1.1菱形的性质与判定(一)

1.1菱形的性质与判定(一) 1(菱形的性质与判定(一) 本节的教学目标为: 1. 经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系; 2. 体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力; 3. 在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力 教学过程设计 本节课设计了六个教学环节:第一环节:课前准备;第二环节:设置情境 ，提出课题;第三环节:猜想 、探究与证明;第四环节:性质应用与巩固;第五环节:课堂小结;第六环节:布置作业。 第一环节 课前准备 1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。 2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。 第二环节设置情境 ，提出课题 【教学内容】 学生:观察过墙纸和风景图等实物图片。 教师:同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗,你认为它们有什么样的共同特征呢, 学生1:图片中有八年级学过的平行四边形。 教师:请同学们观察，彩图中的平行四边形与 ABCD相比 较，还有不同点吗, 学生2:彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。 教师:同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱 形”。 【教学目的】 通过这个环节，培养了学生的观察和对比 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 能力。上课时让学生观察图形，从直观上把握菱形的特点，从而给出菱形的定义，让学生明确菱形不但是平行四边形，而且有其特点“一组邻边相等”。同时，要让学生体会数学来源于生活，让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩，从而提高学生学习数学的兴趣。 【注意事项】 学生在通过观察对比得到菱形定义的过程中，会提出菱形的许多性质，如四条边相等、对角相等和对边平行等等，教师要对学生的答案进行积极的有鼓励性的评价，激发学生的学习积极性，同时又要强调菱形不仅是平行四边形，而且有其自身特点“一组邻边相等”，这样强化了菱形的定义，又为下面的教学内容做好了铺垫。 第三环节 猜想 、探究与证明 【教学内容】 1、想一想 ?教师:菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗, 学生:菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。 ?教师:同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质,请你与同伴交流。 学生活动:分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。 教师活动:教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。 2、做一做 教师:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题: (1)菱形是轴对称图形吗,如果是，它有几条对称轴,对称轴之间有什么位置关系, (2)菱形中有哪些相等的线段, 学生活动:分小组折纸探索教师的问题答案。组长组织，并汇总结果。 教师活动:教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。 师生结论:?菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。?菱形的四条边相等。 3、证明菱形性质 教师:通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。 教师活动:展示题目 B ACO D 图1-1 已知:如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB=BC=CD=AD;(2)AC?BD. 师生共析:?菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了。 ?因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD中点;又因为在菱形中可以得 到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了。 学生活动:写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理。 证明:(1)?四边形ABCD是菱形， ?AB = CD， AD= BC (菱形的对边相等). 又?AB=AD ?AB=BC=CD=AD (2)?AB=AD ??ABD是等腰三角形 又?四边形ABCD是菱形 ?OB=OD(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABD中， ?OB=OD ?AO?BD 即AC?BD 教师活动:展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象。 【教学目的】 学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生的活动过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生推理论证过程中的困难。 学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感知上升到了理性认识，充分了解了菱形的本质特征。本环节让学生进行猜想探究和证明，符合学生的认知规律。同时，操作活动得到的结 2 论与逻辑推理相结合，是对数学知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识到理性认识的升华。 【注意事项】 在折纸过程中，教师要与学生探讨折纸的方法，明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴，对称轴是菱形对角线所在的直线，而不是菱形的对角线，以便于学生正确迅速找出菱形中的对称关系。掌握数学知识，离不开“实践?认识?再实践?认识”这个重要的数学学习方法，通过说理论证可以使学生充分理解菱形的本质，对这样的过程学生也可以很好的掌握，在这个过程中，教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性。 第四环节 性质应用与巩固 【教学内容】 教师:通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面我们利用这些性质来解决一些问题。 B教师活动:展示题目 1、例1 如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ?BAD=60?，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。 ACO师生共析:?因为菱形的邻边相等，一个内角是60?，这样就 可以得到等边?ABD ,BD=6，菱形的边长也是6。 ?菱形的对角线互相垂直，可以得到直角?AOB; 菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，根D图1-2 据勾股定理就可以求出OA的长度;再一次根 据菱形的对角线互相平分,即AC=2OA,求出AC。 解:? 四边形ABCD是菱形 ?AB=AD(菱形的四条边都相等) AC?BD(菱形的对角线互相垂直) 11 OB=OD= BD = ×6 =3(菱形的对角线互相平分) 22在等腰三角形ABC中， ??BAD=60? ??ABD是等边三角形 ?AB=BD=6 222 在Rt?AOB中，由勾股定理，得OA+OB=AB 2222OAABOB,,,,,6333? ? ACOA=2=63 A2、随堂练习 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm 求 BD的长. 师生共析:从图中可以知道AC与BD互相垂直，可以构成直角?AOB，因为 BAB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出OB;又因为菱DO形的对角线互相平分，BD为OB 的两倍，这样就可以很方便的 求出BD的数值了。 解:? 四边形ABCD是菱形 ?AC?BD(菱形的对角线互相垂直) C222 在Rt?AOB中，由勾股定理，得AO+BO=AB ? 2222BO,AB,AO,5,4,3? 四边形ABCD是菱形 ?BD=2BO=2×3=6(菱形的对角线互相平分) 所以，BD的长是6cm. 【教学目的】 3 学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前面所学知识进行了更加深入的认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养了学生的主动探索能力，激发了学生学习的兴趣。 【注意事项】 在此活动中，教师应重点关注以下方面:(1)学生是否提出了不同的解题方法，这种方法的优点和缺点分别是什么;(2)学生的几何语言是否准确、规范、严谨;(3)给学生充分的独立思考时间和交流时间，让学生在合作交流的过程中完成题目，理解所学的知识。 第五环节 课堂小结 【教学内容】 本节课我们探讨了菱形的定义、性质 ，我们来共同总结一下: 1、菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形. DCDCD 两组对边一组邻边相等平行四边形四边形菱形分别平行CA ABBAB 2、菱形的性质:?菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线;?菱形的四条边都相等;?菱形的对角线互相垂直平分。 3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。 【教学目的】 教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获;培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力。 【注意事项】 学生们畅所欲言自己的收获，老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，及时引导学生归纳总结本节的知识。 第六环节 布置作业: 课本习题1.1 知识技能 1、2、3 数学理解 4 1. 菱形的性质与判定(二) 一、学生知识状况分析 上节课，学生已经经历了独立探索发现菱形性质的过程，通过折纸等活动学生体会了“实验—猜想—证明—应用”的科学探索过程，认识了菱形与平行四边形的关系，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。 二、教学任务分析 本节课，学生将探究菱形的判定定理，应该说，有了上节课的铺垫，本节课可以更多地 4 让学生自主探索。第一个定理的证明中，需要首先明确判定定理与性质定理的关系，这样为后面一系列定理的证明打下基础;第二个定理教科书中是通过设置一个尺规作图的问题引入的，在学生自行完成尺规作图并明确了作法的可行性后，引导学生自主完成证明过程。 1(知识目标: 理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。 2(能力目标: (1)经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维( (2)经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力; (3)在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力。 3(情感与价值观要求 (1)积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲( (2)通过“实验—猜想—证明—应用“的数学活动提升科学素养. 4(教学重点 (1) 菱形判定定理的证明. (2) 菱形判定定理的应用. 5(教学难点 学生独立完成证明的过程，增强学生对待科学的严谨治学态度。 三、教学过程分析 本节课设计了六个环节:第一环节，课前准备;第二环节，温故知新;第三环节，展示交流，引导探究;第四环节，独立证明，交流提高;第五环节，实际应用，练习巩固;第六环节，课堂小节，回顾思考;第七环节，作业布置。 第一环节:课前准备 活动内容:制作菱形 (1) 在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形; (2) 想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形. (3) 利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法. 活动目的:通过制作棱形的过程学生可以体会菱形的判定条件，从而为课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫。同时以这种比较有趣的形式对这部分知识进行自主预习，激发学生对本节知识的学习兴趣，激发学生的积极性和主动性。 活动的注意事项: (1) 长方形纸片; (2) 记录制作过程以备在课堂上演示讲解; (3) 方法越多越好. 第二环节:温故知新 活动内容:通过练习复习上节课探究过的菱形的性质 活动目的:通过课件中的问题回顾上节课探究过的菱形的性质定理，从而为本节课课堂上的探究，尤其是理论证明做铺垫。同时以这种比较有趣的形式对这部分知识进行自主预习，激发学生对本节知识的学习兴趣，激发学生的积极性和主动性。 活动的注意事项: 鼓励学生主动讲解、相互补充完成本部分内容. 5 第三环节:展示交流，引导探究. 活动内容:利用实物投影或者课件，请学生说明自己制作的菱形的过程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的四边形是菱形(菱形的尺规作图)”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。 用实物投影、课件、板书等方式罗列发现的学生资源: 1) 对角线垂直的平行四边形是棱形 ( (2) 四条边相等的四边形是菱形请学生交流大体思路 (3) 菱形的尺规作图 (4) 利用长方形纸剪折菱形 活动目的:菱形的性质学生刚刚学完，也经过了严格的证明，学生对问题证明的分析和格式要求有一定的认知，教师引导学生认识判定定理与性质定理是互逆定理后，可以让学生独立思考，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。 活动注意事项: (1)在学生的展示过程中教师要能及时扑捉学生资源; (2)展示交流时，应当鼓励学生提出自己的意见，鼓励学生多提“为什么”,鼓励学生质疑，从而使学生认识到证明的必要性。 (3)如果学生资源不足，教师可以运用课件展示教材上的课例。 第四环节:教师引导，独立证明 活动内容:组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线垂直的平行四边形是菱形” 和 “四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。 (一)对角线垂直的平行四边形是菱形 已知:如图1-3,在?ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC?BD. 求证: ?ABCD是菱形 证明:?四边形ABCD是平行四边形 ?OA=OC 又?AC?BD ?BD是线段AC的垂直平分线 ?BA=BC ?四边形ABCD是菱形(菱形定义) (二)四条边相等的四边形是菱形 已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证: 四边形ABCD是菱形 证明:?AB=CD,AD=BC ?四边形ABCD是平行四边形 又?AB=BC ?四边形ABCD是菱形(菱形定义) 活动目的:菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定的关系有一定的认识，再对比性质定理的证明进行，同时，通过教师引导和独立思考，培养学生遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。 6 活动注意事项: 可以通过分组的形式，让学生选择自己要证明的判定定理，加入那个小组，每个小组去证明一个定理，这样不仅有利于学生的合作交流，同时还能合理安排课堂时间，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去;同时，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，鼓励发现更多的方法来证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。 第五环节:实际应用，练习巩固 活动内容:小组合作完成教材中的两个习题 1.教材P随堂练习 7 画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm、6cm. 2.教材P 知识技能1 8 已知:如图,在?ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F. 求证: 四边形AECF是菱形 EAD O BCF 活动目的:运用刚刚证明的两个判定定理解决问题，进一步发展学生的推理能力，同时，通过对教材P随堂练习的解决，让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，7 深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。 活动注意事项: (1)在小组合作过程中教师要能及时发现学生资源,及时点明共性的问题; (2)鼓励学生提出自己的意见，采用不同的思路解决问题，并能运用本节课的知识解释其中的道理。 (3)强调证明过程书写的规范性; (4)教材P 知识技能1 8 此题完成证明过程后，应当点明可以采用类似方法用长方形纸制作菱形，与第一环节呼应起来。 第六环节:课堂小结 活动内容:学生互相交流菱形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，菱形与平行四边形的关系，遇到菱形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。 活动目的:鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。 活动注意事项:鼓励学生互相补充，畅所欲言，不要由老师替学生总结，特别要关注一些在数学学习中有困难的学生，要通过这个环节来给他们树立信心，同时帮助他们发现困难以便今后更好的解决困难。 第六环节:作业布置 1.教材P 知识技能2 8 7 此题要求有能力的同学分别运用本节课学习的菱形的两条判定定理进行证明. 2. 教材P 数学理解3 8 1. 菱形的性质与判定(三) 一、学生知识状况分析 学生的知识技能分析:经过八年级下册平行四边形相关知识的学习，学生已经基本掌握了平行四边形的相关性质及判定;本节课是菱形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法。 学生的活动经验分析:在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中学生积累了许多关于菱形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。 二、教学任务分析 教科书对于本部分的安排，是在学生充分经历了菱形的性质及判定的基础上进行设计的的，学生理解了菱形的概念，探索并证明了菱形的性质定理及判别方法，本节课是对菱形性质及判定的巩固，要求学生能利用性质定理及判定定理解决一些相关的问题。基于以上任务分析，本节课的三维目标定为: 1.知识与技能目标 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。 2.过程与方法目标 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。 3.情感与态度目标 在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识;在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:第一环节:知识回顾;第二环节:知识应用;第三环节:拓展提高;第四环节:效果检测;第五环节:课堂小结;第六环节:因人作业。 第一环节:知识回顾 内容:同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗, 1.如图1所示:在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题: (1)其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少, B(2)对角线AC与BD有什么位置关系, (3)若?ADC=120?，求AC的长。 2. 如图2所示:在?ABCD中添加一个条件使其成为菱形: ACE添加方式1: . A添加方式2: . D 图1 E BD 8 C 图2 目的:通过一些简单题目的设计，帮助学生回顾菱形的相关性质及判定方法，学生从题目入手，不会显得那么古板枯燥，不仅能回顾相关知识而且能激发学生学习兴趣。 效果:学生通过题目很好地回顾了相关知识，为后续的学习打下了基础。 第二环节:知识应用 1.典型例题: 例3 如图3，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求:(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积. A解:(1)?四边形ABCD是菱形， ?AC?BD,即?AED=90?， 1DE=BD×10=5(cm) DE2 ?在Rt?ADE中，由勾股定理可得: B 2222AEADDEcm,,,,,13512(). C?AC=2AE=2×12=24(cm). 图3 (2)S= S+ S菱形ABCD?ABD?CBD 1=2×S=2××BD×AE ?ABD22= BD×AE=10×12=120(cm). 目的:通过例3让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路。 效果:学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范;对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论交流点拨后学生能接受这种方法。在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点。 ，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cm，AC长为16cm.求: 2.变式训练:如上图3 (1)菱形的边长; (2)求菱形一条边上的高。 目的:变式训练的设计，是想让学生更加深入地掌握菱形的相关性质，同时对于第二问，学生必须灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一结论求出面积进而求出一边上的高。 效果:学生对于第一个问题解决比较顺畅，书写较例3规范多了，但对于第二问仍然有疑问，教学时注意引导。 3.方法启迪: 同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验, 目的:学生完成典型例题后及时总结经验是帮助学生形成解题思路的好办法，教师借助这一环节既帮助学生梳理了思路，同时对于学习还有困难的学生是一个好的学习机会。 效果:学生对解决菱形性质类题目有了自己的思路，同时在例题和变式训练中有问题的同学通过思路的梳理与解析，也基本能掌握解题的方法。 4.知者加速与补读帮困: 2知者加速1:已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是 cm. 目的:对于数学学科的学习，大多数数学老师我想都有这样的感受，无论是新授课还是复习课，学生掌握知识的差异太大了，为了不让掌握较快的同学(我们称为“知者”)在陪读中浪费大量的时间，自然分材教学主张这部分同学能够先行一步，课堂上能尽可能多的掌握知识(我们称为“加速”)。 正是因为数学每一节课的知识点都比较集中，数学课堂上对于学困生的帮助才比较容易操作。教师在面向全体学生实施教学后，对掌握较慢接受能力较差的同学(我们称为“补读生”)应及时帮困。 9 效果:知者加速的操作主要是从熟练掌握知识点和拓宽学生知识面两个方面来进行的。“知者”学完新授知识以后，最主要的任务还是熟练掌握知识点，此时教师应可以通过典型例题的反复练习提高学生对于知识点熟练程度为后面的灵活运用打好基础。当“知者”已经掌握知识点以后，教师就应该及时通过变式训练或增加难度,拓宽学生的知识面，提高学习兴趣。 通过补读帮困让学习有困难的这部分同学能够在数学课上尽可能地掌握知识，以树立学习数学的信心。 第三环节:拓展提高 1.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗,为什么, 图4 2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使?A成为菱形一个内角吗, A CB 图5 目的:很多学生在玩耍的时候经常玩纸条，学生非常熟悉这一背景，但是他们很少发现其中的数学知识，这样也能引起学生的兴趣，同时通过这一题目对于菱形的相关判定方法也进行了巩固。 效果:学生学习的兴致非常高，讨论积极，通过学生讨论、教师点拨后对问题基本理解。 第四环节:效果检测 1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则 ?ABC= ?，AC= cm. 2.如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积 2是 cm( A ACF D DBOG BDHE C3.已知，如图8，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH AB是( ) E图7 CA.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形 图6 图8 4. 已知:如图9，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF， DC求证:(1)?ADE?CDF; (2) ?DEF=?DFE. F AB 10 E图9 知者加速2:已知:如图10，在Rt?ABC=90?