 上海: 上海交通大学出版社，2011( The nonunitary transformation in the Hamilton's rewriting for the one , dimensional linear harmonic oscillator XIE Chuan-mei 1，2 ，FAN Hong-yi 2 ( 1( College of Physics , Material Science，Anhui University，Hefei，Anhui 230039，China; 2( Department of Material Science and Engineering，University of Science and Technology of China，Hefei，Anhui 230026，China) Abstract: By introducing a nonunitary operator，the rewriting for the one , dimensional linear harmonic oscil- lator from the coordinate , moment representation ( Q，P) to the particle number representation ( a，a + ) is realized( Key words: one , dimensional lincar harmonic oscillator; nonunitary operator; particle number representation ( 上接 7 页) Analysis of causes and calculation for the earth nutation YU Feng-jun ( School of Physics and Electrical Engineering，Anyang Normal University，Anyang，Henan 455000，China) Abstract: The main reasons of the earth nutation are analysed theoretically and the nutation constant is calcu- lated( The relative difference between the theoretical calculation value and the observed one is about 2 /10 000( Key words: earth nutation; precession; nutation ellipse; nutation constant; tide force