新疆乌鲁木齐市2015年高考数学三诊试卷 文(含解析)
2015年新疆乌鲁木齐市高 考数学三诊试卷(文科)
一、选择题:共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1(已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(?A)?B=( ) U
A( {2} B( {2,4} C( {0,4} D( {4}
2(已知a?R,复数z=是纯虚数(i数虚数单位),则a=( )
A( B( ,1 C( 1 D(
223(“a=”是“直线y=x与圆(x,a)+y=1相切”的( )
A( 充分不必要条件 B( 必要不充分条件
C( 充要条件 D( 既不充分也不必要条件
4(执行如图所示的程序框图,若输入x=8,则输出y的值为( )
A( , B( C( D( 3
5(某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A( 1 B( C( D(
1
6(等比数列{a}满足a+8a=0,设数列{}的前n项和为S,则=( ) n25n
A( ,11 B( ,8 C( 5 D( 11
7(已知向量,,且,则||的最小值为( )
A( 0 B( 1 C( 2 D( 3
8(若,sin2θ=,则tanθ=( )
A( B( C( 2 D(
29(过点M(2,1)且斜率为1的直线与抛物线y=2px(p,0)交于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为( )
A( B( 1 C( D( 2
x10(奇函数f(x)满足f(x+2)=,f(x),当x?(0,1)时,f(x)=3+,则f(log54)3=( )
A( ,2 B( , C( D( 2
11(在棱长均相等的正三棱柱ABC,ABC中,D为BB的中点,F在AC上,且DF?AC,则111111下述结论:?AC?BC;?AF=FC;?平面DAC?平面ACCA,其中正确的个数为( ) 11111
A( 0 B( 1 C( 2 D( 3
12(已知a、b、c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边,若A=,则a(cosC+sinC)=( )
A( a+b B( b+c C( a+c D( a+b+c
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
2
13(设变量x,y满足约束条件,则z=x,3y的最小值 (
14(某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中a的值为 (
15(已知双曲线的左、右焦点分别为F、F,P为双曲线上一12点,若?FPF为等腰三角形,则双曲线的离心率的值为 ( 12
*16(已知数列{a}满足a=1,a+a=2n+1,n?N,S是数列{}的前n项和,则下列结论:n1nn+1n
?S=(2n,1)•;?S=S;?S?,+S;?S?S+,其中正确的是 2n,12nn2nn2nn
(填写所有正确结论的序号)(
三、解答题:第17-21题每题12分,解答时应在答卷的相应各题中写出文字说明、证明过程或演算步骤。
217(若函数f(x)=sinax,的图象与直线y=b相切,并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列(
(?)求a、b的值;
(?)求函数y=f(x)的单调增区间(
18(如图,正方体ABCD,ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点( 11111
(1)求证:EF?平面CCDD; 11
(2)在线段AB上是否存在点G,使得EG?平面ABC,若存在,求二面角A,CG,C的平11111面角的余弦值;若不存在,请说明理由(
3
19(某企业为了对其生产工艺流程进行质量监控,制定了正常产品的标准:与产品均值的
2误差在?3范围之内的产品为正常产品(s为产品方差)(现从该企业在一个生产季度内生产的产品中抽取50件产品,其数值用茎叶图表示(如图)(
(?)试给出该企业的正常产品标准的范围;
(?)该企业还制定了其生产工艺流程很稳定的标准:从产品中任取一件落在()范围内的概率不小于0.9974,落在()范围内的概率不小于0.9544,落在()范围内的概率不小于0.6826,根据上述样本判断这个生产季度的生产工艺流程是否很稳定(
20(已知椭圆+=1(a,b,0)的离心率为,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,且|AB|=(
(?)试求椭圆的方程;
(?)斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点,点P在第一象限,求证A、P、B、Q四点共圆(
x21(已知函数f(x)=e,g(x)=ln(x+1)
(?)讨论函数h(x)=f(x),g(x)的单调性;
(?)求证当x?0时,f(x)g(x)?x(
选考题:请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。选修4-1:几何证明选讲 22(如图,已知PA与半圆O切于点A,PO交半圆O于点B、C,AD?PO于点D( (?)求证AB平分?PAD;
4
(?)求证(
选修4-4:坐标系与参数方程
23(在平面直角坐标系xOy中,曲线(a,b,0,φ为参数,0?φ,2π)上的两点A、B对应的参数分别为α,α+(
(1)求AB中点M的轨迹的普通方程;
(2)求点O到直线AB的距离的最大值和最小值(
选修4-5:不等式选讲 22224(已知实数a,b,c满足a+b+c=3(
(?)求证a+b+c?3;
( (?)求证
5
2015年新疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1(已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(?A)?B=( ) U
A( {2} B( {2,4} C( {0,4} D( {4}
考点: 交、并、补集的混合运算(
专题: 集合(
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
: 根据集合的基本运算进行求解即可(
解答: 解:?U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4}, ??A={0,4}, U
则(?A)?B={4}, U
故选:D
点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础(
2(已知a?R,复数z=是纯虚数(i数虚数单位),则a=( )