，?BAC=60?，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证:四边形ACEF是菱形. B EFD 图10 CA第五环节:课堂小结 内容:通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问,请从以下三个方面进行总结:知识收获、方法收获、关注问题。总结完成后请小组内进行交流。最后教师应对本节课方法上，解题思路上进行升华点拨。 目的:学生能从以上三个方面对本节课进行总结、反思，能起到巩固所学知识，归纳学习方法，提高学生的归纳概括能力的作用。 效果:学生从以上三个方面进行了系统的总结与反思，同时通过小组交流畅所欲言，既回顾了知识又帮助了同学。 第六环节:因人作业 必做题:课本p27知识技能第3题，第4题，第8题; 选做题:如图11，在四边形ABCD中，AD?BC，E为BC的中点，BC,2AD，EA,ED,2，AC与ED相交于点F(当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形,请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积( AD F BCE 图11 2. 矩形的性质与判定(一) 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应用性质进行推理解题。 学生的活动经验基础:本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。 二、教学任务分析 《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。 11 依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。因此本节课的教学目标是: 1. 知识与技能: (1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。 (2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明; (3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力( 2. 过程与方法: (1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识; (2)通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点( 3. 情感态度与价值观: (1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。 (2) 通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 (3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节:第一环节:创设情景,导入新课;第二环节:分组讨论、探求新知;第三环节:层层递进，推理验证;第四环节:乘胜追击，完善性质;第五环节:建构新知，发展问题;第六环节:合作交流，解决问题;第七环节:反思交流，反馈提高。 第一环节:创设情景，导入新课 活动内容:1、平行四边形具有哪些性质, 2、探究矩形的定义。 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考: (1)在运动过程中四边形还是平行四边形吗, (2)在运动过程中四边形不变的是什么, (3)在运动过程中四边形改变的是什么, 不变:对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形 变:角的大小 (4)角的大小改变过程中有特殊值吗,这时的平行四边形是什么图形。(矩形) 矩形的定义:有一个内角是直角的平行四边形是矩形 ADAD 一个角变形成直角CBBC 活动目的:从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念 活动的注意事项: 让学生观察从平行四边形到矩形的变化过程，事实上是在学生已有的平行四边形相关认知的基础上建构，让他们认识到矩形是平行四边形,但却是角度特殊的平行四边形。从而自然得到矩形定义需满足两个条件。(1)平行四边形，(2)有一个角是直角。定义是本节的关键点，因此观察过程不能省略。 12 第二环节:分组讨论，探究新知 活动内容:1. 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质, 在同学回答的基础上进行归纳: 性质 边 角 对角线 对称性 类别 对边平行 中心对称矩形 对角相等 对角线互相平分 且相等 图形 2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。 (1)请同学们以小组为单位，测量身边的矩形(如书本，课桌，铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果; (2)根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立, (3)通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗, 教师在学生口答的基础上，引导学生得出(板书): 矩形的性质定理1: 矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2: 矩形的对角线相等. 活动目的:让学生分组探索。教师可引导学生，根据研究平行四边形获得的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，还可提醒学生，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”，学生通过动手测量,动脑思考,动口讨论,自主发现矩形的性质。 活动的注意事项:学生通过对比平行四边形的性质及观察从平行四边形到矩形的变化的过程，再通过测量、观察和讨论，从边、角、对角线三方面不难发现矩形的性质。学生自己讨论得出的结论会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。因此，教师不要觉得内容比较简单，就越俎代庖，应该给学生留出足够的活动时间。 第三环节:层层递进，推理论证 活动内容:提问:怎样证明你的猜想, (教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程) 13 订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。 已知:如图,四边形ABCD是矩形，?ABC=90?对角线AC与DB相交于点 O。 求证:(1)?ABC=?BCD=?CDA=?DAB=90? (2) AC=BD 活动目的:根据新课标的精神，不仅要发展学生的合情推理能力，还要发展学生的演绎推理能力。在上一环节观察，测量，猜测的基础上，学生较易得出结论。但结论是否真的正确，必须经过严谨的证明。该环节旨在训练学生规范写出推理过程。 活动的注意事项:特殊四边形这一部分，可以很好地发展学生的逻辑推理能力。既然该环节旨在训练学生规范写出推理过程。那么在活动过程中，就一定要先让学生独立完成，并挑两名学生板演，然后教师点评，最后教师规范的写出推理过程，才可以达到训练的效果。 第四环节:乘胜追击，完善性质 活动内容:问题1:请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。 ?矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么, ?矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条? 结论:矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。 问题2:请你总结一下矩形有哪些性质, 归纳概括矩形的性质: 从边来说，矩形的对边平行且相等; 从角来说，矩形的四个角都是直角; 从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分; 从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 问题3:矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 活动目的:在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称性，在知道方法的条件下，学生完全可以通过自己的操作、观察、猜想，最终得到矩形的对称特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。 活动的注意事项:在学习了矩形的性质后，一定要引导学生归纳总结，把新学到的知识和自己的已有知识经验穿成串，从而让自己的认识升华，形成自己的知识系统。 第五环节:建构新知，发展问题 活动内容:(1)提出问题:由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形,在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗,你能发现它有什么特殊的性质吗,你能借助于矩 形加以证明吗, (2)教师板书推论及推理语言: 14 定理:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. (3)练一练 已知?ABC是Rt?,?ABC=90?,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3?,则AC,_____?; (2)若?C=30?,AB,5?,则AC,_____?,BD,_____?. 活动目的:先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学 数学，用数学”的目的。 再通过习题，让学生掌握“在直角三角形中斜边 上的中线等于斜边的一半”这一性质，达到学以致用的目的，培养了学生的应用意识。 活动的注意事项:“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，是直角三角形中的一个重要性质。在活动过程，一定要让学生理解该定理的应用需满足两个条件:(1)直角三角形(2)斜边的中点。 第六环节:合作交流，解决问题 活动内容:例1:如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，?AOD=120?，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。 证明:?四边形ABCD是矩形， ? AC=BD(矩形的对角线相等) 11OA=OC=AC，OB=OD=BD， 22 OA=OD。 ? ??AOD=120?， 1??ODA=?OAD= (180?-120?)= 30?。 2 又??DAB=90?(矩形的四个角都是直角) ?BD=2AB=2×2.5=5. 活动目的: 这个例题主要目的是应用矩形的边和对角线的性质来解决问题。在学过矩形的性质后，如何熟练、灵活的应用矩形的性质解决实际问题，就是关键。活动的注意事项:该例题中，学生要得出结论难度不大，但是要简洁、清楚写出推理过程有一定的难度，教师在讲解时，要重点训练，要把推理过程规范进行板书。 第七环节:反思交流，反馈提高 活动内容:1.本节课你学到了什么, (1)矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. (2)矩形的性质 (3)直角三角形的性质 (4)矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形;矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰 15 三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。 2.自我检测。 (1)下列说法错误的是( )( A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。 C.有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (2)已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120?，则矩形的边长分别为 _____。 活动目的:让学生对学习情况进行小结，主要包括:知识小结和学法小结。通过小结，让学生梳理学习内容，明确本节课重点知识以及该掌握的解题方法和技巧，使教师及时了解学生对本节课重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况，以便答疑补漏。及时的课堂检测， 及时反馈学生学习的效果便于进行课堂教学和优化。 活动的注意事项:教学时要注重使不同的学生都能得到发展，对于学习程度较好的学生要增加思维深度，题目可以适当加调整，随学生水平的不同稍作增减。对学习有困难的学生，则鼓励学生先运用自己的语言说明理由，以帮助学生加深对所学结论的认识，逐步训练数学语言。 布置作业 习题1.4 1，2，3 2. 矩形的性质与判定(二) 一、学生知识状况分析 同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。 二、教学任务分析 从关注学生是否能顺利证明提高到关注学生是否合理严密的使用数学语言严格证明，从关注学生合作解题提高到让每一个学生都能独立完成证明的过程。能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。为此，本节课我们要达到的具体教学目标为: 1( 能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论; 2( 经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学 生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用; 3( 学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法; 4( 通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态 度，从而养成良好的习惯。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:第一环节:创设情境,提出问题;第二环节:先猜想再实践，发展几何直觉;第三环节:再创情境，猜想实践;第四环节:实际应用，范例教学;第五环节:反馈练习，注重参与;第六环节:课堂小结，布置作业。 第一环节:创设情境，提出问题 活动内容:课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形的活动框架。在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化, 16 活动目 的:通过这个 活动，首先是 学生能够主动地对平行四边形的相关知识有一个系统的回顾和认知，让学生以一种比较有趣的形式对这部分知识进行自主的复习，激发学生对本节知识的学习兴趣。同时，对平行四边形进行归纳，可以使学生清楚地认识到平行四边形与特殊平行四边形之间的关系，为后面连续几节研究特殊的平行四边形提供有力的支持。此外，这个活动，也可以激发学生的积极性和主动性。 活动的注意事项:因为前面对平行四边形及菱形、矩形的学习，学生回答问题比较有针对性，能概括地从“边、角、对角线”等几个方面回答，较有条理。当然也有个别学生语言表述不到位，需老师同学适时点拨、补充、鼓励。 第二环节:先猜想再实践，发展几何直觉 活动内容:根据上面的实践活动提出以下两个问题: 的变化，两条对角线将发生怎样的变化? (1) 随着，, (2) 当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征,由此你能得到一个怎样的猜想? 学生在小组中完成这个活动的过程中，会引发对于这两个问题的讨论，请学生根据实践的结果对问题进行回答，再对比前面所学的平行四边形及菱形的判定定理的证明过程，来思考如何证明矩形的判定定理。然后通过小组合作，将定理的证明严格的完成，最后同学实物投影的形式，各小组之间进行交流。 对比前一节学习的菱形和矩形的性质定理，引导学生对矩形独有的第一个判定定理进行证明: 教师板书本题证明过程。 定理 两条对角线相等的平行四边形是矩形。 (5) 学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证; (6) 对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析; (7) 请学生交流大体思路; (8) 用规范的数学语言写出证明过程; (9) 同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。 活动目的:矩形的性质学生已经非常熟悉，对比矩形的性质得到矩形的判定，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。 活动注意事项:通过这个活动，学生能够很容易想出矩形的这个判定定理，而且通过对比平行四边形和菱形的相关证明，不难证明。所以，教师在这里可以放手让学生通过分组的形式，自主证明，这样不仅有利于学生的合作交流，还能让学生多些时间来研究一题多解，开阔了学生的思路，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。 同时，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，特别是有没有更多的方法来证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。 对学生的证明要求不高，但需要学生画图，并写出已知求证，这对部分学生来说有一定困难，教师在此时可以注意引导，让学生首先分析出定理中的条件和结论，然后让学生仿照前面平行四边形和菱形的证明，写出已知和求证，同时对他们做出分析，这个学生分析的环节是发展学生推理论证能力的关键。 在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理由，同时，还要关注学生的证明过程是否严谨清晰。 17 第三环节:再创情境，猜想实践 活动内容: 教师给出PPT中的情境二:李芳同学用四步画出一个四边形，“边、直角、边----直角、边----直角、边”，她说这就是一个矩形，她说的对吗,为什么, 学生现猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明。 定理 三个角是直角的四边形是矩形。 (1) 学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证; (2) 对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析; (3) 请学生交流大体思路; (4) 用规范的数学语言写出证明过程; (5) 同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。 活动目的:通过上面的一个判定定理的证明，学生已经学会如何分析命题，找出条件和结论，画出图形，根据图形写出已知和求证，到现在为止学生有两种证明一个四边形是矩形的方法，在这个环节中，应引导学生对方法的适当选择， 并通过实物投影的方式对比较严谨清晰的方法进行展示。 活动注意事项:通过这个活动，学生能够很容易想出矩形的这个判定定理，而且通过对比平行四边形和菱形的相关证明，不难证明。所以，教师在这里可以放手让学生通过分组的形式，自主证明，这样不仅有利于学生的合作交流，还能让学生多些时间来研究一题多解，开阔了学生的思路，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。 第四环节:实际应用，范例教学; 活动内容: 1( 教师实际问题: ?如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形, ?如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形, ?如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形, 请说明如何操作，并说明这样做的原因。 2. 教师给出书中例二，学生进行分析，并解决这个问题，然后互相交流解法。 ?ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，?ABO是等边三角形，AB=4，求?ABCD的面积. 例:如图在 DA O CB 教师板书本例题 活动目的:运用刚刚证明的两个定理解决实际问题，进一步发展学生的推理能力，将课本中的问题拆分成三个问题，发散学生思维，从而能将平行四边形菱形和矩形联系起来，分析三者之间的区别和联系。在活动2的证明中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。 活动注意事项:在证明过程中，对于重点步骤，应该要求学生写明理由，同时，还要关注学生的证明过程是否严谨清晰。 第五环节:反馈练习，注重参与 18 活动内容: 1(已知:如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC. 求证:四边形ABCD是矩形. MDA BC 2. 已知:如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD相较于点O，CM?BD,DM?AC. 求证:四边形OCMD是矩形. AD OM BC 活动目的:通过2道练习题进一步巩固矩形的判定定理，提高学生的逻辑推理能力。 活动注意事项:通过学生的板书，查看存在问题，查漏补缺。鼓励学生一题多解，注重发散思维培养。 第六环节:课堂小节，作业布置 活动内容:学生互相交流矩形的判定定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。 活动目的:鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。 活动注意事项:鼓励学生互相补充，畅所欲言，不要由老师替学生总结，特别要关注一些在数学学习中有困难的学生，要通过这个环节来给他们树立信心，同时帮助他们发现困难以便今后更好的解决困难。 作业布置不能一概而论，对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求。课后习题3.4的要求较低，要求学生都能独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求，同时，对于数学学习存在困难的学生，应该要求他们在课后，把课堂上讲过的题目进行再整理，加深印象。 2(矩形的性质与判定(三) 一、学生起点分析 在前面相关知识的学习中，学生已经经历了大量的证明活动，特别是平行四边形的相关证明推理，学生已经逐渐体会到了证明的必要性和证明在解决实际问题时的作用，同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，锻炼了学生的 19 能力，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。 二、教学任务分析 课本基于目前学生的知识和能力水平，对本课内容提出了具体的学习任务:进一步发展推理论证能力，运用综合法证明矩形的性质和判定定理，进一步体会证明的必要性和作用，体会归纳等数学思想方法。 能力培养不仅是本节课教学过程中的近期目标，更是为今后学生学习数学知识打下基础的远景目标，能力的培养也必然带动学生情感态度目标的达成。同时，在教学中，还必须注意对不同层次的学生制定不同的教学任务，做到让每一个学生都能在课堂上有所收获。为此，本节课我们要达到的具体教学目标为: 知识与技能: ?知识目标:能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论;提高实际动手操作能力。 ?能力目标:经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用; 过程与方法:通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科 学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。 情感态度价值观:通过课堂的自主探究活动，让学生感受合作学习的成功，培养主动探求、勇于实践的精神，激发学生学习数学的激情，树立学好数学的信心。 三、教学过程 本节课设计了六个教学环节:第一环节:复习导入;第二环节:讲授新课;第三环节:巩固提高;第四环节:课堂小结;第五环节:布置作业。 第一环节 复习导入 1.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知?AOD= 120?，AB=2.5cm，则?DAO= ,AC= S=矩形ABCD_______。 cm， 2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 ，可使它成为矩形。 目的: 1、 通过两道题目复 习矩形的性质和 判定，复习旧知 识为本节课的进行热身。 2、 学生回答解题时使用的方法，进一步为本节课的开展做铺垫。 第二环 讲授新课 例3 如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O，AE?BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长. 解? 四边形ABCD是矩形， 1 2?AO=BO=DO=BD(矩形的对角线相等且互相平 分). ?BAD=90?(矩形的四个都是直角). ?ED=3BE， ?BE=OE. 20 又? AE?BD， ?AB=AO. ?AB=AO=BO. 即 ?ABO是等边三角形. ??ABO=60?. ??ADB=90?-?ABO=30?. 在Rt?AED中， ??ADB=30?， 11 22?AE=AD=×6=3. 方法和目的:这里的证明首先可以让学生对矩形的性质和判定有更深刻的认知，同时，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。 注意事项:九年级的学生在知识的掌握和思维上有一定的差异，教师可以通过分组合作的形式完成本题的求解;本题的解法不是唯一的，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己的意见，特别是有没有更多的方法来证明这些定理，在小组讨论形成结果的时候，由代表为其他同学进行讲解，并把自己组所有想到的方法向大家展示。此时，教师应该关注学生的思路是否清晰、证明是否严谨，对学有余力的学生要关注他们是否有新的想法，对学困生则要关注他们是否掌握了基本的证明思路。