【word】利用解微分方程求幂级数的和函数

【word】利用解微分方程求幂级数的和函数【word】利用解微分方程求幂级数的和函数利用解微分方程求幂级数的和函数解题技巧与方法堍辘镕罐 | 爨感缀 ◎孙艾明(南京信息工程大学滨江学院210044) 【摘要】本文介绍了三种相关微分方程的解法,并介绍这三种微分方程在求幂级数的和函数中的应用. 【关键词】幂级数;和函数;微分方程一 ,几种相关微分方程的解法 1.?阶线性微分方程的解法形如半+P()Y=Q()的方程,我们称之为一阶线性微分方程,其中’(),p()为已知函数.当9()=o时称为齐次方程,当p()?...

【word】利用解微分方程求幂级数的和函数利用解微分方程求幂级数的和函数解题技巧与方法堍辘镕罐 | 爨感缀 ◎孙艾明(南京信息工程大学滨江学院210044) 【摘要】本文介绍了三种相关微分方程的解法,并介绍这三种微分方程在求幂级数的和函数中的应用. 【关键词】幂级数;和函数;微分方程一 ,几种相关微分方程的解法 1.?阶线性微分方程的解法形如半+P()Y=Q()的方程,我们称之为一阶线性微分方程,其中’(),p()为已知函数.当9()=o时称为齐次方程,当p()?0时称为非齐次方程. _ uy+P()y=o可用分离变量的方法得到通解: 一()ti y(一eJ- 半+P()Y=Q()口T用常数变易法得到通解: ,一elf()e.dx+CI. 2.阶常系数线性微分方程的解法形奠【】Y”,)yqY=_厂()的方程我们称之为二阶常系数线性微分方程,其中P,q为已知常数.当f()=0时称为齐次方程;_厂()?0时称为非齐次方程.YPYqY=0的通解可州如下方法得到: 第一步:写出微分方程的特征方程r+pr+q=0. 第步:求出特征方程的两个根r.,r1_ 第i步:根据特征方程的两个根的同情况,写{微分方程的通解,即若r1?r2,rI,r2为实根,则通解为Y=C1e..+C2e;若 r1=r2,则通解为Y=(cl+C2)e..;若rl=+,r2=一 ,则通解为Y=e(C1COS~X+C2sinflx). Y”,JyqY=_厂(),当f(x)为指数数,多项式函数和 sinflx,”,s肛或它们的乘积形式时,可以根据这种函数形式来推断Il;特解的形式,冉把形式解带人方程,确定解巾所含的常数值,这种方法称为待定系数法. _/)=eP()特解具有形式Q(x)e时,其中 (x)是P()同次的多项式,按A不是特征根,是单特根或二重特征根依次取0,1,2. 当.八):e[P()COSO)X+P()sinoJx]特解具有形式 e[R()COS~X+R()sinwx]时,其中R(),R()是 m次多项式,m=max(f,n),按A+i?(A—ito)不是特征根或是特根分别取0或1. 3.n阶常系数线性齐次微分方程的解法彤如Y+PlY+…+PY+pY=0的方程,我仃J 称之为n阶常系数线性微分方程,其巾P,P,……P为已知常数.Y+PIY+…+P一1YPnY=0的特方程为 rPr.+…prP=0 ,根据特征方程的根(特征根)的各种不同情况,写出微分方程的通解.详1]. 二,利用解微分方程求函数项级数的和函数例1求无穷级数的和函数5(). n! 解易求得级数的收敛半径R=+,当一..<<+.. 时冷s)音,则s()音 S(),解得s()=Ce.又S(0):1,所以S()=e. 例2求无绷数裔忡s). 解易求得级数的收敛半径R=+..,当一<<+ 令),),得 s()+s()=e,解得5():e(?e2+c).义s(.)=1, 得c=1 , 所以()=1(e+e). 例3求无旁级数),..帅n 解易求得级数的收敛半径R=+,当一..<<+ 令s(x)()一.,则()= (,s,『((_l高? S()+S()=0,解得通解为S()=CCOSX+c2sinx.义 S(0)=0,S(0)=1,得C=0,C=1,所以S()=sinx. 例4抓糊数南帅s). 解易求得级数的收敛半径R=+..,一..<<+.. 时冷s(测?,.,( ,从而5()+s()+s(戈):e,对应齐次斤样的通解i[f=Tlt..s2-x+cc2sin.令S.,(小的通解y()=e一丁I.t,1.令”()+ s()+s()=e的特解为y=Ae带入得=了1,所以y= ?C,co+ / 2 3 x+了1e. .所以丽x3n3e {? 例5求无穷级数南帅函数5?? 解易求得级数的收敛半径R=+..,当一<<+ 时,令s()__.,逐项求导四次,得(s()) Z.a4n 寻4一,()! (4n)!’ 又S(0)=0,s(0)=0,stt(0),s(0)=0,解四阶常系数线性微分方程s”‘()一s()=o,s(o)=s(o)= s(0)=s(O)=O,得s(x)=1(e+e)1 ?s,即矗=1(ex+e-x)+丁1… 【参考文献】 [1]施庆生,许志成,朱耀亮,薛巧玲.高等数学.北京高等教育出版社,2009. 数学学习与磅究2011{5 C 2—3 fI C 得 0l3 = SS

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