A( B( ,1 C( 1 D(
考点: 复数代数形式的乘除运算(
专题: 数系的扩充和复数(
分析: 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出(
解答: 解:?复数z===+是纯虚数, ?=0,?0,解得a=,1(
故选:B(
点评: 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,属于基础题(
223(“a=”是“直线y=x与圆(x,a)+y=1相切”的( )
A( 充分不必要条件 B( 必要不充分条件
C( 充要条件 D( 既不充分也不必要条件
考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断(
专题: 简易逻辑(
分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆相切的位置关系进行判断即可(
解答: 解:若直线和圆相切,则圆心到直线的距离d=, 即a=,
22故“a=”是“直线y=x与圆(x,a)+y=1相切”的充分不必要条件, 故选:A
6
点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据直线和圆的位置关系是解决本题的关键(
4(执行如图所示的程序框图,若输入x=8,则输出y的值为( )
A( , B( C( D( 3
考点: 程序框图(
算法和程序框图( 专题:
分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算y值并输出,模拟程序的运行过程,即可得到答案( 解答: 解:第一次执行循环体后,y=3,此时|y,x|=5,不满足退出循环的条件,则x=3 第二次执行循环体后,y=,此时|y,x|=,满足退出循环的条件,
故输出的y值为
故选:B
点评: 本题考查的
知识点
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是程序框图,在写程序的运行结果时,模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法(
5(某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A( 1 B( C( D(
考点: 由三视图求面积、体积(
7
专题: 计算题;空间位置关系与距离(
分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥,结合图中数据
求出它的体积(
解答: 解:根据几何体的三视图,得;
该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥,
如图所示;
所以,该四棱锥的底面积为S=×(+1)×1=, 底
它的体积为V=××1=( 四棱锥P,ABCD
故选:D(
点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目(
(等比数列{a}满足a+8a=0,设数列{}的前n项和为S,则=( ) 6n25n
A( ,11 B( ,8 C( 5 D( 11
考点: 等比数列的前n项和(
专题: 等差数列与等比数列(
分析: 设等比数列{a}的公比为q,由a+8a=0,解得q=,,可得数列{}是等比数列,n25
首项为,公比为,2(利用等比数列的前n项和公式即可得出( 解答: 解:设等比数列{a}的公比为q,?a+8a=0, n25
?=0,解得q=,,
?数列{}是等比数列,首项为,公比为,2( ?S==,,S==, 25
?=,11(
故选:A(
8
点评: 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题(
7(已知向量,,且,则||的最小值为( )
A( 0 B( 1 C( 2 D( 3
考点: 平面向量数量积的运算(
专题: 平面向量及应用(
分析: 首先求出xy,然后利用x,y表示||,利用基本不等式求最小值( 解答: 解:由题意,因为向量,,且,
2222所以xy=2,所以||=(x+y)+1=x+y+2xy+1?4xy+1=9,所以||?3; 故选D(
点评: 本题考查了向量的坐标运算以及利用基本不等式求最值(
8(若,sin2θ=,则tanθ=( )
A( B( C( 2 D(
考点: 同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正弦(
专题: 三角函数的求值(
22分析: 已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简,结合sinθ+cosθ=1,根据θ的范围,求出sinθ与cosθ的值,即可确定出tanθ的值(
解答: 解:由sin2θ=,得到2sinθcosθ=,即sinθcosθ=,
22与sinθ+cosθ=1联立,结合θ?[,],
解得:sinθ=,cosθ=,
则tanθ=2,
故选:C(
点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及二倍角的正弦函数公式,熟练掌握基本关系是解本题的关键(
29(过点M(2,1)且斜率为1的直线与抛物线y=2px(p,0)交于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为( )
A( B( 1 C( D( 2
考点: 抛物线的简单性质(
9
专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(
分析: 利用点差法,结合直线的斜率,即可求出p的值(
解答: 解:设A(x,y),B(x,y),则,,两式相减, 1122
得(y,y)(y+y)=2p(x,x), 121212
依题意x?x,?, 12
于是y+y=2p=2, 12
因此p=1(
故选B(
点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查点差法的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础(
x10(奇函数f(x)满足f(x+2)=,f(x),当x?(0,1)时,f(x)=3+,则f(log54)3=( )
A( ,2 B( , C( D( 2
考点: 函数的周期性;对数的运算性质(
专题: 函数的性质及应用(
分析: 由f(x+2)=,f(x)得f(x+4)=f(x),可得到函数f(x)的周期是4,利用对数的运算性质、函数的周期性和奇偶性,将f(log54)转化为,,代入函数3
解析式求出的值,即可得到f(log54)的值( 3
解答: 解:?f[(x+2)+2]=,f(x+2)=f(x),
?f(x)是以4为周期的奇函数,
又?