这样不仅有利于学生的合作交流，同时还能合理安排课堂时间，让学生把精力投入到对思想方法的研究上去。 例4 如图1-15，在?ABC中，AB=AC，AD为?BAC的平分线，AN为?ABC外角?CAM的平分线，CE?AN，垂足为E.求证:四边形ADCE是矩形. 证明:?AD平分?BAC，AN平分?CAM， 11 22??CAD=?BAC，?CAN=?CAM. ??DAE=?CAD+?CAN 1 2 =(?BAC=?CAM) 1 2 =×180? =90?. 在?ABC中， ?AB=AC，AD为?BAC的平分线， ?AD?BC. ??ADC=90?. 又?CE?AN， ??CEA=90? . ?四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). 注意事项:本题在解决上一题的基础上，运用已有知识解决问题，进一步发展学生的推理能力，通过证明，让学生体会转化的数学思想。在例题4的证明中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的 21 分析能力，深刻体会数学思想的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维最活跃的时候，最大化地提高学生能力。 第三环节 巩固提高 在例题4中，若连接DE，交AC于点F(如图1-16) (1) 试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论. (2) 线段DF与AB有怎样的关系,请证明你的结论. 注意事项:本题的综合性比较强，对于不同层次的学生，本题的考虑 方法也会有区别，教师都应该鼓励学生大胆尝试，用自己的方法去试着 解决。 练习:已知:如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点. 求证:四边形BMDN是矩形. 注意事项:在证明过程中，对于重点步骤，应该要 求学生写明理由，同时，还要关注学生的证明过程是否 严谨清晰。 第四环节 课堂小结: 1、 说说你的收获。 2、 说说你的困惑。 3、 说说你的方法。 总结内容:学生互相交流矩形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，矩形与平行四边形的关系，遇到矩形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。 目的:鼓励学生结合前面的证明畅所欲言自己的感受和收获，让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力，并且对于研究科学需要严谨的作风这一点有深刻的认识。 注意事项:鼓励学生互相补充，畅所欲言，不要由老师替学生总结，特别要关注一些在数学学习中有困难的学生，要通过这个环节来给他们树立信心，同时帮助他们发现困难以便今后更好的解决困难。 第五环节 布置作业 对于不同层次的学生，要注意提出不同的要求，作业(一)要求不高，要求学生独立完成，对于有能力的同学，可以提出更高的要求作业(二) (一)习题1.6 知识技能1、2、3、联系拓广4 (二)如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别 是AD，BD， BC，AC的中点。 (1)求证:四边形EFGH是平行四边形; (2)当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形,并证明你的结论。 22 3. 正方形的性质与判定(一) 一、学生起点分析 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些对四边形探索的具体方法，并能解决一些简单的现实问题，感受到数学信息的收集和处理的必要性和作用，获得了从事探究活动所必须的一些数学活动经验的基础;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 1、在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，体验数学发现的过程，并得出正确的结论( 2、进一步了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力( 3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力( 4、培养学生勇于探索、团结协作交流的精神。激发学生学习的积极性与主动性。 三、教学过程设计 本节课设计了七个教学环节:第一环节:课前准备;第二环节:情境引入;第三环节:合作学习;第四环节:性质应用;第五环节:练习提高;第六环节:课堂小结;第七环节:布置作业。 第一环节:课前准备 活动内容:搜集身边的矩形(提前布置)。 以合作小组为单位，开展调查活动: 各尽所能收集生活中应用的各种矩形图形。 准备好数学常用的度量工具:直尺、量角器、圆规。 活动目的:通过活动，使学生能获取尽可能多的关于矩形的信息，体会数学在社会生活中的实际意义，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识;使学生通过对目标问题展开调查采访或查阅资料，在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神。激发学生学习的积极性与主动性。 活动的注意事项:学生搜集的方式、以及展示结果的形式不限，可以上网搜集图片，可以是照片，也可以搜集实物，或者学生自己喜欢的其它形式。这样可以在极大程度上保护、鼓励学生参与的积极性和热情，并且可以极大程度上凝聚学生间的合作精神。 附部分学生作品: 学生搜集的图片或实物(部分): 第二环节:情境引入 活动内容:展示学生的成果，包括图片以及实物等各种学生能得到的“图形”。并让学生利用适当的度量工具，对搜集到的图形素材进行度量或者对素材进行适当的操作，并记录、整理数据。 活动目的:培养学生从具体数学对象中获得必要的数学要素(数据)以及对素材进行适当的操作的能力。 23 培养学生对于数据进行整理、解析的能力。培养学生从数据中发现、推导结论的能力。(通过对测量数据的分析、发现其中的相同与不同，便可较为自然的引导到本节课。)同时也可以最大程度的满足不同认知能力、信息搜集能力学生的不同认知需求(比如:实物的同学可以利用手头的测量工具得数据，而善于利用电脑的同学则可以将其搜集到的图片放入合适的软件(如几何画板)中，利用软件的便利来获得数据。)并可以极大程度上增强学生对于度量数据(图形性质)的感受。 活动的注意事项:我们要注意实物测量、操作和利用软件进行测量，这两种方式显然各有可取之处，比如学生利用实物进行折叠显然比用软件要方便的多，所以老师要给予恰当的引导。 由于度量会有误差，所以老师应该提醒学生小组多次(或多人分别)测量减小误差。 由于可测量的数据较多，所以老师应该提醒学生可以借鉴前几节课的研究，对于测量数据进行适当的选择。并整理记录数据。老师可以给学生一个示范性的数据整理模式(如下表)，但不要强求。 图形名称 数据 角 线 边 数量关系 位置关系 对角线 数量关系 位置关系 对称性 第三环节:合作学习 活动内容:选取一些有代表性的小组，对其得到的的数据或是操作得到的结论进行交流。 活动目的:是为了完成以下任务。 第一任务:?引出“有一组临边相等的矩形叫做正方形”?通过数据的交流自然的回答了“议一议”中的两个问题:(1)正方形是菱形吗?(2)你认为正方形有哪些性质, 第二任务:通过引导学生回顾关于矩形、菱形的性质、“正方形既是矩形又是菱形”得出关于正方形的两个定理“正方形的四个角都是直角四条边都相等”“正方形的对角线互相垂直平分” 第三任务:引用书上的议一议，让学生解决“正方形有几条对称轴” 活动的注意事项:第一任务:学生对于(1)正方形是菱形吗?这个问题，无论是操作、度量实物还是借助于软件都比较容易得到结论。对于(2)你认为正方形有哪些性质,中的“四个角都是直角”“四条边都相等”的结论，无论是操作、度量实物还是借助于软件也都比较容易得到，但是对于“正方形的对角线互相垂直平分”这个结论，学生有可能不一定能够发现或者得到的结论不一定完整。所以老师在此处还是要进行必要的引导。比如:“我们来关注一下对角线的数量和位置关系”或者“既然正方形也是菱形，那么它的对角线。。。。。(引导学生回答)” 第二任务:注意引导学生数学表达的准确性。此处尽量引导学生自我完成，哪怕让学生在多次失败中不断的自我完善，也比老师给出结论要好，至少锻炼学生的自我修正、完善能力。 第三任务:此时学生已经有了前面的探索经验，其实从方法上来说，已经无障碍，只是可能学生没有关注到这个角度。 此时我们可以引导学生通过操作(折纸)得到对角线然后再研究，或者我们可以从另一个角度给学生适当的提示“正方形也是菱形，菱形还研究过。。。。。。(期待学生思考)“ 第四环节:性质应用 活动内容:?引用课本例1:如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间又怎样的关系,请说明理由。 ?选用课本议一议进行阶段小结“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系,你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗,与同伴交流” 24 活动目的:?使学生对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题。实际上就是充分锻炼学生理论依据(本节课是关于正方形的定理)图形化的能力，也锻炼了学生文本信息图形化的能力。充分锻炼学生的空间观念。 ?使学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质。同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段。 活动的注意事项: ?在引用本例题时由于问题中“BE与DF之间又怎样的关系,”这个表述过于笼统，所以可能有部分学生可能会对“关系”的理解不到位，只理解为数量或位置关系，所以在具体上课时要根据具体的学情，进行适当的分解。 比如分层教学，可将问题分解为“BE与DF之间又怎样的数量关系,”“BE与DF之间又怎样的位置关系,”“BE与DF之间又怎样的数量、位置关系,”“BE与DF之间又怎样的关系,”分别由不同层次的学生选择适合自己的问题。最后一定要让学生明确“BE与DF之间又怎样的关系”包含数量和位置两种关系。或者我们可以在课堂上故意让“位置”“数量”两种不同观点的同学交流自己的意见，从而引发同学的关注与参与，进而在交争论中达成共识，加深印象。 ?实际上“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系,你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗,与同伴交流”中“你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗,”的这个表述在一定程度上是对学生回答问题方式的一种约束，不利于学生充分调动自己的认知结构对此问题做出“丰富多彩”的展示，建议将此表述改为“你能用一个你喜欢的方式直观地表示它们之间的关系吗,”更贴近学生，更有利于学生做出“丰富多彩”的展示。可预知学生可能会出现图的展示，可能会出现表格的展示，甚至可能出现卡通的展示，小品式的展示。。。。。既激发了学生参与的热情，又丰富了总结的形式，何乐而不为。我们也可以采用如下的方式对学生进行追问:“这是老师的，你的呢,” 来不断引导学生参与、思考。 第五环节:练习提高 活动内容: :如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形, 1 2:如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等三角形吗,选择 25 其中一对进行证明。 活动目的:对本节知识进行巩固练习。 活动注意事项:其实我们教师可以根据自己课堂的具体学情，对题目进行适当的替换。但是这种对于学生来说的初次尝试，不宜太复杂，以免打击学生的主动性、积极性。 第六环节:课堂小结 活动内容:总结正方形的性质:包括其边角关系以及对称性。其次将平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的联系建立起适合学生自己的知识结构并内化为自己数学品质的一部分。 活动目的:一是要通过此环节对学过的知识进行回顾，并且进行在加工，内化为自己的数学品质。同时在此过程中学生间的相互交流、沟通、甚至是争论，也将逐渐在学生意识中渗透，进而使其将“交流、沟通、争论等等”逐渐吸收变成自己获取信息的方式中的一种。 活动注意事项: 总结最好主要由学生自主完成，老师只是在学生将某些知识或思想方法遗忘时进行适当的引导即可。因为学习的意义首先便是吸引受教育对象的主动参与，然后才会有后续的认知探究;其次这种亲身参与获得的感受与收获更容易内化为学生自身的认知结构;再次这种多个交流对象间的交流甚至争论不仅加深了学生对知识的认知，更重要的是这是触发灵感、产生新问题的重要途径。 第七环节:布置作业 课本 P22 习题1.7知识技能T1，T2 3.正方形的性质与判定(二) 一、学生知识状况分析 学生的知识基础:学生之前已经借助折纸、画图、测量、证明等活动探索过平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，还在第一课时学习了正方形的性质，本节课主要是对正方形的判定进行推理证明，而前面的探索过程和方法为本节课的推理证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路。八年级时学生还学习了“三角形中位线定理”，这些都为本节课探究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了探究该命题的基本技能。 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索—发现—猜想—证明”的过程，并初步体会了获得猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，并且学生具有了一定的推理证明的能力。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教材基于学生对特殊平行四边形和三角形中位线定理的认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务:掌握正方形判定定理、理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系，但这仅仅是这堂课外显的近期目标。 本课内容从属于“图形与几何”中的“图形的性质”，因而务必服务于演绎推理教学的远期目标:“让学生经历‘探索—发现—猜想—证明’的过程，体会证明的必要性，掌握用综合法证明的格式，初步感受 26 公理化思想，发展空间观念”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是: 知识与技能: 1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。 3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 过程与方法: 1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.通过凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。 情感与态度: 通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节: 第一环节:情景引入;第二环节:运用巩固;第三环节:猜想结论，分组验证;第四环节:学以致用;第五环节:课堂小结;第六环节:布置作业 第一环节:情景引入 活动内容: 问题:将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样 剪才能剪出一个正方形, (学生动手折叠、思考、剪切) 活动目的: 因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45?角即可。 活动的注意事项: 部分学生在动手操作时，会剪出菱形，教师要引导学生思考:正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到，而折痕是正方形的对角线，所以本环节要从对角线的角度考虑，即对角线要垂直相等且平分，学生很自然的会想到需要剪一个等腰直角三角形，因此只要保证剪口线与折痕成45?角即可，本节课的第一个教学难点迎刃而解。 本环节中教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学生，请同学到讲台前讲解自己的做法和判断依据，顺势引导学生总结出正方形的判定定理: 1. 对角线相等的菱形是正方形。 2. 对角线垂直的矩形是正方形。 3. 有一个角是直角的菱形是正方形。 教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。 此框架图给出了正方形的判 别条件，先判定一个四边形是平 27 行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形;或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形。由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。 第二环节:运用巩固 活动内容: 活动目的: 通过例2，复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理，让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 活动的注意事项: 此环节采用合作学习的策略，鼓励学生多层面、多角度地思考正方形判定的运用，目的在于加深学生对判定本身的理解和掌握，同时也丰富了交流的内容，激发了交流的气氛，使新旧知识融会贯通，达到同学间的沟通、互补、共同提高的目的，教师应对学生的合理讲解给予肯定和鼓励。而且整个过程也使学生重新回顾了证明的步骤，为进一步发展学生的演绎推理能力奠定了基础。 第三环节:猜想结论，分组验证 活动内容1: B B B E E F F E F A C A C G H G H 图1-8-1 C 图1-8-2 图1-8-3 A D 问题:1.如图，在ΔABC中，EF为ΔABC的中位线， D ??若?BEF=30，则?A= . ?若EF=8cm, 则AC= . 2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系,EH和FG呢, 3.四边形EFGH的形状有什么特征, 活动目的: 通过问题串，复习三角形中位线性质定理和命题“依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形”。 活动的注意事项: 教师在提问时选择平时学习数学有困难的学生，由于是前面已经学过的知识，学生们回答得很流畅，这种低起点的问题，也增强了学生学习数学的自信心。此外，课件的运用，直观形象，也分解了难点。 活动内容2: 问题:如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢, 28 活动目的: 在一个开放的情景中，引导学生体会由一般到特殊的归纳、类比、转化的思想方法，同时培养学生的积极探索、勇于创新的精神。 活动的注意事项: 有的学生猜测还是平行四边形，有的学生猜测是正方形，有的学生猜测是矩形，有的学生猜测是菱形，甚至有的学生猜测是梯形。经过师生的共同探讨，达成一致的结论:一定是平行四边形，而非梯形。于是老师顺势提出问题“会不会是特殊的平行四边形呢,从结论来探索有一些困难，那么我们可以换一种角度思考:四边形ABCD可以为哪些特殊的四边形,”学生的回答多种多样，原四边形可以为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至还有学生回答为梯形和直角梯形。于是老师请学生选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，从而顺利进入下一环节。 此环节的设置引发了学生对特殊四边形的中点四边形的思考，学生们畅所欲言，互相补充完善，气氛热烈，进一步发展了学生合作交流的能力和数学表达能力，同时也是对之前所学的特殊四边形进行回顾。老师在这一环节中，对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，再一次增强了学生学习数学的自信心。 活动内容3: 学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形(平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形)中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。 活动目的: 由学生非常熟悉的、常见的特殊四边形得到结论，为后面的知识形成作好铺垫，并把学习的主动权让给学生，目的在于激发学生的学习兴趣，使学生真正成为学习的主人;同时让学生再一次体会由一般到特殊的归纳思想、类比、转化的思想方法，进一步提高学生的合作交流和数学表达能力。 活动的注意事项: 学生结合前面学过的各种特殊四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，人人参与、积极进行探究和交流，通过类比和转化共归纳出以下几种情况。各小组派代表展示自己小组的猜想和验证，讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使验证的过程更加严谨。把学习的主动权交给了学生，真正体现了学生的自主性，也激发了学生学习数学的兴趣。 HDAHHHDDDAAA EG EEEGGGC图1-8-4 图1-8-5 图1-8-6 图1-8-7 BFCCBCBFBFF H A H A H D D DA 图1-8-8 图1-8-9 图1-8-10 G G E E EG得出结论: CB C B C 平行四边形的中点四边形是平行四边形; BF F F 矩形的中点四边形是菱形; 菱形的中点四边形是矩形; 正方形的中点四边形是正方形; 等腰梯形的中点四边形是菱形; 直角梯形的中点四边形是平行四边形; 梯形的中点四边形是平行四边形。 在这一环节中，老师走入学生中适时地进行指导，引导学生进行归纳总结，提高学生的概括能力。对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学习能力较强的学生鼓励他们研究第2个甚至更多个图形，使以上7个图形的结论能够顺利得出，并对学生的回答给予充分的肯定和鼓励。学生们展示完自己的结论后，老 29 师利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生直观的感受。 活动内容4: 问题:1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形, 2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件, 3.你是从什么角度考虑的, 4.你从哪儿得到的启发, 5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗,例如:原四边形为菱形，其中点四边形为矩形, 活动目的: 以问题串的形式引导学生逐步深入思考，前2个问题的设置帮助学生回忆特殊四边形的性质与判定定理，第3、4个问题帮助学生揭示变化的原因:矩形和等腰梯形的对角线有相同的性质“对角线相等”，而且其它中点四边形的变换也和原四边形的对角线有关系。有了前4问的铺设，第5个问题可以通过类比的思想解决;同时让学生体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法，进一步提高学生的数学表达能力。 活动的注意事项: 这一环节紧紧围绕“中点四边形”再次提出问题串，是对上一活动的拓展。通过问题串的解答，使学生对决定中点四边形形状的因素更加明了。教师引导学生对研究的问题归纳总结。 概括出规律: 决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。 (1) 若对角线相等，则中点四边形EFGH为菱形; (2) 若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH为矩形; (3) 若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH为正方形; (4) 若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH为平行四边形。 DDD D G HGH HGHG C AC AA CEFAF CEE BF图1-8-11 图1-8-12 图1-8-13 图1-8-14 EFBB B这里让学生通过归纳，学会把知识整理成一个系统，也就是我们常要求的:教学过程贵在让学生掌握学习的方法，让学生真正地“会学”，既学法指导。这里正是渗透了这种思想。老师再次利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生们直观的感受。 第四环节:学以致用 活动内容:(图形发散练习) 利用几何画板，拖动A点使四边形ABCD的图形变化进行研究。 HDDA DHDAH HAEGG GGEAEE 图1-8-15 图1-8-16 图1-8-17 图1-8-18 CCBCCFFBBFBF 活动目的: 30 用动画的形式让同学们观察四边形的不断变化过程中，中点四边形的变化情况，体会变化中存在的不变的几何关系:图中几何图形的位置关系处在相互依存的状态之中，静态图形只是动态图形在变化过程中的某一瞬间，意在培养学生的发散思维能力，提高学生研究数学的兴趣和创新意识。 在题目的设置上，采用逐步递进的策略，其中图1-8-15是ABCD为凸四边形，图1-8-16是AB、 AD在同一线段上，图1-8-17是ABCD为凹四边形，图1-8-18是ABCD为扭曲四边形。 活动的注意事项: 利用几何画板演示，学生们表现出了极大的学习兴趣，学生们畅所欲言，互相补充完善，课堂气氛异常活跃。经过师生共同探索，得到结论:当ABCD是上面的图形时，四边形EFGH仍为平行四边形。特别是图1-8-18，学生理解有困难，老师引导学生转换思考角度，即四边形EFGH可以看作四边形ADBC的边AD、BC的中点和对角线AB、CD的中点的四边形，这样就解决了问题。老师在这一环节中，对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，再一次增强了学生学习数学的自信心。 第五环节:课堂小结 活动内容: 1(本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法, 2(通过本节课的学习你有哪些收获,在今后的学习过程中应该怎么做, 活动目的: 培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，总结研究数学问题的一般方法。 