岳阳市七中八年级数学（下）

岳阳市七中八年级数学（下）岳阳市七中八年级数学（下）中小学教育资源站()，百万资源免费下载，无须注册～如何用空间向量求解二面角万立勇 (河南省信阳市新县高中，465550) 求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题(对 ,,,,,,a,b于空...

岳阳市七中八年级数学（下）中小学教育资源站()，百万资源免费下载，无须注册～如何用空间向量求解二面角万立勇 (河南省信阳市新县高中，465550) 求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题(对 ,,,,,,a,b于空间向量、，有cos,，,=(利用这一结论，abab,, |a|,|b| 我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题( 例1 (2005年全国高考理科试题) 在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD?底面ABCD(求面VAD与面VDB所成的二面角的大小( 证明: 建立如图空间直角坐标 z 系，并设正方形边 V 长为1，依题意 ,,, AB得= (0，1，0)，是面VAD D C y 中小学教育资源站 A B x 中小学教育资源站()，百万资源免费下载，无须注册～的法向量， , 设= (1，y，z)是面VDB的法向量，则 n ,,,,y,,1,,,,nVB,,0,3,,= (1，,1，,)。 n,,,,3,,,,3z,,,,nVB,,0.3,, ,,,,,,,,21,ABn?cos,，,=,， ABn,,,,7||||ABn, 又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角为锐角，所以其大小 21arccos为 7 A A例2 (2004年全国高考四川、云南、1 D 吉林、黑龙江理科数学试题)如图，直三C C1 M 棱柱ABC—ABC中，?ACB =，AC=1，90:111 B B 1 2CB=，侧棱AA=1，侧面AABB的两条111 对角线交点为D，BC的中点为M( 11 ?求证CD?平面BDM; ?求面BBD与面CBD所成二面角的大小( 1 解:?略 z ?如图，以C为原点建立坐A A1标系.设BD中点为G，连结BG，1D C y C1G M 中小学教育资源站 B B 1 x 中小学教育资源站()，百万资源免费下载，无须注册～ ,,,,,,32221111BG则依G(，，)，= (,，，)，= (,，BD14244422 31,，)， 44 ,,,,,, BG??= 0，?BD?BG( BD11 ,,,,,, BG又CD?BD，?与的夹角等于所求二面角的平面角( CD,1 ,,,,,, CDBG,31? cos==,( ,,,,,,,3||||CDBG,1 3,所以所求二面角的大小等于,arccos( 3 例3 (2004年天津高考理工试题)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD?底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF?PB交PB于点 z F(求二面角C—PB—D的大小 P 解:如图所示建立空间直 F E 角坐标系，D为坐标原点，设 DC,aC D y 设点F的坐标为G A ,,,,,,B ()xyz，，PA，=,PB，则000x ()()xyzaaaa，，，，,,,,( 000 xayaza,,,,,,,，，(1)从而(所以000 中小学教育资源站中小学教育资源站()，百万资源免费下载，无须注册～ ,,,aa11=( PE,,,,,,,,,,(,,)(,(),())xyzaaa0002222 ,,,,,, 由条件EF?PB知，?= 0，即PEPB 111222，解得( ,,a，(,,)a,(,,)a,0,,322 ,,,aaaaaa2PE,,,()，，?点F的坐标为，且，()，，366333 ,,,aaa2,,,,，，FD()， 333 222,,,,,,aaa2,,,，,0?PB?FD，即，故是二面PB,FD，EFD333 角C—PB—D的平面角( 2222222,,,,,,,,,aaaaaaa6,,，,PEFD??=，且，,，，,||PEa91896936366 222,,,aaa46， ,，，,||FDa9993 2a,,,,,, PEFD,1,6cos，,,,EFD?，?，EFD,( ,,,,,,2366||||PEFDaa,63 z 所以，二面角C—PB—D的 O1 B1,大小为( 3 例4 已知三棱柱—OABA 1 OOBBOAB中，平面?平面11111 y OB 中小学教育资源站 A x 中小学教育资源站()，百万资源免费下载，无须注册～ 3，?=，?=，且== 2，=，求OOBOOOABAOB90:60:OBOA11二面角—AB—的大小( OO1 解:以为原点，分别以，所在的直线为x，y轴，OOAOB过点且与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标OAOB 333系(如图，则(0，0，0)，O(0，1，)，A(，0，0)，A(，O11 31，)，B(0，2，0)( ,,,,,, AO333?= (,，1，)，AB= (,，2，0)( 1 ,,,,显然为平面的法向量，取= (0，0，1)，设平面OABnOZAOB11 ,的法向量为n= (x，y，z)，则 2 ,,,,,,,,AOABn?= 0，n?= 0( 122 ,,3x，y，3z,0,,3n即，令y =，x = 2，z = 1，则= (2，,2,,3x，2y,0, 3，1)( ,,,,,,1n,n212nnnn?cos,，,===，即,，,= 2211,,422|n|,|n|12 2arccos( 4 2O故二面角—AB—的大小为arccos( O14 中小学教育资源站

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