,
?,?,?f(log54)=,2, 3故选:A(
点评: 本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用,以及对数的运算性质,考查转化思想,属于中档题(
11(在棱长均相等的正三棱柱ABC,ABC中,D为BB的中点,F在AC上,且DF?AC,则111111下述结论:?AC?BC;?AF=FC;?平面DAC?平面ACCA,其中正确的个数为( ) 11111
10
A( 0 B( 1 C( 2 D( 3
考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系(
专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑(
分析: 设出棱长,通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行,推出?的正误;判断F是AC的中点推出?正误;利用直线与平面垂直推出排名与平面垂直推出?正误; 1
解答: 解:不妨设棱长为:2,对于?连结AB,则AB=AC=2,??ACB=90?即AC与111111BC不垂直,又BC?BC,??不正确; 1111
对于?,连结AD,DC,在?ADC1中,AD=DC=,而DF?AC,?F是AC的中点,AF=FC;11111??正确;
对于?由?可知,在?ADC中,DF=,连结CF,易知CF=,而在Rt?CBD中,CD=,1222?DF+CF=CD,
即DF?CF,又DF?AC,?DF?面ACCA,?平面DAC?平面ACCA,??正确; 111111
( 故选:C
点评: 本题考查命题的真假的判断,棱锥的结构特征,直线与平面垂直,直线与直线的位置关系的应用,考查空间想象能力以及逻辑推理能力(
12(已知a、b、c分别为?ABC三个内角A,B,C的对边,若A=,则a(cosC+sinC)=( )
A( a+b B( b+c C( a+c D( a+b+c
考点: 正弦定理(
专题: 解三角形(
分析: 由正弦定理可得:a=2RsinA代入已知式子,由三角函数恒等变换的应用化简即可得解(
解答: 解:?由正弦定理可得:a=2RsinA
11
?
=2RsinAcosC
=2RsinAcosC+3RsinC
=
=2R(sinAcosC+cosAsinC+sinC)
+sinC] =2R[sin(A+C)
=2R(sinB+sinC)
=b+c(
故选:B(
点评: 本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,三角形内角和定理的应用,属于基本知识的考查(
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13(设变量x,y满足约束条件,则z=x,3y的最小值 ,8 (
考点: 简单线性规划(
计算题( 专题:
分析: 作出变量x,y满足约束条件所对应的平面区域,采用直线平移的
方法
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,将直线l:
平移使它经过区域上顶点A(,2,2)时,目标函数达到最小值,8 解答: 解:变量x,y满足约束条件所对应的平面区域为?ABC如图,化目标函数z=x,3y为
将直线l:平移,因为直线l在y轴上的截距为,,所以直线l越向上移,
直线l在y轴上的截距越大,目标函数z的值就越小,故当直线经过区域上顶点A时, 将x=,2代入,直线x+2y=2,得y=2,得A(,2,2)
将A(,2,2)代入目标函数,得达到最小值z=,2,3×2=,8 min
12
故答案为:,8
点评: 本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题,看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键(
14(某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中a的值为 0.005 (
考点: 频率分布直方图(
专题: 概率与统计(
分析: 根据所以概率的和为1,即所求矩形的面积和为1,建立等式关系,可求出所求( 解答: 解:由10a+0.04×10+0.03×10+0.02×10+10a=1,
解得a=0.005,
故答案为:0.005(
点评: 本题主要考查了频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图中各组累积频率和为1是解答的关键(
