高代论文
正交变换
V定义1:欧式空间的一个线性变换叫做一个正交变换，如果对于任意都有 ,,,V
. ，，,,,,
AV定义2:实内积空间到自身的满射如果保持向量的内积不变，即
AV，则称是上的一个正交变换 (A,,A,),(,,,),,,,,V,
例题:
HH例1:令是空间V里过原点的一个平面，对于每一个向量,,V，令对于的镜面反,33''V射,与它对应下图，,:,|,,是的一个正交变换。 3
O
H
VV性质1:欧式空间的一个线性变换是正交变换的充要条件是:对于中任意向量 ,,,,
(1) ,,(,),,(,),,,,,,,
证明:条件的充分性是明显的。因为在(1)中取， ,,,
22|,(,)|,|,|就得到，从而。 |,(,)|,|,|
22|,(,，,)|,|,，,|反过来，设是一个正交变换。那么对于，我们有 ,,,,,V
2|,(,，,)|,,,(,，,),,(,，,),然而
,,,(,)，,(,),,(,)，,(,),
; ,,,(,)，,(,),，,,(,)，,(,),，2,,(,),,(,),
2|,，,|,,,，,,,，,,。 ,,,,,,，,,,,,，2,,,,,
由于 ,,(,),,(,),,,,,,,
VV性质2:设是一个n维欧氏空间，,是的一个线性变换，如果,是正交变换，那么,把
VVV的任意一个规范正交基仍旧变成的一个规范正交基，反过来，如果把的,
VV某一规范正交基仍旧变成的一个规范正交基，那么是的一个正交变换。 ,
VV{,,...,},,,证明: 设,是的一个正交变换，令是的任意一个规范正交基，由性质1， 12n
1,若ij,,, ,,,,,,,,,,,(),(), ,,iiii0,.若ij,,
V 因此，{(),(),...,()},,,,,,是的一个规范正交基。 12n
V 反过来，假设的一个线性变换把某一规范正交基{,,...,},,,变成规范正交基,12n
n
,,,,xV{(),(),...,()},,,,,,。令，我们有 ,ii12ni,1
nn2,,,,,,,,,,()(),()(),(),,,,xx,,iiii,,11ij
nnn22。所以是正交变换。 ,,,,,xxx,,,,,(),(),,,,ijiii,,,111iji
VV性质3:维欧氏空间的一个正交变换关于的任意规范正交基的矩阵是一个正交矩n,
V阵。反过来，如果的一个线性变换关于某一规范正交基的矩阵是正交矩阵，那么
是一个正交变换。 ,
V性质4:设是欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题等价: ,
V 1)是的正交变换; ,
2)对任意有; ,,,,V,,,,,,,,,,,(),(),
VV{,,...,},,,{(),(),...,()},,,,,, 3)如果是的
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
正交基，那么也是的12n12n标准正交基。
4)关于任意一个标准正交基的矩阵是正交矩阵。 ,
证明:我们用1),2),3),4),1)的循回法来证明。
VV 1),2) 设是的一个正交变换，则对于中任意向量有,,,,
22,,,,,()，,，
2,,,,,,,,,()(),()，,,，，,而 = ,，，,,,,,,,,,()(),()()
,,，,，,,，,,,,,,,,,,,,,,()()2(),()(),()
2,,,,,,，,,，，,, ,,,，,,，,,,,,,,,,2,,
且 ,,,,,，,,，,,,,,,,,,,,,(),(),2,,
比较上面两个等式得 ,,,,,,,,,,,(),(),
VV{,,...,},,,,2)3)设是的一个线性变换是的标准正交基。则 ,12n
1,当ij,,, ,,,,,,,,,,,,,(),(),(,1,2,...,)ijn,ijij0,.当ij,,
V因此{(),(),...,()},,,,,,是的标准正交基 12n
浙公网安备 33021202002483