活动的注意事项: 学生们畅所欲言自己的收获，比如:有的学生说:通过这节课我掌握了正方形的判定定理，知道了中点四边形的形状与原四边形对角线有关;有的学生说:通过这节课我了解了类比、转化和归纳概括的数学思想，我要把这些运用到平日的学习和生活中;还有的学生说:通过这节课我发现了数学的美，我更加喜欢数学了;„„老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓励。 第六环节:布置作业 1.习题1.8(1、3) 2.用所学中点四边形的知识，设计一个基本图形，然后在方格纸内通过平移、旋转或轴对称进行图案设计。 第一章 特殊平行四边形 回顾与思考 一、学生知识状况分析 “特殊的平行四边形”是学生继学习了平行四边形之后的一个学习内容，学生已经学习了平行四边形的有关知识，对平行四边形的性质和判定已有一定的认识，学生在小学也接触过矩形，菱形，正方形的一些简单应用。本节主要复习三种特殊平行四边形的性质和判定，以及对他们的比较。研究过程中以类比，归类为主要方法，同时，九年级学生已经具备比较强的归纳、总结能力，利用学生间相互评价、相互提问，使之参与课堂的热情提高。 二、教学任务分析 本节是从三种特殊平行四边形的关系入手，使学生进一步认识矩形、菱形、正方形的内在关系:不仅要让学生了解三种特殊平行四边形的性质和判定，更重要的是让学生通过观察、比较、归类找出他们内在的转化方法。通过自己动经历和体验图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。本节共一个课时，已总结和简单练习为主。 1(知识目标: 复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系。 2(能力目标: 31 (1)经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维( (2)经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力; (3)在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力。 3(情感与价值观要求 (1)积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲( (2)通过“猜想—总结—证明—应用“的数学活动提升科学素养. 4. 教学重点 (2) 三种特殊平行四边形性质和判定的复习. (2) 三种特殊平行四边形的关系. 4(教学难点 总结关系方法的多样性和系统性。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节:第一环节:交流创意,导入课题;第二环节:动手操作、探求新知;第三环节:先猜想再实践，发展几何直觉;第四环节:巩固基础，检测自我;第五环节:课堂小结，布置作业。 第一环节:交流创意，导入课题 内容:事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的关系图，课堂上先交流讨论。 目的:通过学生自己的创意入手，激发学生学习兴趣。引出关系图 注意事项:激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。 矩形 有一个角 邻边相等 是直角 平行四边形 有一个角是直角且邻边相等 正方形 有一个角 邻边相等 菱形 是直角 第二环节:交流创意，总结归纳 内容:事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的性质和判定方法。 目的:通过学生自己的作品入手，激发学生学习兴趣。引出特殊平行四边形的性质，判定表格，梳理本章知识。 注意事项:提高了课堂效率，激发学生自我总结的兴趣，培养学生表达能力。 第三环节:小试牛刀，基础巩固 内容:一组考察基础的判断，填空题 1、一组对边平行的四边形是梯形。( ) 2、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形是平行四边形。( ) 3、两条对角线相等的四边形是矩形。( ) 4、一组邻边相等的的矩形是正方形。( ) 5、对角线互相垂直的四边形是菱形。( ) 6、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。( ) 32 目的:巩固基础知识 注意事项:学生通过简单快速答题，查漏补缺。 第四环节:出示例题，总结方法 内容:两个例题，一个正方形，一个折叠问题。 例1:已知:如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上的一点，CE?AF于E，交AD于M 求证:?MFD=45? G FAD CBE 目的:解决学生本章中两个难点问题的困惑。 例2.如图，矩形纸片ABCD中，AB=3厘米，BC=4厘米，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF。试确定重叠部分?AEF的面积。 注意事项:学生通过例题学习，总结方法，拓展提升。 第五环节:总结收获，拓展提升 内容:交流收获。 目的:本节课内容较多，帮助学生总结知识和方法。 注意事项:学生通过交流总结，将知识和方法形成系统。 第二章 一元二次方程 1(认识一元二次方程(一) 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程;学生在八年级已学过二元一次方程组的概念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程;学生已理解了“元”和“次”的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务:1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节:第一环节:自主探究问题一;第二环节:自主探究问题二;第三环节: 33 自主探究问题三;第四环节:总结归纳;第五环节:学以致用;第六环节:反思;第七环节:布置作业。 第一环节:自主探究问题一 活动内容: 出示问题一:幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量,你能根18m 据条件列出关于这个量的什么关系式, 活动目的: 提出了半开放性的问题:根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量,旨在培养学生的问题意识;要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。 教学要求与效果: 教学中，为了帮助学生理解题意，可以首先提出问题:你能找到图中的矩形地 面、条形区域和地毯区域吗,并让一生指出对应的三部分;接着要求学生从这一实 物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然后教师呈现第二幅图。 教学中教师可以一次完成下列任务: (1)罗列学生提的问题; (2)引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式; (3)引导学生列出相应的方程并整理。 列方程从实际效果来看，学生提出的问题多样有:(1)花边的宽，(2)中央长方形的长、宽等;学生问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得到的方程也不同;但是，整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有直接的关系。 第二环节:自主探究问题二 活动内容: 22222在学生的疑问处提出问题:你能找到关于10、11、12、13、14这五个数之间的等式吗, 22222得到等式10+11+12=13+14之后你的猜想是什么, 根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。 在难以找到的情况下，归结为方程去解决。 活动目的: 上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想是:是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。 教学要求与效果: 22222找到等式10+11+12=13+14之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。 首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问:需要我的帮助吗,然后给予必要的指导。 然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索-发现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。 从实际效果来看，学生的学习积极性很高，课上到这儿达到一个小高潮。 第三环节:自主探究问题三 活动内容: 34 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m(如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米, 活动目的: 8 通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。 活动的实际效果: m 先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。 第四环节:总结归纳 活动内容: 归纳一元二次方程的概念:结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。 活动目的: 关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深对概念的理解。 活动的实际效果:学生基本能识别一元二次方程及各个部分。 第五环节:学以致用 活动内容: 221、把方程(3x，2),4(x,3)化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项( 2(从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽,尺，竖着比门框高,尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了(你知道竹竿有多长吗,请根据这一问题列出方程( 活动目的: 及时巩固一元二次方程的有关概念，巩固学生通过实际问题列出相应方程。 活动的实际效果: 问题(1)中学生对于化成一元二次方程的一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时，部分学生可能容易忽视符号，作为第一次学习，这是难免的。当然，教学中也可以在第4环节中设计一种反向的问题，如给出各项系数，请写出事故和条件的方程;也可以在第四环节中，直接和学生辨析到底各项系数是什么。 问题(2)，实际问题，可能有部分学生不能理解题意，部分学生不能很快列出相应的方程，教师要鼓励学生自己找到等量关系，然后将直角三角形的各边表示出来。 第六环节:布置作业 作业:P33习题2、1 35 第二章 一元二次方程 1(认识一元二次方程(二) 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程(或方程组)的求解的过程。因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解; 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题。同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解。同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书基于学生已有的估算意识和能力以及对方程的解的理解的基础之上，提出了本节课的具体学习任务:经历一元二次方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《认识一元二次方程》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标:“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是: 1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。 2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。 3、进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节:第一环节:复习回顾;第二环节:情境引入;第三环节:做一做;第四环节:练习提高;第五环节:课堂小结;第六环节:布置作业。 第一环节:复习回顾 活动内容:在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程: 22x,13x，11,0，，，，，即:; 8,2x5,2x,18 2222x，12x,15,0，即:。 ，，x，6，7,10 发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。上一节课的两个问题是否已经得以完全解决,你能求出各方程中的x吗, 活动目的:上述两个问题是承上一节课的现实问题，通过对这两个问题情境的回顾，学生自然会产生求解的欲望，符合学生的学习心理。适当的回顾也是引导学生不仅要学会将现实问题转化为数学问题，而且还应该关注对该数学问题进行解答。 实际效果:学生能够意识到上一节课只是找到了解决问题的途径，即列方程，但并没有将方程的解求出来，也就是说并没有最终找到问题的答案，因而产生了彻底解决这些问题的欲望，因而十分自然地引出了本节课的主要内容:探索一元二次方程的解。 第二环节:情境引入 36 活动内容:1、有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表(能测量是否通)进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处,与同伴进行交流。 2、在前一节课的问题中，我们若设所求的宽度为x(m)，得到方程:，即:，，，，8,2x5,2x,1822x,13x，11,0; (1)根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗, ?说说你的理由( (2)x可能小于0吗,可能大于4吗?可能大于2(5吗?说说你的理由，并与同伴进行交流( (3)完成下表: x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 22x-13x+11 (4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流( 活动目的: 设计问题1，目的在于激发学生的学习兴趣，同时让学生体会和理解“夹逼”的思想，为2的解决提供铺垫; 问题2，顺应第1环节，设法求出花边的宽度，这里引领学生经历一个初步估计范围、逐步逼近的过程，为后续其他问题的解决提供了 范本 协议范本下载族谱范本下载临帖范本下载公司章程范本下载监理月检范本下载 、样例。 实际效果:通过对问题1提出的方法进行讨论，学生能够比较自然的得到“夹逼”思想解决一元二次方程的方法，并由学生概括得出用“夹逼”思想解一元二次方程的实质及步骤:?在未知数x的取值范围内排除一部分取值，?根据题意所列的具体情况再次进行排除;?列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;?最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。然后用这种方法解决接下来的问题2。 问题2，第(1)问，因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0;第(2)问，学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4和当x大于2.5时，将分别使原矩形地面的长和宽小于0，不符合实际情况;第(3)问，学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x=1时，代数 2式2x-13x+11的值等于0;所求的宽度为1m。 由于方程的解是整数解，学生都能通过列表计算直接找到方程的解，这就使学生从这种求解的方法中体验到了方便和巧妙，从而增强了学生学习的积极性，同时培养学生善于观察分析问题、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。 当然，解决第(4)问时，有的学生发现在方程中，等式的左边是一个乘积，右，，，，8,2x5,2x,18 边等于18，而36=18，所以令8-2x=6,5-2x=3,凑出x=1，这些学生的想法很巧妙，要及时肯定。 ， 第三环节:做一做 活动内容:上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 2222，把这个方程化为一般形式为x，12x,15,0 ，，x，6，7,10 (1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? (2)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么? (3)底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么? (4)x的整数部分是几?十分位是几? 活动目的:在本环节中，使学生充分体验探求方程解的过程，这既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中，引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法，进而体会无限逼近的思想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。同时，对于近似解的讨论，一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力，另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。需要指出的是，在这一环节的计算中，应提倡学生使用计算器。 实际效果:由于在解决上一环节问题的过程中，学生对用估算的方法求解已经有了一个初步的认识。本环节中，我将课本中的第三问直接提前到第一问，目的是让学生体会应首先从实际生活中找到x的取值 37 范围，学生说理情况非常不错～然后再将找到的0,x,4的范围通过以下的几问继续“夹逼”，使x的范围进一步缩小。通过这两步的“夹逼”，让学生充分体会无限逼近的思想。 附学生对第,1,问的说理过程如下: 在此题中～我认为x的取值范围是0,x,4。首先～梯子滑动的距离x,0是显而易见的～在下图中～求得BC=6m,而BD,10m,因此CD,4m。所以x的取值范围是0,x,4。 学生完成下面的表格: x 0 1 2 3 4 2+12x-15 -15 -2 13 30 49 x 同时发现:没能在这些整数取值中找到方程的解～但却通过表格分析发现～当x的取值是1和2时～所对应代数式的值是-2和13～而且随着x的取值越大～相应代数式的值也越大。因此若想使代数式的值为0～那么x的取值应在1和2之间。从而确定x的整数部分是1。教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解。以下分了两种不同的做法: 甲同学的做法: x 0 0.5 1 1.5 2 2x+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 所以1,x,1.5 进一步计算: x 1.1 1.2 1.3 1.4 2x+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 所以1.1,x,1.2 因此x的整数部分是1～十分位是1。 乙同学的做法: x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2x+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 6.76 8.29 所以1.1,x,1.2 因此x的整数部分是1～十分位是1。 对于这几种做法～教师要及时地给与肯定和鼓励～并可将二者加以比较。 通过这一练习，可要求学生整理用“夹逼”思想解一元二次方程的做题思路，并可展示课本中小亮的求解过程。 第四环节:练习与提高 活动内容:五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方。您能求出这五个整数分别是多少吗, 活动目的:为了检测学生对本课教学目标的达到的情况，进一步加强知识的应用训练，我给出了课本上的这道题目，这也是上一节课中的一个数学问题的延续。引导学生从知识获得途径、结论、应用、数学思想方法等几个方面展开，引导学生自主归纳完成，这有利于强化学生对知识的理解和记忆，提高分析和小结能力。教学中应关注学生对五个连续整数的不同表示方法，让学生比较异同，并在比较中找出最好的 38 表示方法。同时这一题目也是对本节知识进行的巩固练习。 实际效果:此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习学生基本都能准确表示出五个连续整数，但因设法的不同，所列方程各不相同。在计算该方程的解时，很难确定x的取值范围，而且在列表的过程中，符合条件的解共有两个，教师可在学生练习中给与适当的引导和提示。 第五环节:课堂小结 活动内容:师生互相交流总结探索解一元二次方程的基本思路和关键，以及在求解(或近似解)时应注意的问题。 活动目的:鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想(学生畅所欲言，教师给予鼓励) 实际效果:学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了本节课的基本思路和过程。 第六环节:布置作业 课本37页习题2.2第1题、第2题、第3题. 第二章 一元二次方程 ,(用配方法求解一元二次方程(一) 一、学生知识状况分析 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用计算器估算一元二次方程解的 过程，解决了一些简单的现实问题，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基于学生的学习心理规 律，在学习了估算法求解一元二次方程的基础上，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望;同时在 以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定 的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书基于学生用估算的方法求解一元二次方程的基础之上，提出了本课的具体学习任务:用配 方法解二次项系数为1的一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。 而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《用配方法求解一元二次 方程》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标:“让学 生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解 一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目 标。为此，本节课的教学目标是: 2的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数,、会用开方法解形如(n,0)(x，m),n 为1的一元二次方程; ,、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效 模型，增强学生的数学应用意识和能力; ,、体会转化的数学思想方法; ,、能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节:第一环节:复习回顾;第二环节:自主探究;第三环节:讲授新课; 第四环节:练习提高;第五环节:课堂小结;第六环节:布置作业。 第一环节:复习回顾 4活动内容:1、如果一个数的平方等于，则这个数是 ，若一个数的平方等于7，则这个数 39 是 。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系, 2、用字母表示因式分解的完全平方公式。 活动目的:通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式，为学生后面配方法的学习作好铺垫。 实际效果:第1和第2问选两三个学生口答，由于问题较简单，学生很快回答出来。 第二环节:自主探究 (1)你能解哪些一元二次方程, (2)你会解下列一元二次方程吗,你是怎么做的, 222222; ; ; 。 x,52x，3,5x，2x，1,5(x，6)，7,10 2(3)上节课，我们研究梯子底端滑动的距离满足方程,你能仿照上面几x，12x,15,0x(m) 个方程的解题过程,求出的精确解吗?你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里?(合作交流) x 活动目的:利用实际问题，让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫;培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。 实际效果:在复习了开方的基础上，学生很快口答出了第1问，为解决第二问做好了准备。第2问让学生合作解决，学生在交流如何求原来正方形的边长时，产生了不同的方法，有的学生直接开方先求出了新正方形的边，再减增加的边长，求出原来的正方形的边长;有的同学用了方程，设原正方形的 22边长为，根据题意列出了一元二次方程然后两边开方，根据实xcm(x，3),64;(x，3),48际情况求出了原来正方形的边长，这样，再一次经历了用一元二次方程解决实际问题的过程，并初步了解了开方法在一元二次方程中的简单应用。在第2问的基础上，学生很快解决了第3问。但学生在 2解决第4问时遇到了困难，他们发现等号的左端不是完全平方式，不能直接化成 (x，m),n 的形式，因此大部分同学认为这个方程不能用开方法解，那么如何解决这样的方程问题呢,(n,0) 这就是我们本节课要来研究的问题(自然引出课题)，为后面探索配方法埋好了伏笔。 第三环节:讲授新课 活动内容1:做一做:(填空配成完全平方式，体会如何配方) 填上适当的数，使下列等式成立。