15(已知双曲线的左、右焦点分别为F、F,P为双曲线上一12点,若?FPF为等腰三角形,则双曲线的离心率的值为 +1 ( 12
考点: 双曲线的简单性质(
专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(
分析: 运用双曲线的定义和等腰三角形的定义,由离心率公式,计算即可得到(
13
解答: 解:由?FPF为等腰三角形,可得?PFF或?PFF为90? 121221
不妨设?PFF=90?,则|PF|=|FF|=2c,|PF|=2c, 121122
由双曲线的定义可得,|PF|,|PF|=2a=2c,2c, 21
?e=+1(
故答案为:+1(
点评: 本题考查双曲线的定义和性质,考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础题(
*16(已知数列{a}满足a=1,a+a=2n+1,n?N,S是数列{}的前n项和,则下列结论:n1nn+1n
?S=(2n,1)•;?S=S;?S?,+S;?S?S+,其中正确的是 ?? 2n,12nn2nn2nn
(填写所有正确结论的序号)(
考点: 数列递推式(
专题: 等差数列与等比数列(
分析: 易知,a=2,由a+a=2n+1,a+a=2n+3,两式相减,得a,a=2,即此数列每2nn+1n+1n+2n+2n隔一项成等差数列,可得a=n( n
?令n=2,即可判断出正误;
?令n=1,即可判断出正误;
?作差,利用,即可判断出正误; ?作差:,设,判断出其单调性,即可判断出正误(
解答: 解:易知,a=2,由a+a=2n+1,a+a=2n+3, 2nn+1n+1n+2
两式相减,得a,a=2, n+2n
即此数列每隔一项成等差数列,由a=1,可得数列1的奇数项为1,3,5,„, 1
由a=2,可得其偶数项为2,4,6,„, 2
故a=n( n
?令n=2,,,,?错; ?令n=1,,,,?错;
n??,又2,2n,1,?, ?,故?正确;
??,设, ?, ?f(n+1),f(n),?f(n)单增,?,?,
14
*?(n?N),故?正确(
综上可得:只有??正确(
故答案为:??(
点评: 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性,考查了“作差法”、推理能力与计算能力,属于中档题(
三、解答题:第17-21题每题12分,解答时应在答卷的相应各题中写出文字说明、证明过程或演算步骤。
217(若函数f(x)=sinax,的图象与直线y=b相切,并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列(
(?)求a、b的值;
(?)求函数y=f(x)的单调增区间(
考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象(
专题: 等差数列与等比数列;三角函数的图像与性质(
分析: (?)由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f(x)=,sin(2ax+),由题意b为f(x)的最大值或最小值,可求b,求得最小正周期,由周期公式可求a( (?)由2kπ+?4x+?2kπ+,即可解得y=f(x)的单调增区间( 解答: (本题满分12分)
2解:(?)f(x)=sinax,
=,sin2ax,
=,sin(2ax+),
?函数y=f(x)的图象与直线y=b相切,
?b为f(x)的最大值或最小值,即b=,1或b=1,
?切点的横坐标依次成公差为的等差数列,
?f(x)的最小正周期为,即T==,a,0,
?a=2,即f(x)=,sin(4x+)„6分
(?)f(x)的增区间,即为y=sin(4x+)的减区间,
?2kπ+?4x+?2kπ+,解得:?x?(k?Z), ?y=f(x)的单调增区间为:[,](k?Z)„12分
15
点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的图象与性质,属于基本知识的考查(
18(如图,正方体ABCD,ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点( 11111
(1)求证:EF?平面CCDD; 11
(2)在线段AB上是否存在点G,使得EG?平面ABC,若存在,求二面角A,CG,C的平11111面角的余弦值;若不存在,请说明理由(
考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质(
专题: 空间位置关系与距离(
