2013高考数学（理）一轮复习教案：选修4-5 不等式选讲

2013高考数学（理）一轮复习教案：选修4-5 不等式选讲 【2013年高考会这样考】 1(考查含绝对值不等式的解法( 2(考查有关不等式的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ( 3(利用不等式的性质求最值( 【复习指导】 本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明(该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质. 基础梳理 1(含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|,a(a,0)?f(x),a或f(x),,a; (2)|f(x)|,a(a,0)?,a,f(x),a; (3)对形如|x,a|，|x,b|?c，|x,a|，|x,b|?c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解( 2(含有绝对值的不等式的性质 |a|,|b|?|a?b|?|a|，|b|. 3(基本不等式 22定理1:设a，b?R，则a，b?2ab.当且仅当a,b时，等号成立( a，b定理2:如果a、b为正数，则?ab，当且仅当a,b时，等号成立( 2 3a，b，c定理3:如果a、b、c为正数，则?abc，当且仅当a,b,c时，等号成3 立( 定理4:(一般形式的算术,几何平均值不等式)如果a、a、…、a为n个正数，12n n，a，…，aa12n则a…a，当且仅当a,a,…,a时，等号成立( ?a12n12nn 4(柯西不等式 222，b)?(c(1)柯西不等式的代数形式:设a，b，c，d为实数，则(a 22 ，d)?(ac，bd)，当且仅当ad,bc时等号成立( nnn*222，b(i?N)为实数，则(a)(b)?(ab)，当且仅当,,,(2)若aiiiiii ,,,i1i1i1 ,0(i,1,2，…，n)或存在一个数k，使得a,kb(i,1,2，…，biii n)时，等号成立( (3)柯西不等式的向量形式:设α，β为平面上的两个向量，则 |α|?|β|?|α?β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立( 5(不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等( 双基自测 1(不等式1,|x，1|,3的解集为________( 答案 (,4，,2)?(0,2) 2(不等式|x,8|,|x,4|,2的解集为________( 4～x?4～, ,2x，12～4,x?8～解析 令:f(x),|x,8|,|x,4|, , ,,4～x,8～ 当x?4时～f(x),4,2, 当4,x?8时～f(x),,2x，12,2～得x,5～ ?4,x,5, 当x,8时～f(x),,4,2不成立( 故原不等式的解集为:{x|x,5}( 答案 {x|x,5} 3(已知关于x的不等式|x,1|，|x|?k无解，则实数k的取值范围是________( 解析 ?|x,1|，|x|?|x,1,x|,1～?当k,1时～不等式|x,1|，|x|?k无解～故k ,1. 答案 k,1 4(若不等式|3x,b|,4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________( b,4b，4解析 由|3x,b|,4～得,x,～ 33 b,4,0?,1～,3即,b,7. 解得5,4b， 3,?4～,,3 答案 (5,7) 5((2011?南京模拟)如果关于x的不等式|x,a|，|x，4|?1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是________( 解析 在数轴上～结合实数绝对值的几何意义可知a?,5或a?,3. 答案 (,?，,5]?[,3，，?) 考向一 含绝对值不等式的解法 【例1】?设函数f(x),|2x，1|,|x,4|. (1)解不等式f(x),2; (2)求函数y,f(x)的最小值( [审 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 视点] 第(1)问:采用分段函数解不等式,第(2)问:画出函数f(x)的图象可求f(x)的最小值( 1,,,,,x,5 x,,，,,,2, 1 解 (1)f(x),|2x，1|,|x,4|,,,,,,3x,3 ,?x,4，,,2 ,,x，5 ，x?4，. 