凸透镜成像公式的几何解释

凸透镜成像公式的几何解释凸透镜成像公式的几何解释南京师大附中江宁分校叶军 211102 凸透镜成像遵循以下规律：(1)经过透镜中心的入射光线不改变方向；(2)平行于主轴的入射光线折射后经过透镜另一侧的焦点;(3)经过焦点的入射光线折射后平行于主轴。根据光路的可逆性，（3）事实上和(2)是一致的。 '''''把以上规律用图像表示为图1。设焦距OF==f，物距AO=u,像距=v,根据??BAFOFAO '''''v,ffAFBFOF''''?，???有：，即,化简得f(u+v)=uv.两边同时,,BBHBGHBOF,'GHBHv...

凸透镜成像公式的几何解释南京师大附中江宁分校叶军 211102 凸透镜成像遵循以下规律：(1)经过透镜中心的入射光线不改变方向；(2)平行于主轴的入射光线折射后经过透镜另一侧的焦点;(3)经过焦点的入射光线折射后平行于主轴。根据光路的可逆性，（3）事实上和(2)是一致的。 '''''把以上规律用图像表示为图1。设焦距OF==f，物距AO=u,像距=v,根据??BAFOFAO '''''v,ffAFBFOF''''?，???有：，即,化简得f(u+v)=uv.两边同时,,BBHBGHBOF,'GHBHvuBH 111除以uvf有： ?，，,uvf 这就是凸透镜成像公式。公式?的作用在于给出了u、v、f之间的一个关系，它事BGH实上是一个方程。由此可知，如给定u、v的值，f是唯一确定F'A'OAF的，我们当然可以根据?计算出f大小，可实际问题可能需要A'O=vAO=uB' 图1用尺规作图法求作焦点位置(算出f的值，再量出焦点位置，未必精确)，这事实上是一个具有物理背景的几何问题，因此我们以下从数学的角度出发，予以适当的分析。 ''换个眼光看图1：已知物距AO=u，像距=v,求作焦点F和。方法如下：从A作FAO '''''''''AB?,作?交BO于，作BH?AO,连接交于，则为一个焦点，对称地AAABAABBHAAFF ''''AOOBvOBOFfuv'可得另一焦点F。略证：=，即，表明是所求的点。 ,,,,Ff,'AOOBu，vBHuu，vBB 0如图2，作3 条射线OA、OB、OC，?AOB=?BOC=60,在OA上任取一点X，在OC上任 111取一点Y,XY交OB于点Z,那么有等式：。，,OXOYOZ 130证明： S,OX,OZ,OX,OZsin60,XOZ24O Y 130 S,OY,OZ,OY,OZsin60X,YOZZC24AB 图2130S,OX,OYsin60,OX,OY， ,XOY24 111S，S,S而,整理上式即得，,。 ,XOZ,YOZ,XOYOXOYOZ 在射线OA、OB、OC上标上刻度，如果把OX、OY分别看作物距u、像距v，则线段XY与OB的交点Z给出了焦距长，我们借助于一个图形完成了计算。下面一个构图依赖于相似三角形。如图3，AB?CD,AD、BC相交于Q，P在AC上，PQ?CD. PQPQ111PQPQAPAC,CPCP则,即，，，,1，,,,,1,,1,CDABCDABPQCDCDACACAB 把CD、AB分别看作u、v,则PQ给出了f的长度。 111以上三个图形都是式子的几何模型，并且都是已知，,uvf Bu、v求f的，用方程的观点看，已知其中任意2个，求第三个都 DQv是可行的。比如已知u、f，求作v,读者不难从图1、图2、图3uf CAP分别看出作法。图3最后作一点说明，由于并联电路的总电阻R遵循公式： 111=+，在形式上和凸透镜成像公式是一样的，因此本文介绍的数学模型也适合于并联RRR12 电路电阻的计算。

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