高考中的抽象函数题归类分析

高考中的抽象函数题归类分析 2008年高考中的抽象函数题归类分析 李承虎 (云南省水富县云天化中学 657800) 抽象函数是指函数解析式未给出，而只给出函数满足条件的一些条件的一类函数。由于这类函数解析式不清楚，故学生在解此类函数问题时，常感到抽象而无计可施。但利用抽象这一特点设计考题可更好地考查学生对函数概念、性质、图像等知识的理解是否深刻，掌握是否牢固。正因为如此，抽象函数深受命题专家的青睐，已成为近几年高考的热点之一。为了追踪热点，透视命题规律，本文就2008年高考中的抽象函数题作一归类分析。( 1. 抽象函数的定义域 fx(2)例1 (江西文.(3))(若函数的定义域是，则函数的定义域gx(),yfx,()[0,2]x,1是( ) A( B( C( D( [0,1)(1,4]:(0,1)[0,1][0,1) 022,,xx,1解析:因为的定义域为[0，2]，所以对，但故。选B fx()gx()x,[0,1)点评 本题着意考查抽象函数的定义域。解题的关键是抽象函数的复合过程。 2. 抽象函数的值域 11，，例2 (江西理.(3)) 若函数的值域是，则函数的值yfx,()Fxfx,，,3，，，，,,fx()2，， 域是( ) 11051010 A([，3] B([2，] C([，] D([3，] 23233 1111解析:由基本不等式知由勾勾函数知？,,？,,fx()3,2.fx()2,，,23()fxfx() 15101fx()=Fx()=Fx()=当时，，当时，，fx()=3Fxfx()=(),，223fx() 10()？Fx=,选B max3 点评 本题着意考查抽象函数值域求法，这里勾勾函数的适用范围要比均值定理广泛。 3. 抽象函数的函数值 R例3 (陕西理.(11))定义在上的函数满足fx()fxyfxfyxy()()()2，,，，(xy，,R)，f)21(,，则f(3),等于( ) A(2 B(3 C(6 D(9 解析:fff(3)(1)(2)4,,,,，,，只需求出即可，又f(1)=2，故f(1), fff(1+1)(1)(1)2,,,,，,ff(0)=(1),xy,,0即，令，可得f(0)=0，于是 第 1 页 共 5 页 ffff(1)=0(2)=2(1)+2=2.(3)=0+2+4=6,,,？,， 例4 (陕西文.(11))定义在上的函数满足Rfx()fxyfxfyxy()()()2，,，，()，，则等于( A ) xy，,Rf)21(,f(2), A(2 B(3 C(6 D(9 例5 (山东文.(4))给出命题:若函数是幂函数，则函数的图象不过yfx,()yfx,()第四象限(在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( C ) A(3 B(2 C(1 D(0 ,,32或()点评 陕西两个题目着意考查抽象函数的有关运算和性质。考查如何将分解是 a解题的关键，山东题考查幂函数的图像及性质，则。体现了函数性质的综合应用fxx(), 及四种命题的关系，逆命题与否命题、原命题与逆否命题等价。 4. 抽象函数的反函数 -1例6 (湖南理.(13))设函数存在反函数,且函数的图象yfx,()yxfx,,()yfx,() -1过点(1,2)，则函数的图象一定过点 (-1,2) . yfxx,,() -1解析:过点(1,2)，，即过点？yxfx,,()？,,21(1)ff(1)1,,，？,yfx() -1,1,1由可知.即(11).，,？y=2？,,f(1)1.？yxfx+(),yf,,,1(1)=1， -1过点(-1,2) yfxx,,() 点评 本题考查了原函数与反函数的关系及运算，解题的关键是充分把握与理解 所过的定点，然后加以转化运用，此是解题的技巧所在。 yfx,() 5. 抽象函数的单调性 例7 (全国?理.9 )设奇函数在上为增函数，且，则不等式fx()(0)，，,f(1)0,fxfx()(),,,0的解集为( ) x A( B( (10)(1),，,，，:(1)(01),,,，，: C( D( (1)(1),,,，,，，:(10)(01),，，: fxfxfx()()2(),,,,0解析:由奇函数fx()可知，而f)01(,，则ff(1,,,,)()01，xx x,0x,0当时，fxf()0(1),,;当时，fxf()0(1),,,，又fx()在(0)，，,上为 01,10,,,,,xx或fx()(,0),,增函数，则奇函数在上为增函数， 故选D 第 2 页 共 5 页 6. 抽象函数的周期性 例8 (四川理.