关于轮换对称性的一个注记

关于轮换对称性的一个注记关于轮换对称性的一个注记关于轮换对称性的一个注记 Vo1.12,No.2高等数学研究 Mar.,2009STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICS3l 关于轮换对称性的一个注记乐励华虞先玉(东华理工大学数学-9信息学院江西抚州344000) 摘要针对关于轮换对称性的应用推广探讨较多.但对轮换对称性的理论证明几乎很少的现象,结合教学体会.仅从重积分定义出发,对轮换对称性的相关结论给出证明. 关键词轮换对称性;证明;重积分.中图分类号O172 轮换对称性在积分的计算中,简化计算过程有绝妙之...

关于轮换对称性的一个注记关于轮换对称性的一个注记 Vo1.12,No.2高等数学研究 Mar.,2009STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICS3l 关于轮换对称性的一个注记乐励华虞先玉(东华理工大学数学-9信息学院江西抚州344000) 摘要针对关于轮换对称性的应用推广探讨较多.但对轮换对称性的理论证明几乎很少的现象,结合教学体会 .仅从重积分定义出发,对轮换对称性的相关结论给出证明. 关键词轮换对称性;证明;重积分.中图分类号O172 轮换对称性在积分的计算中,简化计算过程有绝妙之处,对于改进高等数学教学,提高学生的解题和运算能力,甚至考研辅导,都有着重大而实际的意义.许多论文对轮换对称性的应用作了系统归纳总结 ,一般教材提及较少,主要在一些高等数学辅导书及考研数学辅导参考书上介绍,但是关于轮换对称性的结论证明很少涉及.文[1]给出了轮换对称性的结论一种证明,但总感觉证明过程没讲太清楚,本文就轮换对称性在积分中应用尝试一种新的证明方法,与同行专家探讨交流. 定义设QR.,如果任给(z,Y,)En,都有(,2,z)?Q,(2,,)EQ,则称区域Q关于变量X,Y,具有轮换对称性. 引理设点P(x,Y,2)?R.,点P先绕2轴(从轴正方向上看)顺时针转9O.,再绕32轴(从 z轴正方向上看)顺时针转90.,则点P的坐标变为(,,z). 证明如图1,由(a),(b)可知,点P先绕轴(从轴正方向上看)顺时针转9O.,则其坐标变为(,一z,).由(c),(d)可知,再绕z轴(从轴正方向上看)顺时针转9O.,则其坐标变为(.),,,). D— l? () . (a)(b) l(J,一,/ ()D . : (c)(d) 图l点P绕坐标轴旋转后,坐标的变化情况类似以上证明,若点h4(,,)?R先绕2轴(从z轴正方向上看)顺时针转9O.,再绕z轴(从轴正方向上看)顺时针转9O.,则点M的坐标变为(,z,). 命题设区域Q关于变量,Y,z具有轮换对称性,则区域 n—Ql+Q2+Q3, 其中 Q2一{(,z,z)IV(z,Y,)EQ】},Q3一{(z,,)JV(z,Y,)EQ】), 且Q,Q.,Q.形状一致. 证明应用引理,可知Q.可由Q先绕Z轴(从Z轴正方向上看)顺时针转9O,再绕35"轴(从z 收稿日期:2007—11—07 32高等数学研究2009年3月釉正方向上看)顺时针转90而成,Qs石]由Qz先绕z轴(从Z轴正方向上看)顺时针转90.,再绕z 轴(从正方向上看)顺时针转90.而成,故Q,Q,Q.形状一致. 定理设有界闭区域Q关于变量,Y,z具有轮换对称性,f在区域I't内连续,则有 ?厂(,,z)d—f~jf(y,z,x)d=jI『厂(z,x,y)d= ?JI『"(z,x,y)-ld. JEl1]f在区域Q内连续,区域Q关于变量z,Y,z具有轮换对称性,由上面已证命题, 知区域 Q—Q-十Qz+Q,且Q,Qz,Q.形状一致.将n任意分成7"/个小闭区域?.,Av2…,Av, 其中表示i个小闭区域,也表示它的体积,相应地,Q.,Q可分成与Q相同的个小闭区域,Q 上?,内任取一点(,r/i,),Qz上Av内相应有一点(,8),上?内相应有一点(,8,叩)则 jI『厂(,,)d一jI『z,,z)d+JI『厂(z,,z)d+?厂(x,y,z)d— l … iraEf(~',,)?+l… ira : , . f(r/,,8)?厂(,8,); ?厂(,z,z)d一?,(,,z)d+z,x)dv+f(,,z)d一厂,+l … im~-],r+," ?厂(,,)d一f~f(z,x,y)d+?厂(z,z,)d+jI『厂(,z,)d一故有 , +lim?厂(8,,+,; f~f(x,y,z一d一jI『厂(z,x,y一 jI『x,y,z)+…)+,(z,x,y)]d. 例题求?dzdd,其中Q:++z?R.(R>.),2?.. 解由轮换对称性知: 吉曲'(.++z.)dzddz一++? 吉d:dID2?102sin一.. 参考文献 [13秦勇.再谈轮换对称性[j].高等数学研究.2007.10(2):20—22. E2]同济大学应用数学系.高等数学[M].第五版.北京:高等教育出版社.2002 一 d d z d Z ? ? + 2 r l 一2 II d d z d Z?

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