(选4个学生口答) 2222 x，12x，_____,(x，6)x,6x，____,(x,3) 2222 x，8x，____,(x，___)x,4x，____,(x,___) 2x，ax问题:上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系,对于形如的式子如何配成完全平方式,(小组合作交流) 活动目的:配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。 实际效果:由于在复习回顾时已经复习过完全平方式，所以大部分学生很快解决四个小填空题。通过 2x，ax小组的合作交流，学生发现要把形如的式子如何配成完全平方式，只要加上一次项系数一半 40 a2即可。而且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使如何配成完全平方的平方即加上()2 式的方法更加透彻。事实上，通过对配方的感知的过程，学生都能用自己的语言归纳总结出配成完全平方式的方法，这就为下一环节“用配方法解一元二次方程”打好基础。由此也反映出学生善于观察分析的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的,体现了学生良好的情感、态度、价值观。 活动内容2:解决例题 2(1)解方程:x+8x-9=0.(师生共同解决) 解:可以把常数项移到方程的右边，得 2x+8x,9 两边都加上(一次项系数8的一半的平方)，得 222x+8x，4=9，4. 2(x+4)=25 开平方，得 x+4=?5, 即 x+4=5,或x+4=-5. 所以 x1=1, x2=-9. 2(2)解决梯子底部滑动问题:(仿照例1，学生独立解决) x，12x,15,0 2解:移项得 x+12x=15， 2222两边同时加上6得，x+12x+6=15+36，即(x+6)=51 51 两边开平方，得x+6=? 所以:,，但因为表示梯子底部滑动的距离所以 xx,51,6x,,51,6x,,51,6122不合题意舍去。 答:梯子底部滑动了米。 (51,6) 活动内容3:及时小结、整理思路 用这种方法解一元二次方程的思路是什么,其关键又是什么,(小组合作交流) 活动目的:通过对例1和例2的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配 2方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成形式，同时通过例2提(x，m),n(n,0)醒学生注意:有的方程虽然有两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍。由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的。最后由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么,”引出配方法的定义。 实际效果:学生经过前一环节对配方法的特点有了初步的认识，通过两个例题的处理，进一步完善对配方法基本思路的把握，是对配方法的学习由探求迈向实际应用的第一步。最后利用两个问题，通过小组的合作交流得出配方法的基本思路和解决问题的关键，结论的得出来源于学生在实例分析中的亲身感受，体现学生学习的主动性。 讨论，学生发现这三种方法都正确，并且指出第一种方法可以利用平移水渠，把分割成的四部分拼在一起，构成了一个较大的矩形(如下图)，然后再利用矩形的面积公式列出方程，此种方法在解决此类问题时最简单。这样通过学生之间的争论、辩论提高了课堂效率，激发了学生学习数学的热情，达到了资源共享。 第四环节:练习与提高 41 活动内容:解下列方程 2222 (1)x,10x，25,7;(2)x,14x,8;(3)x，3x,1;(4)x，2x，2,8x 活动目的:对本节知识进行巩固练习。 实际效果:此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习，学生基本都能用配方法解解二 次项系数为1、一次项系数为偶数的一元二次方程，取得了较好的教学效果，加深了学生对“用配方 法解简单一元二次方程”的理解。 第五环节:课堂小结 活动内容:师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键，以及在应用配方法时应注 意的问题。 活动目的:鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想(学生畅所欲言，教师给予鼓励)。 实际效果:学生畅所欲言谈自己的切身感受与实际收获，掌握了配方法的基本思路和过程。 第六环节:布置作业 课本39页习题2.3 1题、2、3题 第二章 一元二次方程 ,(用公式法求解一元二次方程(一) 一、学生知识状况分析 2学生的知识技能基础:学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式:ax+bx+c=0(a?0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式;在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程. 学生活动经验基础:学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验;学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力. 二、教学任务分析 公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方 程。所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后， 用公式法解一元二次方程。 其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一;正确、 熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难 点。 为此，本节课的教学目标是: ?在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 ?能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力. ?通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。 ?通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流 42 的意识和能力 三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节:第一环节:回忆巩固;第二环节:探究新知;第三环节:巩固新知;第四环节:收获与感悟;第五环节:布置作业。 第一环节;回忆巩固 活动内容: 22+3=7x (2)3x+2x+1=0 ?用配方法解下列方程:(1)2x 全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算 ?由学生总结用配方法解方程的一般方法: 第一题: 2x2+3=7x 解:将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 732x,x，,022 两边都除以一次项系数:2 7749322x,x，(),，,024162 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 7252(x,),,0416即: 7252x,,()416 75x,,,44两边开平方取“?” 得: 75x,,44 1 2 写出方程的根 ? x1=3 , x2= 第二题: 3x2+2x+1=0 212x，x，,033解:两边都除以一次项系数:3 211322x，x，(),，,03392 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 1252(x，)，,0318即: 1252(x，),,318 25,,018? ?原方程无解 活动目的: (1)进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动:没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与 43 以后二次函数一般式化顶点式保持一致。 (2)选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。 (3)教师还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习. 活动的实际效果: 通过对旧知识的回顾，学生再次经历了配方法解方程的全过程，由于是旧知识，学生容易做出正确答 案，并获得成功的喜悦，调动了学生的学习热情，唤醒学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。 第二环节 探究新知 (1)活动1:自主推导求根公式。 2+bx+c=0(a?0) 提出问题:解一元二次方程:ax 学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨。最后由师生共同 归纳、总结，得出求根公式. bc2解:两边都除以一次项系数:a x，x，,0aa 问:为什么可以两边都除以一次项系数:a 答:因为a?0 2 配方:加上再减去一次项系数一半的平方 bbbc22x，x，(),，,02a2a4aa 2即: bb,4ac2(x，),,02a4a 2bb,4ac 2(x，),2a4a 问:现在可以两边开平方吗, 2b,4ac 答:不可以～因为不能保证 ,024a 2b,4ac 问:什么情况下 ,024a 学生讨论后回答: 答: ? a?0 2? 4a>0 2b,4ac要使 ,024a 2只要 b-4ac?0即可 22bb,4ac?当b-4ac?0时～两边开平方取“?” 得: x，,,2a4a 2bb4ac, x，,,a2a 2bb4ac, x,,,a2a 2bb4ac,,, x,2a 2问:如果b-4ac<0时～会出现什么问题, 答:方程无解 2如果b-4ac=0呢,答;方程有两个相等的实数根。 活动目的: 44 学生能否自主推导出来并不重要，重要的是由学生亲身经历公式的推导过程，只有经历了这一过程， 他们才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而发。 活动的实际效果: 学生的主要问题通常出现在这样的几个地方: 22bc中运算的符号出现错误和通分出现错误 (1)bbbc22,，x，x，(),，,0224aaa2a4aa 2(2)不能主动意识到只有当b-4ac?0时，两边才能开平方 (3)两边开平方，忽略取“?”。 大部分学生需要在教师的帮助下，才能完善公式的推导。 (2)活动2:归纳总结公式法定义和根的判别式。 第三环节:巩固新知 活动内容: ,、判断下列方程是否有解:(学生口答) 22222(1) 2x+3=7x (2)x-7x=18 (3)3x+2x+1=0(4)9x+6x+1=0 (5)16x+8x=3 (6) 22x-9x+8=0 2学生迅速演算或口算出b-4ac,从而判断出根的情况。 问第(3)题的判断，与第一环节中的第(2)题对比，哪种方法更简捷, ,、上述方程如果有解，求出方程的解 学生口述，教师板书第(1)题，第(4)题 2解方程 2x+3=7x 例: 2先将方程化成一般形式 解: 2x-7x+3=0 确定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 22判断方程是否有根 ?b-4ac=(-7)-4×2×3=25>0 ? 24,b,b,acx,2a 7,257,5,,224， 1写出方程的根 即x=3,x=- 12 2问:与第一环节中的第(1)题对比，哪种解法更简捷, 2例:解方程 9x+6x+1=0 确定a,b,c的值 解:a=9, b=6, c=1 22判断方程是否有根 ?b-4ac=6-4×9×1=0 24,b,b,acx,2a 60,,,29， ? 60,,,18 1,,3 (剩下的题目教师根据时间情况选择使用，个别学生上黑板做题，其他同学在座位上练习) ,、课本随堂练习1、2. 45 活动目的:通过让学生或口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。 活动实际效果:教师引导学生分析，学生口答、板书，笔答，对比，评价，总结(大部分学生能够正确、熟练的用公式法解方程。 第四环节:收获与感悟 活动内容: 提出问题: 2+bx+c=0(a?0)的求根公式是什么, 1、一元二次方程ax 2、如何判断一元二次方程根的情况, 3、用公式法解方程应注意的问题是什么, 4、你在解方程的过程中有哪些小技巧, 让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。 活动目的:鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。 活动实际效果:学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的过程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的没有根，通过解方程，进一步提高了学生的运算能力。 第五环节:布置作业 用公式法解下列方程(教师可根据实际情况选用) 、课本47页1,2题。 1 2、程解应用题 (1)已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少? (2)一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽 第二章 一元二次方程 ,(用公式法求解一元二次方程(二) 一、学生知识状况分析 学生活动经验基础:学生在七年级和八年级中有过 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。 二、教学任务分析 课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 对方程的要求是:能够根据具体问题中的数量关系，列出方程;体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型;能根据具体的实际意义，检验结果是否合理。本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案，因此需要适度 46 的建模，为此制定本课时教学目标是:(1)通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法;(2)通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性。 三、教学过程分析 整个教学过程共分七个环节进行。第一环节:知识回顾;第二环节:情境引入;第三环节:方案设计;第四环节:问题解答;第五环节:学以致用;第六环节:反思归纳;第七环节:布置作业。 第一环节:知识回顾 活动内容: 你能举例说明什么是一元二次方程吗,它有什么特点,怎样用配方法解一元二次方程,怎样用公式法解一元二次方程, 活动目的: 帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。 第二环节:情境引入 活动内容: 师提出问题:现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决, 在一块长为,,m，宽为,,m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗,若可以实现，你能给出具体的设计方案吗, 活动目的: 以情境引入课题，以同学生平等的身份提出问题，改变教师的权威地位，成为学生真正意义上 的合作者。通过问题情境的设计，让学生主动的投入到学习过程中，使学生真正成为数学学习的主人， 激发学生的探究愿望。 教学效果:学生兴趣盎然。 第三环节:方案设计 活动内容: 学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品。 活动目的: 通过征集设计方案，激发学生的内在动力。 先独立思考，独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者。 教学效果: 学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 47 在学生自行设计和展现作品时，教师可以提出具有挑战性、开放性的问题，以激发学生的学习热情的问题:(1)怎样知道你的设计是符合要求的,你能说明你的设计是符合要求的吗,(2)以上图形哪些可以直接说明符合上面条件的,剩下的图形怎样通过计算来说明, 同时让学生知道设计得对与否，数据是最好的说明，如何来计算数据，通过列一元二次方程来解决，这样顺利引入本课的研究内容。 此外，课堂上没来的及展示的可以留作课后探讨，这样做也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的课程理念，既没超出教材的要求，又达到了适当拔高、激发学生学习兴趣以及培养能力的目的。 第四环节:问题解答 活动内容: 问题解答: 1、 如何设未知数,怎样列方程, 2、 分组解答图(5)、(6)所列的方程。 图,5,的解答: 解:设小路的宽为xm,由题意得: 1 ,16-2x,,12-2x,=16×12×2 2整理～得:x-14x+24=0 2x-14x+49=-24+49 2 (x-7) =25 x=12 ,x=2 12 答:,略, 问题:你认为小路的宽为12m和2m都符合实际意义吗, 图,6,的解答: 解:设扇形的半径为xm,由题意得: 12 πx=16×12× 2 2 πx=96 x=? ??5、5 96x?5、5 ～x?-5、5, 舍去, 12, 3、集体解答图(7):根据学生所列的方程进行解答。 活动目的:通过问题的解答和验证，使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程。 教学效果: 由于时间关系，分组解答图(5)和(6)，部分同学忽视了验证解的合理性，这也是难免的，在学生发生这些问题时，适时提醒即可。 第五环节:学以致用 活动内容:在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少, 48 (1) (2) (3) 出示图(2)和图(3)做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程, 解:设金边的宽为xm,由题意得: ,90+2x ,(40+2x) ×72%=90 ×40 活动目的:增强用数学的意识，进一步巩固用配方法解一元二次方程。 教学效果: 解答时准确率较低，原因有两点:一是本例数据较繁，而是学生毕竟刚学习解方程，解一元二次方程尚未熟练，教学中如有可能可以给学生更多的时间。 第六环节:反思归纳 通过本节课的学习，你有哪些感悟,还有哪些困惑, 第七环节:布置作业 第2、3、4题。 作业:P43 第二章 一元二次方程 ,(用因式分解法求解一元二次方程 一、学生知识状况分析 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次 方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次 方程的必要性和作用;同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一 定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本课《因式分解法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程 教学的远期目标:“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量 关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分 析问题、解决问题的意识和能力。”同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为 此，本节课的教学目标是: 知识与技能目标 1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性; 2、会用因式分解法(提公因式法、公式法)解决某些简单的数字系数的一元二次方程; 3、通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。 过程与方法目标 1、通过学生探究一元二次方程的解法，使学生知道分解因式法是解一元二次方程的一种简便、 特殊的方法，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程; 2、通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题 的方 49 法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。 情感与态度目标 1、经历观察，归纳分解因式法解一元二次方程的过程，激发好奇心; 2、进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主动参与、合作 交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节:第一环节:复习回顾;第二环节:情境引入，探究新知;第三环节: 例题解析;第四环节:巩固练习;第五环节:拓展延伸;第六环节:感悟与收获;第七环节:布置作业。 第一环节:复习回顾 2内容:1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)=n(n?0)的形式。 2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。 3、选择合适的方法解下列方程: 22?x-6x=7 ?3x+8x-3=0 目的:以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识， 形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。 实际效果:第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“n?0”。 第二问题由于较简单，学生很快回答出来。 第三问题由学生独立完成，通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用，提高了学生自信心。 第二环节:情景引入、探究新知 内容:1、师:有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行, 生:齐答行。 师:出示问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗,如果能，这个数是几,你是怎样求出来的, 说明:学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。 附:学生A:设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ?x2-3x=0 ?a=1,b= -3,c=0 ? b2-4ac=9 ? x1=0, x2=3 ? 这个数是0或3。 学生B::设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ? x2-3x=0 x2-3x+(3/2)2=(3/2) 2 (x-3/2) 2=9/4 ? x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2 ? x1=3, x2=0 ?这个数是0或3。 学生C::设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x ? x2-3x=0 即x(x-3)=0 ? x=0或x-3=0 50 ? x1=0, x2=3 ? 这个数是0或3。 学生D:设这个数为x，根据题意，可列方程 x2=3x 两边同时约去x,得 ? x=3 ? 这个数是3。 2、师:同学们在下面用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么? 说明:小组内交流,中心发言人回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。 超越小组:我们认为D小组的做法不正确,因为要两边同时约去X,必须确保X不等于0,但题目中没有说明。虽然我们组没有人用C同学的做法,但我们一致认为C同学的做法最好,这样做简单又准确. 学生E:补充一点，刚才讲X须确保不等于0，而此题恰好X=0,所以不能约去，否则丢根. 师:这两位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个棒!(及时评价鼓励，激发学生的学习热情) 3、师:现在请C同学为大家说说他的想法好不好? 生:齐答好 学生C:X(X-3)=0 所以X=0或X=3 因为我想3×0=0, 0×(-3)=0 ， 0×0=0反过来，如果ab=0,12 那么a=0或b=0,所以a与b至少有一个等于0 4、师:好，这时我们可这样表示: 如果a×b=0,那么a=0或b=0 这就是说:当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。 所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0时，中间应写上“或”字。 2我们再来看c同学解方程x=3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b=0,则a=0或b=0,把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解。我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我门就采用因式分解法来解一元二次方程。 目的:通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法.在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的发展.问题3和4进一步点明了因式分解的理论根据及实质,教师总结了本节课的重点. 实际效果:对于问题1学生能根据自己的理解选择一定的方法解决，速度比较快。第2问让学生合作解决，学生在交流中产生了不同的看法，经过讨论探究进一步了解了分解因式法解一元二次方程是一种更特殊、简单的方法。C同学对于第3问的回答从特殊到一般讲解透彻，学生语言学生更容易理解。问题4的解决很自然地探究了新知——因式分解法.并且也点明了运用因式分解法解一元二次方程的关键:将方程左边化为因式乘积,右边化为0，这为后面的解题做了铺垫。 