第一章 函数、极限、连续
注 “★”
表
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示
方法
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常用重要.
一、求函数极限的方法
★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等.
★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法
运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，解决问题。
三、无穷小量阶的比较的方法
利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开
四、函数的连续与间断点的讨论的方法
如果
初等函数，若
在
处没有定义，但在
一侧或两侧有定义，则
是间断点，再根据在
处左右极限来确定是第几类间断点。如果
是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。
五、求数列极限的方法
★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理；
4.
；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若
收敛，则
；8. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量；9.等价量替换等.
【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或
时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算，
2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理
3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则.
4.由数列
中的通项是
的表达式，即
而
是特殊与一般的关系，由归结原则知
★5. 有
或
第二章 一元函数微分学
★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法：
利用导数定义，经常用第三种形式
二、研究导函数的连续性的方法：
1.求出
，对于分段函数的分界点要用左右导数定义或导数定义求. 2.
的连续性，
★三、求初等函数的导数的方法：
在求导之前尽可能的化简，把函数的乘除尽量化成加减，利用对数微分法转化为方程确定隐函数的求导等等，从而简化求导过程. 要熟练记住基本初等函数的导数公式、导数的四则运算，理解并掌握复合函数的求导法则.
四、求分段函数的导数的方法：
求分段函数导数不在分界点可直接利用求导公式。在分界点
（1）若在分界点两侧的表达式不同，求分界点的导数有下述两种方法：
（i）利用左右导数的定义。 （ii）利用两侧导函数的极限。
（2）若在分界点两侧的表达式相同，求分界点的导数有下述两种方法：
（i）利用导数定义。 （ii）利用导函数的极限。
★五、求参数式函数的导数的方法
若
，则
★六、求方程确定隐函数的导数的方法：
解题策略 求方程
确定的隐函数
的导数时，由y是x的函数，此时方程两边是关于x表达式的恒等式，两边同时对x求导，会出现含有y'的等式，然后把y'看成未知数解出即可。
★七、求变上下限函数的导数的方法：
解题策略 利用变上下限函数求导定理，注意化成变上下限函数的成
标准
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形式
八、求函数的高阶导数的方法：
求导之前，对函数进行化简，尽量化成加减，再用高阶导数的运算法则
九、方程根的存在性
把要证明的方程转化为f(x)=0的形式。对方程f(x)=0用下述方法：
★ 1．根的存在定理 若函数f(x)在闭区间
上连续，且
则至少存在一点
，使
★2．若函数f(x)的原函数
在
上满足罗尔定理的条件，则f(x)在（a,b）内至少有一个零值点.
3．用泰勒公式证明方程根的存在性.
4．实常系数的一元n次方程
，当n为奇数时，至少有一个实根。
证 设
由
不妨设a0>0。由于
当x>N0时，都有f(x)>1>0。
取b>N0，有f(b)>0，
，当x<-N1时，都有f(x)<-1<0。
取a<-N1
1时，该级数收敛（但和不能用一个具体的式子表示出来），当
时，该级数发散。
2．几何级数（等比级数）
（q为常数），当
时，该级数收敛，其和为
，当
时，该级数发散。
七个常用的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
二、断正项级数的收敛性方法：
★1比判别法. ★2根值判别法. ★3.判别法. ★4.比较判别法的极限形式5.前n项和有上界.6
发散。7.定义
三、断一般级数收敛性的方法：
★1、绝对值的比值判别法 ★ 2、绝对值的根值判别法 ★ 3、若
收敛，则
绝对收敛 ★4、交错级数的莱布尼兹判别法 5若
不存在，则
发散. 6定义
四、级数和函数的方法：
1、利用
及个基本函数的展开式，右边是幂级数，左边为和函数。
★利用线性运算法则求和函数：即把所给幂级表示成简单幂级数的线性组合，而这些简单幂级和能求出和函数，从而求出所给幂级数的和函数。
★2、设
，
若
能求出，则
特别地
时，设
若
能求出，则
这种方法是先求导，再积分
★3、设
浙公网安备 33021202002483