1当x,,时，由f(x),,x,5,2得，x,,7.?x,,7; 2 15当,?x,4时，由f(x),3x,3,2，得x,， 23 5?,x,4; 3 当x?4时，由f(x),x，5,2，得x,,3，?x?4. 故原不等式的解集为 ,,,5,,,,,xx,,7或x,. ,3,,,, (2)画出f(x)的图象如图: 9?f(x),,. min2 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:?求零点,?划区间、去绝对 值号,?分别解去掉绝对值的不等式,?取每个结果的并集～注意在分段时不要 遗漏区间的端点值( (2)用图象法～数形结合可以求解含有绝对值的不等式～使得代数问题几何化～即 通俗易懂～又简洁直观～是一种较好的方法( 【训练1】 设函数f(x),|x,1|，|x,a|. (1)若a,,1，解不等式f(x)?3; (2)如果?x?R，f(x)?2，求a的取值范围( 解 (1)当a,,1时，f(x),|x,1|，|x，1|， ,2x， x,,1，, 2， ,1?x?1，f(x), , ,2x， x,1. 作出函数f(x),|x,1|，|x，1|的图象( ,,33,,由图象可知，不等式的解集为x|x?,或x?. ,,22 (2)若a,1，f(x),2|x,1|，不满足题设条件; ,2x，a，1， x?a，, 1,a， a,x,1，若a,1，f(x), , ,2x,，a，1，， x?1， f(x)的最小值为1,a. ,2x，a，1，x?1，, a,1，1,x,a，若a,1，f(x), , 2,x,，a，1，，x?a， f(x)的最小值为a,1. ?对于?x?R，f(x)?2的充要条件是|a,1|?2， ?a的取值范围是(,?，,1]?[3，，?)( 考向二 不等式的证明 【例2】?证明下列不等式: 3322(1)设a?b,0，求证:3a，2b?3ab，2ab; 222(2)a，4b，9c?2ab，3ac，6bc; 1666222(3)a，8b，c?2abc. 27 [审题视点] (1)作差比较,(2)综合法,(3)利用柯西不等式( 332222证明 (1)3a，2b,(3ab，2ab),3a(a,b),2b(a,b) 22,(a,b)(3a,2b)( 22?a?b,0～?a,b?0,3a,2b,0. 22?(a,b)(3a,2b)?0. 2322?3a，2b?3ab，2ab. 2222(2)?a，4b?2a?4b,4ab～ 2222a，9c?2a?9c,6ac～ 22224b，9c?24b?9c,12bc～ 222?2a，8b，18c?4ab，6ac，12bc～ 222?a，4b，9c?2ab，3ac，6bc. 318666666(3)a，8b，c?3 abc 2727 2222222,3×abc,2abc～ 3 1666222?a，8b，c?2abc. 27 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法(作差法证明不等式的一般步骤是:?作差,?分解因式,?与0比较,?结论(关键是代数式的变形能力( (2)注意观察不等式的结构～利用基本不等式或柯西不等式证明( 111,,2222,,【训练2】 (2010?辽宁)已知a，b，c均为正数，证明:a，b，c，，，?63，,,abc并确定a，b，c为何值时，等号成立( 2222证明 法一 因为a，b，c均为正数，由基本不等式得，a，b，c?3(abc)，? 31111，，?3(abc),， abc3 1112,,2,,?9(abc),所以，，，? ,,abc3 11122,,2222,,故a，b，c，，，?3(abc)，9(abc),. ,,abc33 22又3(abc)，9(abc),?227,63，? 33 所以原不等式成立( 当且仅当a,b,c时，?式和?式等号成立( 22当且仅当3(abc),9(abc),时，?式等号成立( 33 1故当且仅当a,b,c,3时，原不等式等号成立( 4 22222法二 因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a，b?2ab，b，c?2bc，c，2222a?2ac.所以a，b，c?ab，bc，ac.? 111111同理，，?，，，? 222abcabbcac 111333,,2222,,故a，b，c，，，?ab，bc，ac，，，?63.? ,,abcabbcac 所以原不等式成立( 222当且仅当a,b,c时，?式和?式等号成立，当且仅当a,b,c，(ab),(bc),(ac) 1,3时，?式等号成立(故当且仅当a,b,c,3时，原不等式等号成立( 4 考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值 【例3】?