自考概率论与数理统计

自考概率论与数理统计自考概率论与数理统计第一章随机变量及其变量分布 ?2.1 离散型随机变量 (一)随机变量引例一:掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}. 我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1;x=2表示点数为2;…，X=6，表示点数为6。引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}. 我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使a

自考概率论与数理统计第一章随机变量及其变量分布 ?2.1 离散型随机变量 (一)随机变量引例一:掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}. 我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1;x=2表示点数为2;…，X=6，表示点数为6。引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}. 我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使a1}= P{X=2}+ P{X=3}=， P{1?X<2.5}=P{X=1}+P{X=2}=，例5 若X的分布律为求(1)P(X<2), 【答疑编号:10020105针对该题提问】 (2)P(X?2), 【答疑编号:10020106针对该题提问】 (3)P(X?3), 【答疑编号:10020107针对该题提问】 (4)P(X>4) 【答疑编号:10020108针对该题提问】解(1)P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3 (2)P(X?2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5 (3)P(X?3)=P(X=3)+P(X=4)=0.3+0.2=0.5 (4)?{x>4}=Φ ?P{x>4}=0 (三)0-1分布与二项分布下面，介绍三种重要的常用离散型随机变量，它们是0-1分布、二项分布与泊松分布。定义4 若随机变量X只取两个可能值:0,1,且P{X=1}=p, P{X=0}=q 其中00是常数，n是任意正整数，且，则对于任意取定的非负整数k，有证明略。由泊松定理，当n很大，p很小时，有近似公式，其中λ=np. 在实际计算中，当n?20,p?0.05时用上述近似公式效果颇佳。例10 一个工厂中生产的产品中废品率为0.005，任取1000件，计算: (1)其中至少有两件是废品的概率; 【答疑编号:10020113针对该题提问】 (2)其中不超过5件废品的概率。【答疑编号:10020114针对该题提问】解设X表示任取得1000件产品中的废品中的废品数，则X,B(1000,0.005)。利用近似公式近似计算，λ=1000×0.005=5. (1) (2) (四)泊松分布定义6 设随机变量X的可能取值为0,1,…,n,…，而X的分布律为其中λ>0，则称X服从参数为λ的泊松分布，简记为X,p(λ) 即若X,p(λ)，则有例11 设X服从泊松分布，且已知P{X=1}= P{X=2}，求P{X=4}. 【答疑编号:10020115针对该题提问】解设X服从参数为λ的泊松分布，则由已知，得解得λ=2，则 ?2.2 随机变量的分布函数 (一)分布函数的概念对于离散型随机变量X，它的分布律能够完全刻画其统计特性，也可用分布律得到我们关心的事件，如等事件的概率。而对于非离散型的随机变理，就无法用分布率来描述它了。首先，我们不能将其可能的取值一一地列举出来，如连续型随机变量的取值可充满数轴上的一个区间(a,b)，甚至是几个区间，也可以是无穷区间。其次，对于连续型随机变量X，取任一指定的实数值x的概率都等于0，即P{X=x}=0。于是，如何刻画一般的随机变量的统计规律成了我们的首要问题。定义1 设X为随机变量，称函数F(x)=P{X?x},x?(-?,+?)为X的分布函数。注意，随机变量的分布函数的定义适应于‎‎任意的随机变量，其中也包含了离散型随机变量，即离散型随机变量既有分布律也有分布函数，二者都能完全描述它的统计规律性。例1 若X的分布律为求(1)F(1), 【答疑编号:10020201针对该题提问】 (2)F(2.1), 【答疑编号:10020202针对该题提问】 (3)F(3), 【答疑编号:10020203针对该题提问】 (4)F(3.2) 【答疑编号:10020204针对该题提问】解由分布函数定义知F(x)=P(X?x) ?(1)F(1)=P(X?1)=P(X=0)+P(X=1)=0.3 (2)F(2.1)=P(X?2.1)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.6 (3)F(3)=P(X?3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.1+0.3+0.3=0.9 (4)F(3.2)=P(X?3.2)=1- P(X>3.2)=1- P(X=4) =1-0.1=0.9 例2 设离散型随机变量X的分布律为求X的分布函数【答疑编号:10020205针对该题提问】解当x<-1时，F(x)=P{X?x}=P(X<-1)=0 当-1?x<0时，F(x)=P{X?x}=P{X=-1}=0.2 当0?x<1时，F(x)=P{X?x}=P{X=-1}+ P{X=0}=0.2+0.1=0.3 当1?x<2时，F(x)=P{X?x}=P{X=-1}+ P{X=0}+ P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6 当x?2时，F(x)=P{X?x}=P{X=-1}+ P{X=0}+ P{X=1}+ P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1 则X的分布函数F(x)为 F(x)的图象见图2.1。从F(x)的图像可知，F(x)是分段函数，y=F(x)的图形阶梯曲线，在X的可能取值-1,0,1,2处为F(x)的跳跃型间断点。一般地，对于离散型随机变量X，它的分布函数F(x)在X的可能值处具有跳‎‎ 跃，跳跃值恰为该处的概率‎‎，F(x)的图形是阶梯形曲线，F(x)为分段函数，分段点仍是。另一方面，由例2中分布函数的求法及公式(2.2.1)可见，分布函数本质上是一种累计概率。一般地，若X的分布律是则有X的分布函数为公式: 所以，例2中X的分布函数为 (二)分布函数的性质分布函数有以下基本性质: (1)0?F(x)?1. 由于F(x)=P{X?x}，所以0?F(x)?1. (2)F(x)是不减函数，即对于任意的有因为当时，，即从而 (3)F(-?)=0，F(+?)=1，即从此，我们不作严格证明，读者可从分布函数的定义F(x)=P{X?x}去理解性质(3)。 (4)F(x)右连续，即证明略。例2 设随机变量X的分布函数为其中λ>0为常数，求常数a与b的值。【答疑编号:10020206针对该题提问】解，由分布函数的性质F(+?)=1，知a=1; 又由F(x)的右连续性，得到由此，得b= -1. 已知X的分布函数F(x)，我们可以求出下列重要事件的概率: 1?P{X?b}=F(b). 【答疑编号:10020207针对该题提问】 2?P{ab}=1-F(b) 【答疑编号:10020209针对该题提问】证 1??F(x)=P{X?x} ?F(b)=P{X?b} 2?P{ab}=1- P{X?b}=1- F(b) 例3 设随机变量X的分布函数为求【答疑编号:10020210针对该题提问】【答疑编号:10020211针对该题提问】【答疑编号:10020212针对该题提问】解例4 求0-1分布的x的分布函数【答疑编号:10020213针对该题提问】解:已知所以例5 设X,F(x)=a+barctanx(-? 说明分布函数是概率密度的原函数，并且证明连续型随机变量的分布函数F(x)是处处可导函数，所以连续型随机变量的分布函数F(x)处处连续。 (2) (3)?P(a

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