(1)过E作EH?CD,连接FH,只要证明平面EFH?平面CCDD即可; 分析: 11(2)假设在线段AB上存在点G,使得EG?平面ABC;设正方体的棱长为2,以A原点,111
AB,AD,AA所在直线分别为x,y,z轴,分别求出平面ABC,的法向量以及的坐标,利111用向量的数量积解答(
解答: 证明:(1)过E作EH?CD,连接FH,
则FH?CC, 1
所以平面EFH?平面CCDD; 11
所以EF?平面CCDD; 11
(2)假设在线段AB上存在点G,使得EG?平面ABC;设正方体的棱长为2, 111
以A原点,AB,AD,AA所在直线分别为x,y,z轴,如图: 1
则=(2,0,,2),=(2,2,2),
设平面ABC的法向量为=(x,y,z),则,令x=1,则=(1,,2,1), 11
G(a,0,c),则=(a,,1,c),要使EG?平面ABC,只要, 11
所以,所以a=c=,所以在线段AB上存在点G,使得EG?平面ABC; 111由以上可知是平面AGC的一个法向量; 11
16
设平面CGC的法向量为=(x',y',z'),则且,所以1
,令y'=1,则=(,2,1,0)为平面CGC的一个法向量, 1
所以二面角A,CG,C的平面角的余弦值为=( 11
本题考查证明线面平行的方法,关键是将问题转为线线平行解决,体现了转化的思点评:
想(
19(某企业为了对其生产工艺流程进行质量监控,制定了正常产品的标准:与产品均值的
2误差在?3范围之内的产品为正常产品(s为产品方差)(现从该企业在一个生产季度内生产的产品中抽取50件产品,其数值用茎叶图表示(如图)(
(?)试给出该企业的正常产品标准的范围;
(?)该企业还制定了其生产工艺流程很稳定的标准:从产品中任取一件落在()范围内的概率不小于0.9974,落在()范围内的概率不小于0.9544,落在()范围内的概率不小于0.6826,根据上述样本判断这个生产季度的生产工艺流程是否很稳定(
考点: 极差、方差与标准差;茎叶图(
专题: 概率与统计(
分析: (?)取5.5为中心数,取每个数与5.5的偏差计算平均数,根据平均数和方差的公式计算即可,
(?)分别计算(),(,2s,+2s),(,s,+s),并判断即可( 解答: 解:(?)取5.5为中心数,取每个数与5.5的偏差计算平均数,
17
=5.5+[,0.8+0.8+3×0.7+3×(,0.7)+9×0.6+9×9×(,0.6)+2×(,0.5)+ 2×0.5+0.4+(,0.4)+0.3+(,0.3)+3×0.2+3×(,0.2)+3×(,0.1)+3×0.1)]=5.5, 2222222222S=(6×0.1+6×0.2+2×0.3+2×0.4+4×0.5+18×0.6+6×0.7+2×0.8)=0.5, ?s=0.5,,3s=5.5,3×0.5=4,+3s=5.5+3×0.5=7,
该企业的正常产品标准的范围(4,7);
(?)()=(4,7)落在这个范围内的产品共有50个,=1, (,2s,+2s)=(4.5,6.5)落在这个范围内的产品共有50个,=1, (,s,+s)=(5,6)落在这个范围内的产品共有20个,=0.4, 根据上述样本判断这个生产季度的生产工艺流程不是很稳定(
点评: 本题考查了方差和平均数的计算方法和数据的应用,属于基础题(
20(已知椭圆+=1(a,b,0)的离心率为,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,
( 且|AB|=
(?)试求椭圆的方程;
(?)斜率为的直线l与椭圆交于P、Q两点,点P在第一象限,求证A、P、B、Q四点共圆(
考点: 椭圆的简单性质(
专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程(
分析: (?)运用离心率公式和两点的距离公式,结合椭圆的a,b,c的关系,可得a,b,进而得到椭圆方程;
(?)设直线PQ的方程为,联立椭圆方程,运用韦达定理,设过点
22三点圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0,证明Q也在此圆上(
解答: 解:(?)依题意知,,,
22222即a+b=7,又a,b=c,解得a=2,,
?椭圆的方程为;
(?)设直线PQ的方程为,
P(x,y),Q(x,y)在椭圆上, 1122
18
将直线l的方程代入椭圆方程+=1,
整理得,
22则?=12m,12(2m,6),0,„?, 又,,?„?,
22设过点三点圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0, 于是2D+F+4=0,,, ?,„?
