一.方法综述
数列的通项公式是数列高考中的热点问题,求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数阵(数
表
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)问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为
形式的数列通项公式问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行
分析
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.
二.解题策略
类型一 数阵(数表)中涉及到的数列通项公式问题
【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数字73在图中出现的次数为____.
【答案】12
【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列,先从第一行入手求出第一行数组成的数列
的通项公式,再把第一行的数当成首项,再次根据等差数列这一性质求出第
数列组成的数列
,最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.
2.数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标
进行表示,其中
代表行,
代表列.例如:
表示第
行第
列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前
行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列.
【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列
,若
,则
__________.
【答案】
类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题
【例2】已知点
顺次为直线
上的点,点
顺次为
轴上的点,其中
.对于任意
,点
构成以
为顶点的等腰三角形.则数列
的通项公式为____________.
【答案】
【指点迷津】对于点列问题,要根据图像上点与点之间的关系,以及平面几何知识加以分析,找出关系式即可,本题是直线上的点列,已知点列
的通项公式,求点列
的通项公式,并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.
【举一反三】在直角坐标平面中,已知点列
,
,
,…,
,…,其中
是正整数.连接
的直线与
轴交于点
,连接
的直线与
轴交于点
,…,连接
的直线与
轴交于点
,….则数列
的通项公式为___________.
【解析】直线
的斜率为
,
所以
,
.
【答案】
类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题
【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数
是定义在
上的单调函数,且对于任意正数
有
,已知
,若一个各项均为正数的数列
满足
,其中
是数列
的前
项和,则数列
中第18项
( )
A.
B. 9 C. 18 D. 36
【答案】C
【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前
项和之间的关系以及公式
的应用,属于难题.已知
求
的一般步骤:(1)当
时,由
求
的值;(2)当
时,由
,求得
的表达式;(3)检验
的值是否满足(2)中的表达式,若不满足则分段表示
;(4)写出
的完整表达式.
【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知
是
上的奇函数,
,则数列
的通项公式为( ).
A.
B.
C.
D.
【解析】∵
是奇函数,∴
,令
,
,
令
,
,∴
,∴
,
令
,∴
,令
,∴
,
∵
,∴
,同理可得
,
,∴
,
故选
【答案】C
类型四 由复杂递推公式求解数列通项公式问题
【例4】【重庆市第一中学2018届高三上学期第一次月考】我们把满足
的数列
叫做牛顿数列,已知函数
,且数列
为牛顿数列,设
,则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【指点迷津】对于复杂的递推公式,关键是进行化简和变形,适当的时候需要换元,本题通过题意,可求得
即数列{an}是以2为公比的等比数列,又a1=2,利用等比数列的通项公式即可求得答案.
【举一反三】【辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学2018届高三第二次联考】设数列
中,
,
,则数列
的通项公式为__________.
【解析】
,
所以
,
,所以
.
【答案】
类型五 两边夹问题中的数列通项公式问题
【例5】【2017届浙江省杭州地区(含周边)重点中学联考】设数列
满足
,且对任意的
,满足
,
,则
_________
【答案】
【答案】
【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征,即
,然后经过恰当的变形,将求
的问题转化为数列求和的问题去处理,对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数,这是比较容易出现错误的地方.
【举一反三】【福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知各项都为整数的数列
中,
,且对任意的
,满足
,
,则
__________.
【答案】
类型六 下标为
形式的数列通项公式问题
【例6】【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知等差数列
,等比数列
的公比为
,设
,
的前
项和分别为
,
.若
,则
__________.
【答案】
【解析】
,
,
因为
,所以
,这是关于
的恒等式,所以
,解得
,所以
.
【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式,既没有首项也没有公差,有的只是等差数列与等比数列的一个关系
,这是一个关于正整数
的恒等式,因此我们可把等差数列与等比数列的前
项用基本量表示,并化已知等式为
的恒等式,利用恒等式的知识求解
.
【举一反三】【2018届安徽皖江名校联盟12月份联考改编】等差数列
和等比数列
的各项均为正整数,且
的前
项和为
,数列
是公比为16的等比数列,
.则
的通项公式____________.
【答案】
三.强化训练
1.【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第
行,第
列的数记为
,比如
,若
,则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】奇数数列
,即
为底1009个奇数.
按照蛇形排列,第1行到第
行末共有
个奇数,则第1行到第
行末共有
个奇数;第1行到第
行末共有
个奇数;则2017位于第45行;而第
行是从右到左依次递增,且共有
个奇数;故
位于第45行,从右到左第19列,则
,故选D.
2.【湖南省衡阳县2018届高三12月联考】在数列
中,
,且
,记
,则( )
A.
能被41整除 B.
能被43整除 C.
能被51整除 D.
能被57整除
【答案】A
3.【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列
满足
(
为非零常数),若
为等比数列,且首项为
,公比为
,则
的通项公式为( )
A.
或
B.
C.
或
D.
【答案】C
4.【浙江省湖州市2017届高三联考】对任意的n∈N*,数列{an}满足
且
,则an等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵
且
,∴
,
,即
,∴
,故选A.
5.【2016届河北省衡水中学高三下学期猜题】已知数列
的首项为
,且满足对任意的
,都有
,
成立,则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A.
【解析】
试题分析:∵
,∴
,两式相加,可得
,
又∵
,∴需
,等号成立的条件为:
,
∴
时,
,
∴
,故选A.
6.【湖北省武汉市2017届高三四月调研】已知数列
满足
,
,若
,则数列
的通项
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
7.【九江市2017年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:
,…,该数列的特点是:前两个数均为
,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列
称为斐波那契数列.则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意,得
,
,所以
;故选A.
6.8.【天津市第一中学2018届高三上学期第二次月考改编】已知数列
满足
,且
.则
的通项公式__________.
【答案】
9. 【2016届西藏日喀则一中高三下学期二模改编】已知正项数列
的前
项和为
,且
,数列
满足
,且
.则
的通项公式__________.
【答案】
【解析】∵
,①
,②
①-②得:
,
∴
,
∵
,∴
,
∴
又由
得
,即
,∴
(舍去).
∴
,
∴
是以1为首项,1为公差的等差数列,
∴
.
又∵
③
④
得:
又由
,可求
,
故
是首项为1,公比为3的等比数列,
是首项为3,公比为3的等比数列.
∴
.
∴
.
10.【湖北省黄石市第三中学(稳派教育)2018届高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵”:
,
,
,
……
已知每一列的数成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第
行第
列的数为
,则(1)
_________;(2)前20行中
这个数共出现了________次.
【答案】
4
11.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿(1643年1月4日----1727年3月31日)英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数
零点时给出一个数列
:满足
,我们把该数列称为牛顿数列.
如果函数
有两个零点1,2,数列
为牛顿数列,设
,已知
,
,则
的通项公式
__________.
【答案】
12.【2017届河南郑州一中网校高三入学测试】设数列
是首项为0的递增数列,
,满足:对于任意的
总有两个不同的根,则
的通项公式为_________
【答案】
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