(11))(文.(9))定义在上的函数满足:，，Rfx()fxfx()(2)13,，,f(1)2,则( ) f(99), 132(A)13 (B)2 (C) (D) 213 解析:由，知，所以，即是周期函fxfx()(2)13,，,fxfx(2)(4)13，,，,fxfx(4)()，,fx() 1313数，周期为4(所以(选C( fff(99)(3424)(3),，，,,,f(1)2 点评 本题着意考查抽象函数的性质(赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招(本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型 7. 抽象函数图像与其导函数图像的整合 例9 (福建文(.11)) 如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是( A ) 解析:由函数的图像可知单调性为增、减、增、减，故导函数的图像呈正、负、正、负 例10 (福建?理(12))已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( D ) 解析:从两函数的斜率入手，其易错点为导函数图像有交点误认为函数图像有公共点，从而 A误选。 点评 两题着意考查抽象函数的单调性与导函数图像的关系，考查学生识图用图的能力，对导函数的图像变化，导数的几何意义，认识是部分学生的易错点。 8. 抽象函数的奇偶性与单调性的整合 R例11 (安徽理((11))若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足fxgx(),() x，则有( ) fxgxe()(),, A(ffg(2)(3)(0),, B(gff(0)(3)(2),, fgf(2)(0)(3),,gff(0)(2)(3),,C( D( 第 3 页 共 5 页 解析:函数分别是上的奇函数、偶函数，有.Rfxgx(),()fxfxgxgx()=(),()(),,,, ,xx,x又知，有即 ,e.,fx(),gx()fxgxe()(),,fxgxe()(),,,,， xx,xx,22,eeee+ee,,则 ？,,，()=f(2)=gx()fx，，g(0)=1,，222 33,xx,ee,ee+、是R上的偶函数，，选 D，f(3)=，fx()=>0，，fxgff(0)(2)(3),,？22 例12 (天津理.(9)) 已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令 ，，,，fx0,，, 255,,,,,,,,,，则( A ) a,fsin,b,fcos,c,ftan,,,,,,777,,,,,, b,a,cc,b,ab,c,aa,b,c(A) (B) (C) (D) 55,,,,,,解析:是R上的偶函数，所以，，，fx？,,,bffcoscos,,,,77,,,, 525,,,55,,,,,,,,利用单位圆可比较，又在cossintan，，fxcff,,,tantan，,,,,77777,,,, b,a,c区间上是增函数，所以. ,，0,，, 点评 (安徽理((11))主要考查奇函数、偶函数及比较大小，要理解奇函数、偶函数 的定义，在比较大小利用了的导数，判断单调性这一知识点是高考中常考，，fxff(2)(3)， 知识之一;(天津理.(9)) 主要考查用函数的单调性和单位圆比较大小，在利用单位圆比较 2,,,,2<,三角函数值大小，必须明确的终边所处位置() 7472 9. 抽象函数的奇偶性、单调性与连续性的整合 x,0例13 (辽宁理.(12)) 设是连续的偶函数,且当时是单调函数,则满足fx()fx() x，3fxf()(),的所有x之和为( C ) x，4 ,33,88 A. B. C. D. x，3x，3x=fxf()=()解析:单调,且是连续的偶函数，要必有?？xfx,0()，fx()？x，4x，4 2xx，,33x，3,3,x==0,4,？x,,？或?。由?得两根和为;由?得x，4x，4 2xx，5+3,5,8=0,4,？x,,？两根和为。综上所有根之和为 x，4 第 4 页 共 5 页 点评 本题综合考查了偶函数，单调函数，连续函数，方程的根等性质及知识是一道很好 x，3的综合题。关键是正确理解题意把握有两种情况。考查了学生分析问题的fxf()(),x，4 全面性和灵活性，具有新意和创造性，是高考命题的一个方向，学习中应灵活掌握运用知识，切忌死学。 第 5 页 共 5 页