平行四边形判定方法
一、边的要素
方法1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【例1】如图1，已知?ABC，分别以它的三边为边长，在BC边的同侧作三个等边三角形，即?ABD、?BCE、?ACF.试判断四边形ADEF是一个什么样的四边形,
【解析】四边形ADEF是平行四边形.
因为?ABD、?BCE、?ACF都是以?ABC的三边为边长在BC的同侧所作的等边三角形，所以?BDE和?CFE可以分别看成是?ABC绕点B、点C旋转60?后而得到的.
于是有DE,AC,AF，AD,BD,AB,EF，所以四边形ADEF是平行四边形(两组对边分别相等).
方法2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【例2】如图2，?荀ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的一点，且BE,DF.试说明四边 形AECF是平行四边形的理由.
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD?BC，且AD,BC.
又因为BE,DF，所以AF,CE，即AF?CE且AF,CE(故四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等).
方法3:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
【例3】如图3，已知?荀ABCD中，点E是AB延长线上的一点，且EC?BD.试说明线段BE与AB相等的理由.
【解析】由四边形ABCD是平行四边形可知AB?CD且AB,CD，即BE?CD(又因为BD?EC，所以四边形BECD是平行四边形(两组对边分别平行).所以BE,CD.
故BE,AB.
二、角的要素
方法4:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
【例4】如图4，已知AE、CF分别是ABCD的?DAB、?BCD的平分线.试说明四边形AFCE是平行四边形.
【解析】由四边形ABCD是平行四边形可知:
?DAB,?BCD，AB?CD.
又AE、CF分别是?DAB、?BCD的平分线，
所以?EAF,?ECF，?AED,?EAF,?ECF,?BFC，所以?AEC,?CFA，故四边形AFCE是平行四边形(两组对角相等).
三、对角线的要素
方法5:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【例5】如图5，已知M、N是ABCD的对角线上两点，且BM,DN.
试探索?MAN与?MCN的关系，并说明你的理由.
(请大家自己想一想)
下面再举一例说明如下.
【例】如图所示，四边形ABCD中，AB=CD，?ADB,?CBD,90?，四边形ABCD是平行四边形吗,说说你的理由.
【思考与分析】 本题是平行四边形判定题，我们可以根据平行四边形的判定定理从多角度攻破此题，比如利用两组对角分别相等，一组对边平行且相等，两组对边分别相等及其它一些定理进行判定.
解法1: ? AB,CD，?ADB,?CBD,90?，DB,BD，
? ,,?ABD?,,?CDB(
? ?ABD,?CDB，?A,?C(
? ?ABD，?CBD,?CDB，?ADB，即?ABC,?CDA(
? 四边形ABCD是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形).
解法2: ? AB,CD，?ADB,?CBD=90?，DB,BD，
? ,,?ABD?,,?CDB(
? ?ABD,?CDB(
? AB?CD(
? 四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
解法3: ? AB,CD，?ADB,?CBD=90?，DB,BD，
? ,,?ABD?,,?CDB(
? AD,CB(
又? AB,CD，
? 四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
解法4: ? AB,CD，?ADB,?CBD=90?，DB,BD，
? ,,?ABD?,,?CDB(
? ?ABD,?CDB(
? AB?CD(
又? ?ADB,?CBD，
? AD?CB(
? 四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义)
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