说明:如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况，二者同时成立;二者有一个成立。“且”是“二者同时成立”的意思。 第三环节 例题解析 2内容:解下列方程 (1)、 5X=4X (仿照引例学生自行解决) (2)、 X-2=X(X-2) (师生共同解决) 2 (3)、 (X+1)-25=0 (师生共同解决) 学生G:解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再因式分解求解。 解:(1)原方程可变形为 51 2-4X=0 5X ? X(5X-4)=0 ? X=0或5X-4=0 ? X=0, X=4/5 12 学生H:解方程(2)时因为方程的左、右两边都有(x-2),所以我把(x-2)看作整体，然后移项，再因式分解求解。 解:(2)原方程可变形为 (X-2)-X(X-2)=0 ? (X-2)(1-X)=0 ? X-2=0或1-X=0 ? X=2 ， X=1 12 学生K:老师，解方程(2)时能否将原方程展开后再求解 师:能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便。 2 2学生M:方程(x+1)-25=0的右边是0，左边(x+1)-25可以把(x+1)看做整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可因式分解。 解:(3)原方程可变形为 [(X+1)+5][(X+1)-5]=0 ? (X+6)(X-4)=0 ? X+6=0或X-4=0 X=-6 ， X=4 ? 12 师:好:这个题实际上我们在前几节课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法。由此可知:一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主。 问题:1、用这种方法解一元二次方程的思路是什么?步骤是什么? (小组合作交流) 2、对于以上三道题你是否还有其他方法来解? (课下交流完成) 目的:例题讲解中,第一题学生独自完成,考察了学生对引例的掌握情况,便于及时反馈。第2、3题体现了师生互动共同合作，进一步规范解题步骤,最后提出两个问题。问题1进一步巩固因式分解法定义及解题步骤，而问题2体现了解题的多样化。 正确率比较高;(2)、(3)题经过探究合作最终顺利的完成,实际效果:对于例题中(1)学生做得很迅速, 所以学生情绪高涨,讨论热烈,思维活跃,正是因为这，问题1、2学生们有见地的结论不断涌现，叙述越来越严谨。 说明:在课本的基础上例题又补充了一题,目的是练习使用公式法因式分解。 第四环节:巩固练习 内容:1、解下列方程:(1) (X+2)(X-4)=0 2 (2 ) X-4=0 (3 ) 4X(2X+1)=3(2X+1) 2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数, 目的:华罗庚说过“学数学而不练,犹如入宝山而空返”该练习对本节知识进行巩固，使学生更好地理解所学知识并灵活运用。 实际效果:此处留给学生充分的时间与空间进行独立练习，通过练习基本能用因式 分解法解一元二次方程，收到了较好的效果。 第五环节 拓展与延伸 师:想不想挑战自我, 学生:想 内容:1、一个小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的速度h(m)，与时间t(s)满足关系: 52 2 小球何时能落回地面, h=15t-5t 2 2、一元二次方程(m-1)x+3mx+(m+4)(m-1)=0有一个根为0，求m 的值 说明:a学生交流合作后教师适当引导提出两个问提，1、第一题中小球落回地面是什么意思,2、第二题中一个根为0有什么用, b这组补充题目稍有难度,为了激发优秀生的学习热情。 目的:学生在对因式分解法直接感知的基础上，在头脑加工组合，呈现感知过的特点，使认识从感知不段发展，上升为一种可以把握的能力。同时学生通过独立思考及小组交流，寻找解决问题的方法，获得数学活动的经验，调动了学生学习的积极性，也培养了团结协作的精神，使学生在学习中获得快乐，在学习中感受数学的实际应用价值。 实际效果:对于问题1，个别学生不理解问题导致没列出一元二次方程;问题2由于在配方法时接触过此类型的题目，因此掌握比较不错。 说明:小组内交流时，教师关注小组中每个学生的参与积极性及小组内的合作交流情况。 第六环节 感悟与收获 内容:师生互相交流总结 1、因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键。 2、在应用因式分解法时应注意的问题。 3、因式分解法体现了怎样的数学思想? 目的:鼓励学生结合本节课的内容谈自己的收获与感想。 实际效果:学生畅所欲言，在民主的氛围中培养学生归纳概括能力和语言表达能力;同时引导学生反思探究过程，帮助学生肯定自我、欣赏他人。 第七环节 布置作业 课本49页习题2.7 1、2题。 第二章 一元二次方程 5(一元二次方程的根与系数的关系 一、学生知识状况分析 “一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。 二、教学任务分析 本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理(韦达是法国数学家)，韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组;韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学 53 习方程理论打下基础。为此，确定本节课的教学目标为: 1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a?0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。 2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。 3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。 4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节:第一环节:复习回顾;第二环节:情境引入;第三环节:探究新知;第四环节:尝试发展;第五环节:拓展创新;第六环节:感悟与收获;第七环节:布置作业。 第一环节:复习回顾 内容: 1、一元二次方程的一般形式, ax2+bx+c=0 (a?0)(板书) 2、一元二次方程有实数根的条件是什么, (?=b2-4ac?0) 3、当?,0，?=0，?,0 根的情况如何, 4、一元二次方程的求根公式是什么, 目的:以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。 效果:第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“a?0”。 后面的问题由于较简单，学生很快回答出来，提高了学生自信心。 第二环节:情景引入 内容:同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积, (1)x2+3x+4=0 (2)6x2+x-2=0 (3) 2x2-3x +1=0 目的:通过游戏入手，激发学生学习兴趣。 效果:激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引出本节课要学习的课题 第三环节:探究新知 内容: 计算填表(验证第一环节游戏的结果) 方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2+3x+4=0 6x2+x-2=0 2x2-3x +1=0 问题: 1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗, 2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢, 3、请根据以上的观察发现进一步猜想:方程ax2+bx+c=0 (a?0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系:____________。 4.你能证明上面的猜想吗,请证明，并用文字语言叙述说明。 (分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。) 目的:本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。 效果:在复习旧知的基础上，学生很快口完成了表格，为解决后面的问题做好了准备。问题串让学生合作解决，在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律。 第四环节:尝试发展 54 尝试题1:根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积 (方程两根为x1，x2、k是常数) (1)2x2-3x-1=0 x1+x2= ________ x1x2= ________ (2)3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= ________ (3)x2+7x=-6 x1+x2= _________ x1x2= _________ (4)5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= _________ (学生迅速演算或口算) 尝试题2:利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的 (1)平方和 (2)倒数和 (3)差 尝试题3:已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。 目的:“尝试题1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第(3)小题是培养学生思维严谨性和批判性;第(4)小题是起过渡作用设计。 “尝试题2” 将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。例如: x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; “尝试题3” 展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。 效果:1、两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生的易错点 2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练的掌握。 3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。 第五环节:拓展创新 1(已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。 2、变式训练: 已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗, 3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3. 目的:1、第1、2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。 2、第3题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度。同时要注意答案的多样性及其中的规律 效果:留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间与空间，使学生在资源共享的同时，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷， 第六环节 感悟与收获 内容:师生互相交流总结 在方程ax2+bx+c=0(a?0)中，a、b、c有哪些作用, ?二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程; 0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数; ?当a? ?当a?0时，?=b2-4ac可判定根的情况 ?当a?0，b2-4ac?0时，x1+x2= ，x1x2= ?当a?0，c=0时，方程必有一根为0。 目的:鼓励学生回顾本节课知识方面以及与之相联系的知识有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中。 效果:学生通过回顾本节课的学习，感受到公式推导的全过程，发展了逻辑思维能力，提高了推理技能。 第七环节 布置作业 P52 A 知识技能1 B 数学理解3 C、已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 55 第二章 一元二次方程 6(应用一元二次方程(一) 一、学生知识状况分析 学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生，对于实际问题的应用，虽然在七、八年级学生已经进行了有关的训练，但还是有一定的难度。 由于本节内容针对的学习者是九年级上学期的学生，已经具备了一定的生活经验和初步的解一元二次方程的经验，乐意并能够与同伴进行合作交流。 二、教学任务分析 本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是: 知识目标: 通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。 能力目标: 1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型; 2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力; 情感态度价值观:?在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。 三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节:第一环节:回忆巩固，情境导入;第二环节:做一做，探索新知;第三环节:练一练，巩固新知;第四环节:收获与感悟;第五环节:布置作业。 第一环节;回忆巩固，情境导入 活动内容:提出问题:还记得本章开始时梯子下滑的问题吗, ?在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢, ?如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗,如果相等，那么这个距离是多少, 分组讨论: ?怎么设未知数,在这个问题中存在怎样的等量关系,如何利用勾股定理来列方程, ?涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。 活动目的:以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。 活动的实际效果:大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上述问题进行思考，能够在 56 老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果，而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。 第二环节 做一做，探索新知 活动内容:见课本P53页例1: 如图:某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直 线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给 船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里,(结果精确到0.1海里) 该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去 审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。在讲解过程 中可逐步分解难点:?审清题意;?找准各条有关线段的长度关 系;?建立方程模型，之后求解。 解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学 生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓 住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系。 在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点: (1)要求DE的长，需要如何设未知数, (2)怎样建立含DE未知数的等量关系,从已知条件中能找到吗, (3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形, Rt,DEF (4)选定后，三条边长都是已知的吗,DE，DF，EF分别是多少, 学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即: 速度等量:V=2×V军舰补给船 时间等量:t=t 军舰补给船 222 三边数量关系: EF，FD,DE 弄清图形中线段长表示的量:已知AB=BC=200海里，DE表示补给船的路程，AB，BE表示军舰的路程。 学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段:DE、EF的长，根据勾A 股定理列方程求解，并判断解的合理性。 巩固练习: P 1、一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm， 8cm 那么这个直角三角的面积是多少, 2、如图:在Rt?ACB中，?C=90?，点P、Q同时由A、B两点出发分别 沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后?PCQ的面积为 Rt?ACB面积的一半, Q B C 6cm 3、在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵 向，一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽, 57 说明:三个题目的设计从简单问题入手，通过勾股定理解决直角三角形边长问题;第2题构造了一个可变的直角三角形，解决面积问题;第三题也是面积问题，在这个问题中常设道路宽为x米，其中两条长为20米，一条长为32米，但要注意路的交叉部分。 引导学生通过转变图形进行思考:若将图中的三条路分别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列方程求解,结果一样吗,哪种方法更简单, 活动目的:一元二次方程的应用问题的类型较多，像数字问题、面积问题、平均增长(或降低)率问题、利润问题、数形结合问题等;本节课以教材上的引例作为出发点，作为素材来呈现，可以将应用类型作适当的拓展，在练习中将教材中的应用问题归类呈现出来，便于学生理解和掌握。本课由数形结合问题拓展到面积问题，后面可以在练习中增加数字问题，在第二课时在利润问题上也可增加平均增长率问题等，为学生呈现更多的应用类型，让学生在不同的情境中体会建模的重要性。由于本节“一元二次方程的应用”与九年级下册中的“二次函数”的应用联系密切，所以学好本节课可以为后续知识打下坚实的基础。 活动实际效果:应用问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节:整体系统的审清题意;寻找等量关系;正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。 第三环节:练一练，巩固新知 2活动内容:1、在一块正方形的钢板上裁下宽为20cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4800 cm。求原正方形钢板的面积。 2、有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱, 3、《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远, 活动目的:通过三道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。 在教学过程中要以学生为主体，引导学生自主发现、合作交流。 活动实际效果:学生在前面活动中积累的经验，可以帮助学生比较顺利地分析上述问题，遇有疑难可以让学生在合作交流中解决，学生在训练过程中更加理解了建模的重要性(大部分学生能够独立解决问题。 第四环节:收获与感悟 活动内容: 问题: 1、列方程解应用题的关键 58 2、列方程解应用题的步骤 3、列方程应注意的一些问题 让学生在学习小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言。 活动目的:鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中;通过对三个问题的解决，加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力;并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增强孩子学好数学的信心。 活动实际效果:学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。 第五环节:布置作业 1、甲乙两个小朋友的年龄相差4岁，两个人的年龄相乘积等于45，你知道这两个小朋友几岁吗, 2、一块长方形草地的长和宽分别为20m和15m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246?，求小路的宽度。 3、有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。 选作题(供学有余力的学生选作): 一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中北 10海里的圆形区域心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 包括边界)都属台风区.当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方(A 东 向B处，且AB=100海里.若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会 遇到台风?若会，试求轮船最初遇到 台风的时间;若不会，请说明理由. B 第二章 一元二次方程 6.应用一元二次方程(二) 一、学生知识状况分析 九年级学生的思维应该说已经具有一定的水平，对于方程的理解也不是第一次接触，在学习一元一次方程及其应用和二元一次方程组、分式方程及其应用时，学生就已经经历了“问题情境,建立方程模型,解决问题”这一数学化的过程，理解了学习方程的意义，对于简单的实际问题也能够通过寻找其中的数量关系来解决。 本节内容的设置，正是《新课程标准》在知识点上呈螺旋上升趋势的具体体现。但是学生的思维需要逐渐培养，在学生具备一定的思维水平的基础上，教师是引导学生学习的关键，在学习难度较大的知识点时，兴趣是关键。教师还应从学生的积极性入手，努力去挖掘学生的主动性和合作性，以增强学生克服困难的决心。 本节主要研究列一元二次方程解应用题，研究过程中让学生亲自经历和体验运用一元二次方程解决实 59 际问题的过程，使其认识到运用一元二次方程解决实际问题源于解决问题的实际需要，通过一元二次方程建模的应用以及教师的形象比喻，使学生自然感受一元二次方程建模的意义和作用;同时关注学生运用一元二次方程解决实际问题的多样化和合理化，从而培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识。 二、教学任务分析 本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中须要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是: ?通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。 ?经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义; ?能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力; ?在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。 三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节:第一环节:前置诊断，开辟道路;第二环节:做一做，探索新知;第三环节:练一练，巩固新知;第四环节:收获与感悟;第五环节:布置作业。 第一环节;前置诊断，开辟道路 活动内容: 请同学们回忆并回答与利润相关的知识, 9，那么x折呢, 9折要乘以90%或0.9或10 活动目的:通过回顾，使学生熟悉利润背景的实际问题中蕴含的数量关系。 活动实际效果:学生掌握得比较理想，关于x折问题，需要关注学生掌握情况。 第二环节:做一做，探索新知 活动内容: 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明:当销售价为2900元时，平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元,(做了改动，降低难度) 分析:本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度。所以，教学时我采用列表的形式分析其中的数量关系: 本题的主要等量关系:每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为 元。 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 降价后 填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了。 当然，解题思路不应拘泥于这一种，再利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法。如求定价为多少,直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决, 巩固练习: 60 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明:这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少,这时应进台灯多少个, 请你利用方程解决这一问题。 