已知a，b，c?R，且a，b，c,1，求3a，1，3b，1，3c，1的最， 大值( [审题视点] 先将(3a，1，3b，1，3c，1)平方后利用基本不等式,还可以利用柯西不等式求解( 解 法一 利用基本不等式 2?(3a，1，3b，1，3c，1),(3a，1)，(3b，1)，(3c，1)，23a，1?3b，1，23b，1?3c，1，23a，1?3c，1?(3a，1)，(3b，1)，(3c，1)，[(3a，1)，(3b，1)]，[(3b，1)，(3c，1)]，[(3a，1)，(3c，1)] ,3[(3a，1)，(3b，1)，(3c，1)],18， ?3a，1，3b，1，3c，1?32， ?(3a，1，3b，1，3c，1),32. max 法二 利用柯西不等式 222222?(1，1，1)[(3a，1)，(3b，1)，(3c，1)]?(1?3a，1，1?3b，1， 21?3c，1) 2?(3a，1，3b，1，3c，1)?3[3(a，b，c)，3]( 2又?a，b，c,1，?(3a，1，3b，1，3c，1)?18， ?3a，1，3b，1，3c，1?32. 当且仅当3a，1,3b，1,3c，1时，等号成立( ?(3a，1，3b，1，3c，1),32. max 利用基本不等式或柯西不等式求最值时～首先要观察式子特点～构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式～其次要注意取得最值的条件是否成立( 222【训练3】 已知a，b，c,1，m,a，b，c，求m的最小值( 解 法一 ?a，b，c,1， 222?a，b，c，2ab，2bc，2ac,1， 222222又?a，b?2ab，a，c?2ac，b，c?2bc， 222?2(a，b，c)?2ab，2ac，2bc， 222222?1,a，b，c，2ab，2bc，2ac?3(a，b，c)( 1222?a，b，c?. 3 1当且仅当a,b,c时，取等号，?m,. min3 法二 利用柯西不等式 222222?(1，1，1)(a，b，c)?(1?a，1?b，1?c),a，b，c,1. 1222?a，b，c?，当且仅当a,b,c时，等号成立( 3 1?m, min3 如何求解含绝对值不等式的综合问题 从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对《不等式选讲》的考查难度 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题( 【示例】? (本题满分10分)(2011?新课标全国)设函数f(x),|x,a|，3x，其中a,0. ,1时，求不等式f(x)?3x，2的解集; (1)当a (2)若不等式f(x)?0的解集为{x|x?,1}，求a的值( 第(2)问解不等式|x,a|，3x?0的解集～结果用a 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示～再由{x|x?,1}求a. [解答示范] (1)当a,1时，f(x)?3x，2可化为|x,1|?2. 由此可得x?3或x?,1. (3分) 故不等式f(x)?3x，2的解集为{x|x?3或x?,1}((5分) (2)由f(x)?0得，|x,a|，3x?0. ,x?a，,x?a，此不等式化为不等式组,或, x,a，3x?0a,x，3x?0，,, x?a，x?a，,,,, ,,即或(8分) aax?x?,., , ,,42 ,,,a,,,,,因为a,0，所以不等式组的解集为xx?,. ,,2,,, a由题设可得,,,1，故a,2.(10分) 2 本题综合考查了含绝对值不等式的解法～属于中档题(解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解(含有多个绝对值符号的不等式～一般可用零点分段法求解～对于形如|x,a|，|x,b|,m或|x,a|，|x,b|,m(m为正常数)～利用实数绝对值的几何意义求解较简便( 【试一试】 (2011?辽宁)已知函数f(x),|x,2|,|x,5|. (1)证明:,3?f(x)?3; 2(2)求不等式f(x)?x,8x，15的解集( ,3，x?2，, 2x,7，2,x,5，[尝试解答] (1)f(x),|x,2|,|x,5|, , ,3，x?5. 当2,x,5时，,3,2x,7,3.所以,3?f(x)?3. 22(2)由(1)可知，当x?2时，f(x)?x,8x，15的解集为空集;当2,x,5时，f(x)?x,8x，15的解集为{x|5,3?x,5}; 2当x?5时，f(x)?x,8x，15的解集为{x|5?x?6}( 2综上，不等式f(x)?x,8x，15的解集为{x|5,3?x?6}. .精品资料。欢迎使用。 .精品资料。欢迎使用。