矩阵的秩的相关不等式的归纳小结.doc

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结.doc 矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 林 松 (莆田学院数学系，福建，莆田) 摘要:利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。 关键词:矩阵的秩，矩阵的初等变换 引言:矩阵的秩是指矩阵中行(或列)向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。 一 基本的定理 1 设A是数域P上矩阵，B是数域上矩阵，于是 nm，ms， , 秩(AB)min [秩(A)，秩(B)]，即乘积的秩不超过个因子的秩 ,,2 设A与B是矩阵，秩(AB)秩(A)+秩(B) mn， 二 常见的秩的不等式 ,1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) n 证:设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。 当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时 r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。 当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量， ,,从而B的列向量组的秩n-r,即r(B) n-r ,所以 r(A) + r(B) n ,2设A为矩阵，B为矩阵，证明不等式r(AB)r(A)+r(B)-n mn，ns， E 证:设E为n阶单位矩阵， 为S阶单位方阵，则由于 S EBAABA0,,,,,,, ,,,,,,0,EEEB0S,,,,,, EB,, 而 可逆，故 ,,,E0,,S AABA00AB,,,,,, r(A)+r(B) , 秩 =秩 =秩 ,,,,,,E0E0EB,,,,,, =r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) , r(A) + r(B) - n 3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明 秩(AB-E),秩(A-E)+秩(B-E) AEBE,,B0ABE,0,,,,,,证:因为 ,,,,,,,0BE,E0BE,0,,,,,, AEBE,,ABE,0,,,,,,故秩(AB-E)秩秩 ,,,,0BE,BE,0,,,, =秩(A-E)+秩(B-E) ,因此 秩(AB-E)秩(A-E)+秩(B-E) mnnsst，，，,,4 设A，B，C依次为的矩阵，证明 ,r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B) EE,证:设 分别为，s,t阶单位矩阵，则由于 st ECABABCAB0,,,,,,s, ,,,,,,0,EB0BBCt,,,,,, EC,,s且是可逆矩阵，故 ,,0,Et,, ABABCAB00ABC,,,,,,, r(AB) + r(BC)秩=秩=秩 ,,,,,,B0BBCB0,,,,,, = r(ABC) + r(B) ,从而r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B) ,5 设A，B都是n阶矩阵，证明;r( A B + A + B ) r( A ) + r ( B ) 证明:r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二 ,r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ,r( A ) + r( B ) 6 设A，C均为矩阵，B，D均为矩阵，证明 mn，ns， r( A B – C D) r( A-C) + r( B - D) , 证明:根据分块矩阵的乘法可知 ECEBACABCD,,AC,0,,,,,,,,mn = ,,,,,,,,E00E0BD,0BD,s,,n,,,,,, ACABCD,,,, 由此易知r(A-C)+r(B-D)=r ,,0BD,,, ,r(AB-CD) 从而得r(AB-CD) , r(A-C) + r(B-D) 三 不等式等号成立的探讨 1 设A，B分别为mn，和nm，矩阵，则的充rAB=rA+rB-n，，，，，， 分条件为: A0A0，，，，r=r ,,,,EB0B，，，， 证明:由 E-AA0E-B0-ABE-B0-AB，，，，，，，，，，，，==得:,,,,,,,,,,,,0EEB0EEB0EE0，，，，，，，，，，，， A00-AB，，，，r=r ,,,,EBE0，，，， 0-ABA0，，，，又，r=rAB+nr=rA+rB ，，，，，，,,,,E0EB，，，， ？ rAB=rA+rB-n，，，，，， mn，nm，2 设A，B分别为和矩阵，则的充分必要条rAB=rA+rB-n，，，，，， XA+BY=E件为存在矩阵X、Y，使得 n 证明:根据 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 三 1，只需要证明 A0A0，，，，XA+BY=Er=rXY,存在、，使得 n,,,,EB0B，，，， E0A0E0E0A0，，，，，，，，，，mnn,由=,,,,,,,,,,-XEEB-YE-YE-AXB，，nnmm，，，，，，，， A0，，,,,E-XA-BYBn，， A0A0，，，，当 XA+BY=E 时， r=rn,,,,EB0B，，，， ？rAB=rA+rB-n，，，，，， EE00,,,,rS 设 P,,,AQPBQ,1122,,,,0000,,,, PQ00A0,,,,,,11则 ,,,,,,00PQ0B,,22,,,, PAQ00,,,,11, ,,,,00PBQ22,,,, PAQ0,,11, ,,0PBQ22,, E000,,r,,0000,, (1) ,,,000ES,,0000,, PQ00A0,,,,,,11 ,,,,,,00PQEB,,22,,,, PAQ00,,,,11, ,,,,PPBQ0222,,,, PAQ0,,11, ,,PQPBQ2122,, E000,,r,,0000,, (2) ,,,CCE012S,,CC0034,, 对式(2)右端的方阵作行初等变换，可消去，，，由于式(1)，式(2)右CCC123 F0,,1端方阵秩相等，故在消去，，时也消去了，对式(2)右端分块记为 CCCC,,1234CF,,2 CCE0E0,,,,,,12rS其中=， =， C= FF,,12,,,,CCC0C034,,,,,, ,C0E0,,,,CC0C,,,,1r122于是上述消去的行变换相当于 C, ，1,,,,,,,,0000CCCC,,,,3434,,,, 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使 消去其余CCC,,234 TS=+C=0，即 SPAQPBQTPQ，，,0FF12112221 从而有 令 得 XABYE，, n 3 设 A，B，分别为 矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满mnnllm，，，,, 秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y XAHLCYE，,使得 r 证明:设r(B)=r，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B) r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r , 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r XAHLCYE，,矩阵X,Y 使得 ,r 所以 3得证 24 设A为n阶矩阵，证明如果 = E，那么r( A + E ) + r( A – E )= n A 2 证明: ( A + E )( A – E ) = + A – A – E = E – E = 0 A , r( A + E )+ r( A – E ) n ？ , r( A + E ) + r( A – E ) r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A) 2 = E A 2A = E，即 0 ,A？ r(A)= n ？ r( A + E) + r( A - E) n , 故 r( A + E )+ r( A - E) = n 25 设A为n阶矩阵，且 = A，证明 r(A)+ r(A-E)= n A 2 证明:由 = A，可得 A( A – E )= 0 A 由题一 1知，r( A ) + r( A - E), n 又因为 E-A和A-E 有相同的秩 n = r( E ) = r( A + E – A ) , r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n 3226 设A是阶矩阵，则 = A的充分必要条件是r(A)= r(A-)+ r(A+) AAA 3证明: 必要性 一方面，由 = A(E-A)A(E+A)=0 由题二 4知 ,A , 0 r[(E-A)A] + r[ A (E+A)] - r(A) 22, 即r(A) r(A-)+r(A+) AA 2222, 另一方面，由r(A-)+r(A+)r[(A-)+(A+)] AAAA = r(2A) = r(A) 22 所以 r(A)= r(A-)+ r(A+) AA 22 充分性 若r(A)= r(A-)+r(A+) AA 设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y EE 使(2X)H =，L(2Y)= 成立 rr EE 则 X(E-A)H +L(E-A)Y=(XH + LY)-(XHLH - LHLY)= -0 = rr 由题三3得 r[(E-A)A(E+A)] =r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0 即得(E-A)A(E+A)=0 3 从而得 = A A 参考文献: [1] 张禾瑞 .高等代数(第二版)[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社