活动实际效果:每种类型的问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节:整体系统的审清题意;寻找等量关系;正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。 探索与创新: 一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手。这次会议到会的人数是多少, 活动目的:本节课是第一课时，在教学过程中我体现“学生为主体，教师为主导，训练为主线，思维为核心”的教学思想，尊重学生的人格及创造精神，把教学的重心和立足点转移到引导学生主动积极的“学”上来，引导学生想学、会学、善学。通过发现式、启发式、讨论式等先进的教学方法，才能调动学生的主动性、自觉性，激发积极的思维，采取启发、引导、积极参与等方法，指导学生独立思考，寻找问题的可能性答案;培养学生敢于批判、勇于创新的精神;培养学生发现问题、分析问题、解决问题的勇气和能力。 对于学生的评价，应关注学生在学习过程中的表现，如能否积极的参加活动，能否从不同的角度去思考问题等等，而不是仅局限于学生是否会列方程。培养学生的创新精神，对有创新的学生要提出表扬。鼓励学生使用数学语言，有条理的表达自己的思考过程，鼓励学生大胆质疑和创新。 活动实际效果:每种类型的问题设置都经过精心准备。通过问题串的设立，将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解，使学生在不知不觉中克服困难，体会到列方程解应用题的三个重要环节:整体系统的审清题意;寻找等量关系;正确求解并检验解的合理性。采取的是一讲一练，从巩固练习的准确程度上来看，学生掌握得比较好，能够达到预期的效果。 第三环节:练一练，巩固新知 活动内容: 1.P55随堂练习 2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元, 活动目的:通过两道问题的解决，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度。 活动实际效果:选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的进一步形成。 第四环节:收获与感悟 活动内容: 通过两节课的学习，你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗,有哪些收获, 活动目的:鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中;并且通过对三个问题的解决，加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力。 活动实际效果: 学生能说出利用方程解决实际问题的关键和步骤: 关键:寻找等量关系 步骤:其一是整体地、系统地审清问题;其二是把握问题中的“相等关系”;其三是正确求解方程并检 61 验解的合理性。 学生通过回顾本节课的学习过程，体会利用列一元二次方程解决实际问题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力。 第五环节:布置作业 P56习题2.9第1-4题 选作题(供学有余力的学生选作): P59复习题23 第二章 一元二次方程 回顾与思考 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程、二元一次方程以及一次函数的相关知识及应用，在本章中，又学习了一元二次方程的相关解法，初步体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，具备了利用数学知识解决实际问题的能力; 学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法;同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教学任务分析 本节课以梳理、巩固基础知本节课是一元二次方程的复习课，对于本章的基础知识，学生已大致掌握. 识为起点，重点解决在学生中存在的易错点与混淆点;实际应用是方程建模思想的具体体现，学生往往感到有一定的难度，本节课以此为重点，从简单的实际问题入手，逐步加深对建模思想的理解.为此，设置本节课的教学目标如下: 1、知识与技能: ?经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型; ?能够利用一元二次方程解决有关实际问题，帮助学生认识到运用方程解决实际问题的关键是确定题目中蕴含的等量关系;并且能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力; ?了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想; 2、过程与方法: ?通过让学生经历将多种实际问题抽象成数学问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型; ?通过小组合作学习，经历一题多解等过程，发展学生多角度思考问题的方法. 情感与态度: ?通过对方程的认识、一题多解的思维展示，发展学生勇于展示自己的品质; ?在解决富有挑战性的问题的过程中，培养学生敢于直面困难、勇于挑战的良好品质，鼓励学生大胆尝试，体会成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣. 62 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:第一环节:课前准备---构建知识结构;第二环节:基础知识重现;第三环节:情境中合作学习;第四环节:巩固提高;第五环节:课堂小结;第六环节:布置作业. 第一环节:课前准备----构建知识结构 活动内容:在授完本章新课知识后，让学生重新回顾本章内容，整理出本章的知识结构网络，理清各板块内容间的联系.此活动内容在上课前一天布置，让每一位学生都提前做好准备.上课时，选取有代表性的知识结构网络进行全班展示，其他同学对照自己的总结查缺补漏.同时，教师展示一下本章的框架，指出本节课的重点是:利用一元二次方程解决实际问题. 活动目的:学生在整理本章知识结构的同时，可以回顾本章的重点内容，细细体会解一元二次方程的“转化”思想，找寻利用方程解决实际问题的关键. 活动的实际效果:基于对学生两年来的不间断训练，绝大分学生可以对本章的主要内容以及注意点详细地总结出来，只是呈现形式略微不同.但也有少数同学只是泛泛地停留在书本上的定义、黑体字上，对于更深入的内容总结不到位，这部分同学在教学中往往也是需要特别关注的同学，需要我们教师从各方面来激发他们对数学学习的兴趣. 附部分学生的作业: 学生A的本章知识结构 1、定义:只含有一个未知数x的整式方程～并且 2 +bx+c=0(a,b,c为常数,a?0)的形都可以化成ax 式～这样的方程叫做一元二次方程. ? 直接开平方法 ? 配方法 ? 公式法 ? 问题情景---- —元二次方程 22 ax+bx+c=0 (a?0～b-4ac?0)的解为: : 2、解法 2bb4ac,,, x , 2a ?因式分解法 3、应用 :其关键是能根据题意找出等量关系. ?本章的重点:一元二次方程的解法和应用. ?本章的难点:应用一元二次方程解决实际问题的方法. 学生B的本章知识结构: 本章的知识体系包括三大部分: 2+bx+c=0(a～b～c为常,一,一元二次方程的定义:只含有一个未知数x的整式方程～并且都可以化成ax数～a?0)的形式～这样的方程叫做一元二次方程.在这里应注意的问题是:?只含有一个未知数,?未知数的最高指数必须是2,(3)二次项系数不为0, ,二,一元二次方程的解法:一元二次方程的常用解法有:? 直接开平方法,? 配方法,? 公式法,?因式分解法.,注意:在运用配方法解一元二次方程时～一般先将二次项系数化为1,在运用公式法解一元 222二次方程时～必须先将方程化为ax+bx+c=0 (a?0)的形式～同时判断b-4ac是否?0～如果b-4ac?0～ 2bb4ac,,,x,才可用公式求解,～并由此推导出如何判断一元二次方程的根的情况的方法。 2a 63 引例,,梯子滑动,P 引例,,养鸡场问题,P 2,,古,三,一元二次方程的应用:花边、道路宽度,P424356算题,P 1,,简单动点问题,P 2,,利润问题,P 例2,,其关键是能找出题目中的等量关系～列出方656666 程, 本章的重点和难点是:一元二次方程的解法和应用. 第二环节:基础知识重现 内容:以投影形式展示一组基础题目，内容涉及一元二次方程的定义和解法.其中，1、2小题采取口答形式，第3、4小题对比来做，体会其中的方法，第5小题采取3个同学分别板演、其他同学纠错、教师集中规范的方式来解决. 2m，11、当m 时，关于x的方程(m,1)+5+mx=0是一元二次方程. x 222、方程(m,1)x+(m,1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程;当m 时，是一元一次方程. 223、将一元二次方程x-2x-2=0化成(x+a)=b的形式是 ;此方程的根是 . 24、用配方法解方程x+8x+9=0时，应将方程变形为 ( ) 22A.(x+4)=7 B.(x+4)=,9 22C.(x+4)=25 D.(x+4)=,7 5、解下列一元二次方程 2(1) 4x,16x+15=0 (用配方法解) 22x=2x,6x(用分解因式法解) (2) 9, (3) (x，1)(2,x)=1 (选择适当的方法解) 目的:上述这一组题目主要目的是巩固对一元二次方程定义的理解、熟练地解一元二次方程.其中，第1、2小题对比，加深学生对一元二次方程和一元一次方程定义的理解;第3、4小题均是对一元二次方程配方法掌握程度的检验，同时，这部分内容所涉及的方法也是后续“二次函数”学习的基础，此处，也为二次函数的学习奠定一定的基础;第5小题设置三道小题，分别限定方法让学生来解一元二次方程，让学生熟练方程的解法. 实际效果:对于第1题，学生普遍掌握比较好，但对于与之对比的第2题，有部分同学存在一定的问题，尤其是对于何时是一元一次方程，更是没有思路，通过这两道题的对比，使学生对方程的定义更加深了理解，也明确了判断一个方程是何类方程时，不仅要关注未知数的次数，还要注意系数;对于第5小题中的第(3)小题，部分学生直接用分解因式法来做，这也是本题设置的一个重要意图:当方程中等式右侧不为0时，不可以直接用分解因式法来做，而要先化成一般形式，再具体选用方法.通过这几道题，让学生关注了方程中的易错点，对于今后的学习也作了部分铺垫. 第三环节:情境中合作学习 内容:在本环节中，选择具有代表性的三类实际问题:利润问题、简单动点问题、周长一定的面积问题作为例题及小组合作学习的题目，其中的1、3小题作为例题，2、4小题作为小组合作学习的题目，仿照例题的分析方式小组合作完成，第5题作为师生互动的题目.选择第1题作为例题规范板书，其余题目只需分析、列方程即可. 对于第1题，可以从以下几个方面提出问题，帮助学生分析问题、解决问题: (1)成本为多少,(2)“如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支”在本题中的作用是什么,(3)“售价每上涨1元就少卖10支”的作用,(4)利润的表达形式有哪几种,(5)本题中的等量关系是什么, 在用一种方法解决完本题之后，可以让学生尝试其它的思路，进行一题多解. 对于第3题，可以从以下几个方面入手分析: 64 (1)题目中的等量关系是什么,(2)点P、Q移动的过程中，哪个量是相同的,(3)如何求出?PCQ的面积,(4)如何求出Rt?ACB面积, 对于第5题，着重于第(4)(5)两个小问题，需要借助于一定的经验加以解决.同时，此题是典型的二次函数最值问题，放在此处，给学生一个直观的感受. 1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔～根据市场调查～如果以20元/支的价格销售～每月可以售出200支,而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元～则该种钢笔该如何涨价,此时店主该进货多少, 2、新新商场以16元/件的价格购进一批衬衫～根据市场调查～如果以20元/件的价格销售～每月可以售出200件,而这种衬衫的售价每上涨1元就少卖10件.现在商场经理希望销售该种衬衫月利润为1350元～而且～经理希望用于购进这批衬衫的资金不多于1500元～则该种衬衫该如何定价,此时该进货多少, A 3、如图～在Rt?ACB中～?C=90?～BC=6m～AC=8m～点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC～BC方向向点C匀速运动～已知点P移动的速度是20cm/s～点Q P 5移动的速度是10cm/s～几秒后?PCQ的面积为Rt?ACB面积的, 8 C B Q A P 4、如图～在Rt?ACB中～?C=90?～ AC=6m～BC=8m～点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC～BC方向向点C匀速运动～它们的速度都是1m/s～几秒后?PCQ的面积为Rt?ACB面积的一半, C B Q 5、新苑小区的物业管理部门为了美化环境～在小区靠墙的一侧设计了一处长方形花圃(墙长25m)～三边外围用篱笆围起～栽上蝴蝶花～共用篱笆40m～ 2(1) 花圃的面积能达到180m吗, 2(2) 花圃的面积能达到200m吗, 2A D (3) 花圃的面积能达到250m吗, 如果能～请你给出设计方案,如果不能～请说明理由( (4) 你能根据所学过的知识求出花圃的最大面积吗,此时～篱笆该怎样 B C 围, (5) 如果想在花圃中栽种两种不同的蝴蝶花～需要在花圃中再加一道篱笆～A D 若不想改变篱笆的总长度～那么～此时花圃的最大面积会是多少～篱笆该怎样 围, 目的:让学生熟悉一元二次方程应用中的几种主要模型，明确解决各B C 类问题的关键是找寻题目中蕴含的等量关系;另外，这几种问题情景也是 在二次函数中频繁出现的实际问题，若在此处有一个良好的基础，势必会对学习二次函数的学习起到 事半功倍的效果. 实际效果:将1、3两道小题作为例题，学生彻底理解透彻后，本章的基本应用学生已大致掌握，数学 在第2题的合作学习过程中，呈现出了不同的思维形式，各组针对“用于购进这批衬衫建模思想初步形成. 的资金不多于1500元”展开了讨论，有的同学认为这是一个无用的条件;有的同学认为在解题之初，要结合进价来用;有的同学认为按常规思路解决完问题之后，用来确定最终的解的合理性.各种想法的提出，真 65 正展现了学生开阔的思维，真正体现了合作学习的优势. 第四环节:巩固提高 内容:重点放在一元二次方程的实际应用上，内容呈现形式多样化，设置实际背景比较全面.其中3、4小题表面上看类似，实际有一定的差异，可以对比来看;第5小题为后续学习的二次函数作铺垫;第7题为一道经典的中考真题，让学生感受一下中考的氛围. 1、新园小区 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 在一块长为40米～宽为26米的矩形场地上 修建三条同样宽的甬路(两条纵向、一条横向～且横向、纵向 互相垂直)～其余部分种花草.若要使甬路的面积占矩形场地面 11.则甬路宽为多少米,设甬路宽为x米～则根据题意～ 积的65 可列方程为 . 2、由于家电市场的迅速成长～某品牌的电视机为了赢得消费者～在半年之内连续两次降价～从4980元降到3698元～如果每次降低的百分率相同～设这个百分率为x～则根据题意～可列方程: . 3、王老师假期中去参加高中同学聚会～聚会时～所有到会的同学都互相握了一次手～王老师发现共握手435次～则参加聚会的同学共有多少人,设参加聚会的同学共有x人～则根据题意～可列方程: . 4、初三、三班同学在临近毕业时～每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念～全班共送了1640张照片～如果设全班有x名学生～则根据题意～可列方程( ) A.x(x+1)=1640 B. x(x,1)=1640 C.2x(x+1)=1640 D.x(x,1)=2×1640 5、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品～若每件商品售价为x元～则每天可卖出(350,10x)件～但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%～商店要想每天赚400元～需要卖出多少件商品,每件商品的售价应定为多少元, 26、用一块面积为888cm的矩形材料做一个无盖的长方体盒子～要求盒子的长为25cm～宽为高的2倍～盒子的宽和高应为多少, 实际效果:通过对这些题目的具体分析，学生再次经历在实际问题中抽象出一元二次方程的过程，发展他们分析问题、解决问题的意识和能力，也为下学期二次函数的学习奠定一定的基础，体现了教材螺旋式上升的设计意图. 第五环节:课堂小结 内容:师生共同总结本节课的收获，内容主要设计以下几个方面: (1)整节课的感悟:如在解决概念性题目时，要注意领会概念的实质含义;在计算时要做到细心;对于学过的内容，自己要及时进行梳理等等; (2)解决问题时所用到的方法; (3)对于某个知识点的困惑; (4)通过本节课的学习，自己的最大收获. 目的:关注学生对数学知识的理解、数学方法的掌握和数学情感的感悟，力争使每个层次的学生在本节课学有所获. 实际效果:学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，每个同学的感受也揭示了各自的良好学习方法，为其他同学的学习、听讲等方面提供了有效的借鉴. 第六环节:布置作业 1、本节课中涉及的所有题目在课下进行分类整理，留作资料; 66 2、针对自己对本章的理解，每名同学命制一份试卷，要求时间在60分钟左右，重点突出，难度适宜，并配有答案(此作业不要求第二天必须上交，给学生一定的收集资料时间) 第三章 概率的进一步认识 3.1 用树状图或表格求概率(一) 一、学生知识状况分析 七年级下学期学生在学习第六章“概率初步”时，已经通过试验、统计等活动感受随机事件发生的频率的稳定性即“当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在相应概率的附近”，了解到事件的概率，体会到概率是描述随机现象的数学模型。本章在此基础上结合具体的情景，让学生经历猜测、试验、收集试验数据、设计试验方案、分析试验结果等活动过程，进一步让学生体会数学在生活中的价值及发展合作意识。 二、教学任务分析 本课时介绍两种计算概率的方法——树状图和表格法; 要求会借助树状图和表格法计算简单的事件发生概率(为此建立教学目标如下: 1(知识与技能目标: ?进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率. ?会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率( 2(方法与过程目标: 合作探究，培养合作交流的意识和良好思维习惯. 3.情感态度价值观 积极参与数学活动, 提高自身的数学交流水平，经历成功与失败，获得成功感，提高学习数学的兴趣.发展学生初步的辩证思维能力( 教学重点:借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率( 教学难点:理解两步试验中“两步”之间的相互独立性，进而认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性.正确应用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率( 三、教学过程分析 本节设计五个教学环节 第一环节:温故而知新，可以为师矣 第二环节:一花独放不是春，百花齐放春满园 第三环节:会当凌绝顶，一览众山小 第四环节:问渠哪得清如许 为有源头活水来 第五环节:学而时习之，不亦乐乎( 67 第一环节:温故而知新，可以为师矣 问题再现:小明和小凡一起做游戏。在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜。 (1)这个游戏对双方公平吗, (2)在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的,如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负, 遇到了新问题:小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票。三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影。游戏规则如下: 连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜;如果两枚反面朝上，则小颖获胜;如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜。 你认为这个游戏公平吗,(如果不公平，猜猜谁获胜的可能性更大,) 设计目的:使学生再次体会“游戏对双方是否公平”，并由学生用自己的语言描述出“游戏公平吗”的含义是游戏的双方获胜的概率要相同。同时，巧妙的利用一个“如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负,”的问题，引发学生的思考及参与的热情，如果学生说出“掷硬币”的方法，自然引出本节课的内容。 第二环节:一花独放不是春，百花齐放春满园 1)每人抛掷硬币20次，并记录每次试验的结果，根据记录填写下面的表格: 活动内容:( (2)5个同学为一个小组，依次累计各组的试验数据，相应得到试验100次、200次、300次、400次、500次„„时出现各种结果的频率，填写下表，并绘制成相应的折现统计图。 (3)由上面的数据，请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率。由此，你认为这个游戏公平吗, 活动体会:从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正面朝上。一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率。所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利。 深入探究:在上面抛掷硬币试验中， (1)抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果,它们发生的可能性是否一样, (2)抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果,它们发生的可能性是否一样, (3)在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果,它们发生可能性是否一样,如果第一枚硬币反面朝上呢, 请将各自的试验数据汇总后，填写下面的表格: 68 表格中的数据支持你的猜测吗, 探究体会:由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同。无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的。所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的(正，正)(正，反)(反，正)(反，反)四种情况是等可能的。 因此，我们可以用下面的树状图或表格表示所有可能出现的结果: 1; 其中，小明获胜的结果有一种:(正，正)。所以小明获胜的概率是4 1小颖获胜的结果有一种:(反，反)。所以小颖获胜的概率也是; 4 2小凡获胜的结果有两种:(正，反)(反，正)。所以小凡获胜的概率是。 4 因此，这个游戏对三人是不公平的。 利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗留地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。 活动目的:对于随机现象，学生一般都有一些朴素的想法，这些想法有的是正确的，有的是错误的，因此要让学生亲自经历对随机现象的探索过程，亲自经历猜测、试验、收集试验数据、设计试验方案、分析试验结果等活动过程，以获得事件发生的概率。了解随机现象的特点，了解概率的意义，树立试验探究的观念，这是概率教学的核心思想。 第三环节:会当凌绝顶，一览众山小 活动内容1:准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字 分别是1和2.从每组牌中各摸出一张牌，称为一次试验。 (1)一次试验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值, (2)(同位合作试验)依次统计试验30次、60次、90次的牌面情况，填写下表: (3)依次统计试验30次、60次、90次时两张牌的牌面数字和分别等于2,3,4的频率，填写下表。 (4)你认为两张牌的牌面数字和为多少的概率最大, (5)请你估计，两张牌的牌面数字和等于3个概率是多少, (6)请你利用本节课学习的树状图或表格，计算两张牌的牌面数字和等于3个概率，验证(5)中你的估计。 解:方法一:(1)一次试验中(两张牌的牌面数字的和等可能的情况有: 1+1,2;1+2,3;2+1,3;2+2,4( 共有四种情况(而和为3的情况有2种，因此， 69 21,. P(两张牌的牌面数字和等于3)= 42 两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况，而 两张牌的牌面数字和为3的情况有2次，因此(两张 21牌的牌面数字的和为3的概率为,( 42 方法二:两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况， 也可以用树状图来表示而两张牌的牌面数字和为3 的情况有2次，因此(两张牌的牌面数字的和为3 21的概率为,( 42 方法三:通过列表的方式 活动内容2:(回归开始的问题类型，加以巩固提升本节课知识) 一个盒子中装有一个红球、一个白球。这些球除颜色外都相同，从中随机地摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球。求: (1)两次都摸到红球的概率; (2)两次摸到不同颜色球的概率; (3)只有一张电影票，通过做这样一个游戏，谁获胜谁就去看电影。如果是你，你如何选择, 如果学生没想到这些方法，教师可以以呈现表格、或者提问的方式等引出这些不同的求法，从而引出列表法.用树状图或表格,知道利用这些方法，可以方便地求出某些事件发生的概率.在借助于树状图或表格求某些事件发生的概率时,必须保证各种情况出现的可能性是相同的( 活动效果及注意事项:学生一般都会用树状图或表格求出某些事件发生的概率,也能体会到这种方法的简便性,但是容易忽略各种情况出现的可能性是相同的这个条件(教师注意提醒,在借助于树状图或表格求某些事件发生的概率时,必须保证各种情况出现的可能性是相同的( 第四环节:问渠哪得清如许 为有源头活水来 活动内容:1、本节课你有哪些收获,有何感想, 2、用列表法求概率时应注意什么情况, 活动目的:通过对本节课的小结,加深对本节知识的理解,理解掌握树状图和列表法求理论概率的方法，并熟练应用，同时注意用列表法求概率时应注意各种情况发生的可能性务必相同。 