令,
22?x+y+Dx+Ey+F=0, 11111
? =, 将???式代入此式,并化简,得„?,
又 =(x+x)(x,x)+(y+y)(y,y)+D(x,x)+E(y,y), 212121212121
将???式,及代入此式,
并化简,得„?,依题意,x?x, 12由??得,,?t=0,或x,x=,2; 21
2若x,x=,2,则,得m=3, 21
?或,
此时直线l经过点或, 这与直线l过椭圆在第一象限上的一点P矛盾,
所以t=0,故,
即点Q在过点A,P,B三点的圆上,所以A,P,B,Q四点共圆(
19
点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理,同时考查四点共圆的证法,属于中档题(
x21(已知函数f(x)=e,g(x)=ln(x+1)
(?)讨论函数h(x)=f(x),g(x)的单调性;
(?)求证当x?0时,f(x)g(x)?x(
考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值( 专题: 导数的综合应用(
分析: (?)先求出函数h(x)的导数,通过讨论h′(x)的情况,从而求出h(x)的单调性;
(?)令p(x)=f(x)•g(x),x,求出函数p(x)的导数,通过讨论p′(x)的情况,从而证出结论(
x解答: 解:(?)易知h(x)的定义域为(,1,+?),h′(x)=e,,
xx令φ(x)=e,,则φ′(x)=e+,
?当x,,1时,φ′(x),0,
?函数φ(x)在区间(,1,+?)上为增函数,
,x?0时,φ(x)?φ(0)=0,即h′(x)?0, ?当,1
当x,0时,φ(x),φ(0)=0,即h′(x),0,
?函数h(x)在区间(,1,0)上为减函数,在区间(0,+?)上为增函数; x(?)令p(x)=f(x)•g(x),x,则p(x)=eln(x+1),x,
xp′(x)=eln(x+1)+,1,
x令s(x)=eln(x+1)+,1,
x则s′(x)=e,
x?当x?0时,e,0,x+1?1,
?ln(x+1)?0,,0,
?s′(x)?0,?函数s(x)在区间(0,+?)为增函数,
?当x?0时,s(x)?s(0)=0,?p′(x)?0,
?函数p(x)在区间[0,+?)上是增函数,
?当x?0时,p(x)?p(0)=0,
即当x?0时,f(x)•g(x)?x成立(
点评: 本题考察了函数的单调性,考察导数的应用,求出函数的导数,讨论关于导函数的不等式是解答问题的关键,本题是一道中档题(
20
选考题:请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。选修4-1:几何证明选讲 22(如图,已知PA与半圆O切于点A,PO交半圆O于点B、C,AD?PO于点D( (?)求证AB平分?PAD;
(?)求证(
考点: 与圆有关的比例线段;弦切角(
专题: 选作题(
分析: (?)利用BC为半圆O的直径,AD?BC,PA与半圆O切于点A,证明?PAB=?BAD,即可证明AB平分?PAD;
(?)证明?PAB??PCA,=,即可证明(
解答: 证明:(?)由题意,BC为半圆O的直径,A为半圆O上一点, ??BAC=90?,
?AD?BC,
ACD, ??BAD=?
?PA与半圆O切于点A,
??PAB=?ACD,
??PAB=?BAD,
?AB平分?PAD;
(?)连接AC,
??PAB=?PCA,?P=?P,
??PAB??PCA,
?(
在Rt?BAC中,AD?CD,
?,
?,=,
?,=,
?=,
?(
21
点评: 本题考查圆的切线的性质,考查三角形相似的判定与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题(
选修4-4:坐标系与参数方程
23(在平面直角坐标系xOy中,曲线(a,b,0,φ为参数,0?φ,2π)上的两点A、B对应的参数分别为α,α+(
(1)求AB中点M的轨迹的普通方程;
(2)求点O到直线AB的距离的最大值和最小值(
考点: 轨迹方程;点到直线的距离公式(
专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程(
分析: (1)利用中点坐标公式,即可求AB中点M的轨迹的普通方程; (2)利用点到直线的距离公式求解和化简即可(
解答: 解:(1)设AB中点M(x,y),则,
所以;
(2)以坐标原点0为极点,x轴正半轴为极轴,且取相同的长度单位建立极坐标系, 所以有,
2所以ρ=,
设A(ρ,α),B(ρ,),则|AB|=, 12
?点O到AB直线的距离为==, ?点O到AB直线的距离为定值(
点评: 本题重点考查了参数方程、距离公式,考查极坐标系等知识,属于中档题(
22
选修4-5:不等式选讲
22224(已知实数a,b,c满足a+b+c=3(
(?)求证a+b+c?3;
(?)求证(
考点: 基本不等式(
专题: 不等式的解法及应用( 2222分析: (I)由于(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac,利用基本不等式的性质即可证明;
222(II)由于(a+b+c)=3+++++,利用基本不等式的性质即可证明( 2222解答: 证明:(I)?(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac
222222222222?a+b+c+(a+b)+(b+c)+(a+c)=3(a+b+c)=9(
?a+b+c?3;
222(II)?(a+b+c)
=3+++++=3+++
222?+2+2=9(当且仅当a=b=c=1时取等号( ??3
点评: 本题考查了基本不等式的性质,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题(
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