活动效果及注意事项:注意及时发现学生练习中出现的错误,进行讲评,使学生能当堂掌握用树状图和列表法求理论概率. 第五环节:学而时习之，不亦乐乎 70 1( (必做题)随堂练习. 2( (选做题)请同学们课后完成下面练习: (提升)小明和小颖做掷骰子的游戏，规则如下:? 游戏前，每人选一个数字: ? 每次同时掷两枚均匀 骰子;? 如果同时掷得的两枚骰子点数之和，与谁所选数字相同，那么谁就获胜( (1)在下表中列出同时掷两枚均匀骰子所有可能出现的结果: (2)小明选的数字是5，小颖选的数字是6(如果你也加入游戏，你会选什么数字，使自己获胜的概率比 他们大,请说明理由( (探究)一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出2个球，2个球都是红球的可能性是( ) 1111 B、 C、 D、 A、 3264 【解析】:一次摸两个球，相当于无放回的连续摸两次 ?P(2个球都是红球)= = (故选C。 第三章 概率的进一步认识 3.1 用树状图或表格求概率(二) 一、学生知识状况分析 学生在七年级已经认识了许多随机事件，研究了一些简单的随机事件发生的可能性(概率)，并对一些现象作出了合理的解释，对一些游戏活动的公平性作出了自己的评判。本节主要通过对第1课时所做试验进一步分析，体会两步试验中“两步”之间的相互独立性，进而认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性。 二、教学任务分析 教科书基于学生对等可能事件概率的求解和利用树状图、表格求“两步”事件经验的累积，提出本节课的具体学习任务:理解树状图和表格法各自的特点，并能根据不同情境选择适当的方法求比较复杂的事件发生的概率。而更为长远的学习目标应该让本部分知识与实际问题产生联系，凸显数学的实用性。本课《游戏公平吗(二)》内容从属于“统计与概率”这一板块，因而务必服务于统计教学的远期目标:“发展学 71 生对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结论进行合理质疑的能力，以切实提高学生统计抉择能力。”为此，本节课的教学目标是: ?通过两种求概率方法的选择使用，理解两种方法各自的特点，并能根据不同情境选择适当的方法; ?通过具体情境，感受一件事情公平与否在现实生活中广泛存在，体现数学的价值; ?让学生掌握一定判断事件公平性的方法，提高其决策能力。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节:第一环节:温故知新，做好铺垫;第二环节:创设情景,导入课题;第三环节:激发兴趣，探求新知;第四环节:巩固基础，检测自我;第五环节:课堂小结，布置作业。 第一环节:温故知新，做好铺垫 提问:上节课，你学会了用什么方法求某个事件发生的概率, 目的:通过学生回答，回想上节课主要内容，为这节课计算概率做好铺垫。 第二环节:创设情景，导入课题 本节是从“石头、剪刀、布”这个耳熟能详的游戏作为切入点，使学生产生学习新知的兴趣，使学生进一步掌握用列表法或树状图计算某事件发生的概率，进而得到判断游戏规则公平与否的依据。本节课提供了多种具体情境，一方面使学生感受概率存在的普遍性，另一方面适应不同的情境，得到概率。 内容(展示例题，引出新课):小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”的游戏游戏规则如下:由小明和小颖玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜;如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者. 假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗, 目的:通过儿时的游戏，激发学生学习新知的兴趣。使学生意识到是比较事件发生的概率，是评判规则公平与否的依据，而求概率的方法即为课前回顾的——树状图和列表法。 实际效果:激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣，能引导学生从问题出发，利用概率解决实际问题。 第三环节:激发兴趣，探求新知 内容:在例题结束后，适时抛出一个类似的情境: 小明和小军两人一起做游戏.游戏规则如下:每人从1,2，„，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜;如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负.如果你是游戏者，你会选择哪个数, 目的:本环节的设置，开放性更强，让学生在问题中需求解决方案。加强对列表法和树状图求概率的理解，从中也体会本题因为结果较多，使用列表法更好一些，感受两种求概率方式的优劣。 第四环节:巩固基础，检测自我 内容:有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分;然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中.分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率。 目的:随堂练习的给出，使学生适应不同的情境，自主选择合适的方式求事件发生的概率，加强树状图和列表法求概率的熟练程度。进一步，感受概率存在的普遍性，消除对新知的恐惧感。 第五环节:课堂小结，布置作业 课后作业:习题3.2 1.2.3 作业内容重点突出，适合检查学生对本节课的了解。 72 第三章 概率的进一步认识 3.1 用树状图或表格求概率(三) 一、学生知识状况分析 七年级时学生已经学习了不确定事件及其发生可能性的大小，并且掌握了求一些简单事件的概率的知识，前两个课时我们已经学习了借助于树状图、列表法计算两步随机实验的概率.但是学生对等可能性事件的理解还有待于加强。 二、教学任务分析 进一步经历用树状图、列表法计算随机实验的概率的过程( 教学目标 1(知识与技能目标: 经历利用树状图和列表法求概率的过程，在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯( 2(方法与过程目标: 鼓励学生思维的多样性，提高应用所学知识解决问题的能力. 教学重点: 借助于树状图、列表法计算随机事件的概率. 教学难点:在利用树状图或者列表法求概率时，各种情况出现可能性不同时的情况处理。 三、教学过程分析 本节设计六个教学环节 第一环节:自主学习、感受新知 第二环节:合作交流、探究新知 第三环节:典型例题、应用新知 第四环节:分层提高、完善新知 第五环节:课堂小结、回顾新知 第六环节:作业布置、巩固新知 利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;较方便地求出某些事件发生的概率. 用树状图和列表的方法求概率时,应注意各种结果出现能性务必相同. 第一环节:自主学习，感受新知 活动内容:“配紫色”游戏. 活动过程: 游戏1:小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色. 1 6 (1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果. (2)游戏者获胜的概率是多少? 活动目的:通过这个转转盘“配紫色”游戏，让学生再次经历利用树状图或列表的方法求出概率的过程，并体会求概率时必须使每种事件发生的可能性相同 培养学生应用所学知识解决问题的能力.提高学生分析问题解决问题的能力. 活动效果:学生借助树状图或者列表法表示出所有可能出现的结果，很顺利地求出游戏者获胜的概率。同时在自学过程中也注意到转盘是被分成面积相等的几份扇形，初步感受了每件事情发生的可能性为下一环节的学习打好基础。 第二环节:合作交流，探求新知 游戏2:如果把转盘变成如下图所示的转盘进行“配紫色”游戏. (1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果. 73 (2)游戏者获胜的概率是多少? 1小颖做法如下图，并据此求出游戏者获胜的概率为 2 小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游 1戏者获胜的概率也是( 2 红 (红,红) 红 (红,蓝) 蓝 开始 红 (蓝,红) 会 蓝 寺、 蓝 (蓝,蓝) 开你认为谁做得对?说说你的理由((小组合作交流) 活动目的:让学生先自己画树状图或者表格表示出所有可能出现的结果，然后通过合作交流观察A盘始并总结出求一件事情发生的概率必须是所有可能出现的结果都相同。 和游戏1转盘的区别并做出正确判断. 活动效果:通过合作 红色 蓝色 始 交流学生会发现游戏2中红色1 (红1，红) (红1，蓝) A盘中蓝色部分和红色部红色2 (红2，红) (红2，蓝) 分的面积不同，因而指针蓝色 (蓝，红) (蓝，蓝) 落在这两个区域的可能性不同。学生能指出“小颖的做法不正确，小亮的做法正确(而用列表法或者树状图求随机事件发生的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同(而小亮的做法把左边转盘中的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，保证了左边转盘中指针落在“蓝色区域”“红色1”“红色2”三个区域的等可能性，因此是正确的”。在这里可以先不抛出小颖和小亮的做法而是让学生自己做然后交流起到了很好的效果。 第三环节:典型例题，应用新知 例2 一个盒子中有两个红球，两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外其它都相同，从中随机摸出一球， 记下颜色后放回，再从中随机摸出一球。求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率. 分析:把两个红球记为红1、红2;两个白球记为白1、白2.则列表格如下: 总共有25种可能的结果， 每种结果出现的可能性相 同，能配成紫色的共4种 (红1，蓝)(红2，蓝)(蓝，红1)(蓝，红2)，所以 74 4 P(能配成紫色)=25 活动目的:通过典型例题分析进一步让学生体会等可能事件概率的求法，突破了本节课的难点. 活动效果:学生在总结了上述两个游戏的经验和方法，对典型例题的分析更加透彻到位,做起来也就得心应手了. 第四环节:分层提高，完善新知 1.用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏，每个转盘都被分成三个面积相等的三个扇形.请求出配成紫色的概率是多少, 12.设计两个转盘做“配紫色”游戏，使游戏者获胜的概率为 3 活动目的:通过这两个课堂练习检验学生上课掌握情况，特别是第2个题目有一定难度，在设计时注意指针指向每种颜色的可能性是一样的。 活动效果:学生分层完成课堂练习，保证每一个同学都有所收获，特别是第2题在设计转盘时学生一开始的语言叙述可能不是很严密，经过纠正都能把这个游戏给设计的很好，达到了本堂课的课堂效果. 第五环节:课堂小结，回顾新知 1. 利用树状图和列表法求概率时应注意什么, 2. 你还有哪些收获和疑惑, 第六环节:作业布置，巩固新知 习题3.3第1、2、3题 第三章 概率的进一步认识 3.2 用频率估计概率 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:学生通过以前的学习，对用试验方法估计随机事件发生的概率有了初步的认识，知道了“当试验次数较大，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”. 学生的活动经验基础:经历了试验、统计过程，获得了用试验方法估计事件发生的概率的体验，并且在以前的数学学习活动中已经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教学任务分析 本节课的重点是掌握试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率。 难点是试验估计随机事件发生的概率;关键是通过试验、统计活动，体会随机事件的概率。 为此，本节课的教学目标是: 1、知识与技能 经历收集数据、进行试验、统计结果、合作交流的过程，估计一些复杂的随机事件发生的概率. 2、过程与方法 经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力. 3、情感、态度、价值观 通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的试验、统计，提高学生学习数学的兴趣，且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观. 75 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节:一、课前准备;二、情境引入;三、探索新知;四、练习提高;五、课时小结;六、布置作业;七、活动探究. 第一环节:课前准备(提前一周布置) 内容:以6人合作小组为单位，开展调查活动:每人课外调查10个人的生日、生肖. 目的:收集数据，为本节课的学习提供素材，在课堂中运用源于学生实际调查的真实数据展开教学，能极大地激发学生学习数学的兴趣及学习的积极性与主动性.另一方面，也锻炼了学生的社交能力. 实际效果与注意事项:学生课外收集数据时有可能来自相同的人，各小组课前准备时，教师提醒尽量避免调查相同的人，最好每个小组的调查范围相对确定，如:初一、初二、初三等。 第二环节:情境引入 内容:《红楼梦》第62回中有这样的情节: 当下又值宝玉生日已到，原来宝琴也是这日，二人相同。„„ 袭人笑道:“这是他来给你拜寿.今儿也是他的生日，你也该给他拜寿.”宝玉听了，喜的忙作下揖去，说:原来今儿也是姐姐的芳诞.”平儿还福不迭。…… 探春忙问:“原来邢妹妹也是今儿，我怎么就忘了。” „„ 探春笑道:“倒有些意思，一年十二个月，月月有几人生日。人多了，便这等巧了，也有三个一日，两个一日的。„„ 目的:以小说情节开篇，引人入胜，直接引入与生日有关的话题，激发学生的学习兴趣. 实际效果:学生置身于情境之中，并陷入思考:为什么“便这等巧,” 第三环节:探索新知 经历试验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同)的概率。 内容: 教师提出问题串 (1)400位同学中，一定有2人的生日相同(可以不同年)吗,有什么依据呢, (2)300位同学中，一定有2人的生日相同(可以不同年)吗, (3)教师提出一个论断:“我认为咱们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同”你相信吗, 对于问题(1)，学生能给予肯定的回答“一定”，对于能力比较强的学生可以用“抽屉原理”加以解释。例如，有的学生会给出如下的解释:“一年最多366天，400个同学中一定会出现至少2人出生在同月同日，相当于400个物品放到366个抽屉里，一定至少有2个物品放在同一抽屉里—抽屉原理:把m个物品任意放进几个空抽屉里(m,n)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物品”。 对于问题(2)，学生会给出“不一定”的答案。 对于问题(3)，学生会表示怀疑，不太相信。 于是，在班级课堂里展开现场的调查。得到数据后请学生反思: ? 如果50个同学中有2人生日相同，能否说明50人中有2人生日相同的概率是1, ? 如果50人中没有2人生日相同，就说明50人中2 人生日相同的概率为0, 学生能根据以往的知识进行反思，并能举一些类似的问题作为例子。例如: 随意抛掷一枚硬币，若国徽面朝上，说它的确概率为1，国徽面朝下的概率为0.显然是错误的，我们知道它们的概率均为0.5. 随意抛掷一枚骰子，“6朝上”时我们说“6朝上”的概率为1，6朝下的概率为0，显然也是错误的，我们知道它们的概率为1/6. 活动一，每个同学课外调查10人的生日，从全班的调查结果中随机选择50人，看有没有2人生日相同，设计方案估计50人中有2人生日有相同的概率. 活动设计目的:通过具体收据数据、实验、统计结果过程，丰富学生的数学活动经验，对本节课有更 76 直观的感知，经历用实验估计理论概率的过程，初步感受到生日相同的概率较大. 设计方案:学生自主设计. 附学生设计的方案: 方案一:将每个同学调查的生日随机排列成一方阵，然后按某一规则从中选取50个数据进行实验(如25×20)，从某行某列开始，自左而右，自上而下，，选出50个数). 方案二:把全班每个同学所调查的数据写在纸条上，放在箱子里随机抽取. 方案三:从50个同学手里随机抽取一个调查数据，组成50个数据. 方案四:全班分成10个小组，把每个小组调查数据放在一起，打乱次序，随机抽取5个，然后10个小组的结果放在一组成50个数据. 活动过程指导: (1)节约时间，生日表示方式简化成四位数.如“0217” (2)人人参与，大胆发言、交流、讨论从大量的重复试验活动中感受生日相同的概率较大. (3)激励学生提出更好的活动方案，如:产生1,365之间某一自然数随机数的方法;分工制作1,365自然数卡片，放入纸箱随机抽取一张，记下号码，放回去，再随机抽取，直至抽出50张，多次重复试验，并估计出50人中有2人生日相同的概率，此为模拟试验. 活动评价指导: (1)学生的参与程度，活动过程中的思维方式，与同学合作交流情况. (2)鼓励思维多样性. (3)关注学生能否用实验方法估计一些较复杂随机事件发生的概率. (4)关注学生对概率的理解是否全面. (5)关注实验次数. 实际效果:通过以上探索活动，经历了大量重复试验，能估算出50人中有2人生日相同的概率是多少.约0.9704，很大. 结果可解释《红楼梦》生日相同“遇的巧”的问题. 这个结果出人意料之处就在于其结果违反了人们的直觉:人们往往觉得两人生日相同是一种可能性不大的事情，计算结果却是:如果人数不少于是23人，这种可能性就达50%.看下表是“几个人中至少有2人生日相同”的概率大小表: n p n p n p n p n p 20 0.4114 29 0.6810 38 0.8641 47 0.9548 56 0.9883 21 0.4437 30 0.7105 39 0.8781 48 0.9606 57 0.9901 22 0.4757 31 0.7305 40 0.8912 49 0.9658 58 0.9917 23 0.5073 32 0.7533 41 0.9032 50 0.9704 59 0.9930 24 0.5383 33 0.7750 42 0.9140 51 0.9744 60 0.9941 25 0.5687 34 0.7953 43 0.9239 52 0.9780 26 0.5982 35 0.8144 44 0.9329 53 0.9811 27 0.6269 36 0.8322 45 0.9410 54 0.9839 28 0.6545 37 0.8487 46 0.9483 55 0.9836 第四环节:练习提高 内容:课本P168随堂练习 课外调查的10个人的生肖分别是什么,他们中有2人的生肖相同吗,6个人中呢,利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率. 目的:本问题与前面生日问题类似，借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，丰富数学活动经验，直观感受较复杂事件的概率问题. 77 设计方案:模仿生日问题，学生自主设计，以上方案仅供参考. 方案一:全班分6人一小组试验(多出人员可一人当2人，3人)，每人随机写下自己调查的一个生肖，小组长汇总收集数据，统计结果，课代表收集全班数据，估算6人中有2人生肖相同的概率. 方案二:将全班调查好所有结果写在纸条上，放进箱子里随机抽取6张. 方案三:生肖结果用数字代替排成方阵. 活动过程指导: (1)简化过程，把生肖按顺序用1-12个数据代替. (2)鼓励学生积极大胆发表自己的见解. (3)在讨论、交流过程中使学生进一步感受大量重复试验中频率稳定于概率的意义. (4)激励学生探索该问题的模拟试验. 活动评价指导: (1)主要是积极评价，鼓励学生思维的多样性. (2)看学生能否用试验的方法估计一些复杂随机事件的概率. (3)关注学生对概率意义的理解是否全面. (4)此问题的理论概率约0.78，在此不要求学生把结果精确到那一位. 第五环节:课时小结 内容:师生共同总结本节内容 目的:回顾本节教学目标 学生先自我总结，然后师生共析: 本节课经历了调查、收集数据、整理数据、进行试验、统计结果，合作交流的过程，知道了用大量的实验频率来估计，一些复杂的随机事件的概率，当试验次数赵多时，实验频率稳定于理论概率，还知道了“直觉并不可靠”，本节“生日相同的概率”50人中有2人生日相同的概率竟高达0.97，这有违我们的“常识”。实际上，生活中有很多类似巧合，实则平凡且极为平凡的现象，如果我们从科学的角度通过实验估计随机事件发生的概率，用知识来武装我们的头脑，我们就会“透过现象看本质”，也不会受别有用心的人的欺骗，从而破除迷信，树立正确的唯物主义世界观. 第六环节:布置作业 1、课本习题 2、收集有关概率的文章 第七环节:活动探究 本环节对学生的思维要求较高，仅供给部分学有余力的学生阅读和提高，并非对全体同学的要求。 内容: 1、用“树状图”原理，求班上60名同学中至少有2人生日相同的概率 先求出“60人中没有两人生日相同的概率” 365×364×363×…×306 P(A)= —————————————— =0.0059 365×365×365×…×365 则60人中有2人生日相同的概率为: P=1-P(A)=1-0.0059=0.9941 即“60人中有2人生日相同的概率”为0.9941 如果班人有45人或55人等，可类似地进行计算 2、用“树状图”原理，求6人中至少有2人生肖相同的概率 先求出“6人中没有2人生日相同的概率”: 12×11×10×9×8×7 P(A)= ——————————— =0.22 78 12×12×12×12×12×12 则“6人中有2人生肖相同的概率”为: P=1-P(A)=1-0.22=0.78 目的:巩固并拓展学生学习应用知识的能力. 第三章 概率的进一步认识 回顾与思考 一、学生知识状况分析 在以前概率学习的基础上，本章进一步研究了理论概率与实验概率之间的关系，并通过几个现实生活模型介绍了随机事件的概率的实验估算方法和涉及两步及两步以上实验的随机事件理论概率计算的又一种方法——列表法. 本节引导学生回顾本章内容，梳理知识结构，同时，到本章为止，学生基本完成了义务教育阶段有关概率知识的学习. 二、教学任务分析 在学生充分思考和交流的基础上，教师可引导学生共同回忆有关概率的知识框架图. 本节课的任务是在本章知识讲完后，需要学生将知识系统化，进一步理解概率与频率的关系;能进一步体会应用试验的方法估计一些事件的概率;归纳总结求概率的一般方法;合理运用概率的思想，解决生活中的实际问题. 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节.第一环节:问题引入，复习旧知;第二环节:重点知识回顾，建立知识架构;第三环节:课堂练习;第四环节:课堂小结;第五环节:作业布置。 第一环节:问题引入，复习旧知 活动内容:把本章知识习题化，从而引入新课. 活动目的:抽象问题具体化，引入新课，同时对全章知识的系统回顾提供了铺垫. 活动过程:在有一个10万人的小镇,随机调查了2000人,其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人,他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人? 解:根据概率的意义,可以认为其概率大约等于250/2000=0.125. 该镇约有100000×0.125=12500人看中央电视台的早间新闻. 活动效果:学生通过对本环节设计问题的解答，激活学生头脑中原有的知识. 第二环节:重点知识回顾，建立知识架构 活动内容:帮助学生回顾 , 1.某个事件发生的概率是1/2,这意味着在两次重复试验中该事件必有一次发生吗? , 2.你能用试验的方法估计那些事件发生的概率?举例说明. , 3.有时通过试验的方法估计一个事件发生的概率有一定的难度,你能否通过模拟试验估计 该事件发生的概率? , 4.你掌握了哪些求概率的方法?举例说明. 活动目的:通过本环节的学习使学生的知识系统化条理化.实现知识目标，使学生系统地掌握本章所学的知识，建立有关概率知识的框架图. 活动过程: 引导学生对上述四个问题，进行回顾，在过程中可以通过具体的例子加以解释和说明，同时安排练习。 1.(1)连掷两枚骰子,它们点数相同的概率是多少? 79 (2)转动如图所示的转盘两次,两次所得 颜色相同的概率是多少? (3)某口袋里放有编号1~6的6个球,先从中摸索出一球,将它放回口袋中后,再摸一次,两次摸到的球相同的概率是多少? (4)利用计算器产生1~6的随机数(整数),连续两次随机数相同的概率是多少? (5)小明认为上面几个问题本质上是相同的，你同意吗, 2.一个密码锁的密码由四个数字组成,每个数字都是0-9这十个数字中的一个, 只有当四个数字与所设定的密码相同时,才能将锁打开.粗心的小明忘了其中 中间的两个数字,他一次就能打开该锁的概率是多少? • 解:其概率为1/100. 第一次从0-9这10个数字中抽取1个数字,其概率为1/10;第二次仍从0-9 中抽取每二个数字,其概率仍为1/10.故概率为1/100. 第三环节:课堂练习(多媒体演示) 1.用如图所示的两个转盘进行配“紫色”游戏,其概率是多少? 2.某种“15选5”的彩票的获奖号码是从1-15这15个数字中选择5个数字(可以重复),若彩民所选择的的5个数字与获奖号码相同,即可获得特等奖. 小明观察了最近100期获奖号码,发现其中竟有51期有重号(同一期获奖号码中有2个或2个以上的数字相同),66期有连号(同一期获奖号码中有2个或2个以上的数字相邻).他认为,获奖号码中不应该有这么多重号或连号,获奖号码不可能是随机产生的,有失公允. 小明的观点有道理吗?重号的概率大约是多少?利用计算器摸拟试验估计重号的概率. 3.小明和小亮用如图所示的转盘做游戏,转动两个转盘各一次. (1)若两次数字和为6,7,8,则小明获胜,否则小亮胜. 这个游戏对双方公平吗?说说你的理由. (2)若两次数字和为奇数,则小明获胜,若数字和为 偶数则小亮胜.这个游戏对双方公平吗? 说说你的理由. 4.如图，地面上铺满了正方形的地砖(40cm×40cm),现在向上抛掷半径为5cm的圆碟，圆碟与地砖的间隙相交的的概率大约是多少,具体做做看. 方法一:可以做试验统计相交的次数与试验的总次数的比，当试验的次数足够多时，频率接近概率 (在做抛掷试试验时，注意应是随意抛掷) 方法二:本题也可以计算出理论概率.如图，当所抛圆碟的圆心在图的阴影部分时，圆碟将与地砖间的间隙相交，因此所求概率等于一块正方形地砖内的阴影部分和该正方形的面积的比，结果为 2240,307 21640= 几何图形中求概率往往与面积计算相结合. 活动内容:分小组解答下列问题. 活动目的:为学生设置真实的问题背景，用所学的知识解决生活中的数学问题.学生共同参与，学生用数学的意识在活动中潜移默化的得到培养. 第四环节:课堂小结 学生尝试概括总结，继续体验， 第五环节:作业布置 80