不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法 第三节 不定积分的分部积分法 若凑微分公式凑出的不是一个中间变量或者被积函数中根本就没有复合函数，如: 21xxx(或). 此时，可以考虑使用分部积分法. xedxxde,,edx,,,2 一、分部积分公式 ,,,uvuvuv,， ，， duv，，dudv,，vu dxdxdx duvvduudv,，，， udvduvvdu,,，， udvduvvdu,, ，，,,, udvuvCvdu,，, ,, 由于vdu中会有常数“”，所以上式中“”一般省略不写，则得分部积分公式: CC, udvuvvdu,,,, ,,上式左边的“udv”一般是由“uvdx”通过某凑微分公式“”凑出来的， vdxdv,,, uv右边的新积分“vduudv”是由原积分“”中的两部“”与“”对调得到的，这时,,若新积分“vduudv”比原积分“”简单，问题也就好办了. ,,例6(3(1 求不定积分xxdxcos. , 解 sinxdxxxdxcos这里新积分是公式，肯定比原积分简单了， ,, xxdxxxxdxxxxCcossinsinsincos,,,，，所以 ; ,, uvduudv反之，若新积分“”比原积分“”还复杂，那必须换个凑微分公式重新确定 “”,, v与“” 两部，确保新积分“”比原积分“”简单. vduudv,, x例6(3(2 求不定积分. 2xedx, 解 2xx2”比原积分“”还复杂，凑微分式“”不能用，显然新积分“xedx2xedx2xdxdx,,, xxuv换凑微分式“”重新确定 “”、“”试试 edxde, 2xx问题解决了，看来两凑微分式“”、“”总有一个管用. 2xdxdx,edxde, 二、分部积分举例 例6(3(3 求下列不定积分: 224x2x(1)xxdxsin;(2)xxdxsec;(3)xedx;(4)xadx. ,,,, 解 2(1)xxdxsin , 2,,xdxcos , 22,,，xxxdxcoscos , 2,,，xxxxdxcos2cos , 2; ,,，，，xxxxxCcos2sin2cos 2xxdxsec(2) , ,xdxtan , ,,xxxdxtantan , ; ,，，xxxCtanlncos 4xxedx(3) , 14x ,xde,4 1144xx ,,xeedx,44 1144xx ,,xeedx4,416 11,,4x,,，xeC; ,,416,, 2x(4) xadx, 12x ,xda,aln 1122xx ,,xaadx,aalnln 2xxa2x,,xadx ,lnlnaa 2xxa2x,,xda 2,lnlnaa 2xxxaxa22x,,，adx 22,lnlnlnaaa 2xxxxaxaa22,,，，C. 23lnlnlnaaa 例6(3(4 求下列不定积分: lnx(1)xxdxarctan;(2)arcnsixdx;(3)lnxdx;(4)dx. 2,,,,x 解 xxdxarctan(1) , 12 ,arctanxdx,2 1122 ,,xxxdxarctanarctan,22 21111x，,2,,xtaxdxarcn 2,221，x11112 ,,，xtaxdxdxarcn2,,2221，x 112; ,，,，xtaxxC1arcn，，22 (2) arcnsixdx, ,,xsixxdxarcnarcsin, x,,xsixdxarcn ,21,x 1,1222,，,,xsixxdxarcn11 ，，，，,2 2; ,，,，xsixxCarcn1 (3) lnxdx, ,,xxxdxlnln, 1 ,,xxxdxln,x ,,，xxxCln 这样得到不定积分的最后一个公式: lnxdx---------------------------------------不定积分公式(20); ,,，xxxCln, lnx(4)dx 2,x 1 ,,lnxd,x 11 ,,，lnlnxdx,xx ln1x ,,，dx2,xx ln1x. ,,,，Cxx 小结:分部积分的被积函数往往是两个代数式的积，若一个是幂函数而另一个是三角函数、 指数函数、反三角函数、对数函数中的一个，则积分规律我们可用“三指动，反对不动” u一句口诀来概括. 说谓“三指动”意思是:幂函数作为“”不用动而三角函数或指数函 ,数作为“”要动起来去与“”凑成微分“”，比如例6(3(3;说谓“反对不动”vdxdv 则是:反三角函数或对数函数作为“u”不用动了而幂函数要动起来去凑微分，比如例6(3(4. 当然，还会有比上面更复杂同时也更有趣儿的情形. 例6(3(5 求下列不定积分: 1x3x(1);(2);(3). exdxsinsecxdx，xedx(ln),,,x 解 1x(1) ，xedx(ln),x 1xx ,，edxexdxln,,x xx ,，edxxdelnln,, xxx ,，,，exCxdexdelnlnln,, x; ,，exCln x(2)exdxsin , x,sinxde , xx,,exedxsinsin , xx,,exexdxsincos , xx,,exxdesincos , xxx,,,exexedxsin(coscos) , xx,,,exxexdxsincossin ，，,移项，得 xx2sinsincosexdxexxC,,， ，，, xexsinsincosexdxxxC,,，则; ，，,2 3secxdx(3) , 2 ,secsecxxdx, ,sectanxdx, ,,sectantansecxxxdx, 2 ,,sectantansecxxxxdx, 2 ,,,sectan(sec1)secxxxxdx, 3 ,,，sectansecsecxxxdxxdx,, 3 ,，，，,sectanlnsectansecxxxxCxdx, 移项，得 113. secsectanlnsectanxdxxxxxC,，，，,22 思考题6.3 1.思考凑微分公式在分部积分法中的地位与作用.(仍然是灵感的源泉) 2.思考例6(3(5(2)结果中的 “” 是从哪儿来的, C 练习题6.3 1. 计算下列不定积分: x2x''(1)xxdxsin;(2)(1)xedx，;(3)xedx;(4)xfxdx(). ,,,, 2. 计算下列不定积分: lnx22dxarccotxdxxxdxarctanxxdxln(1);(2);(3);(4). ,,,,x 练习题6.3 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1.解 (1) xxdxsin, ,,xdxcos, ,,，xxxdxcoscos, ; ,,，sincosxxxC x) (2(1)xedx，, x ,，(1)xde, xx ,，,，(1)(1)xeedx, xx,，,，(1)xeeC x; ,，xeC 2x(3) xedx, 2x,xde , 22xx,,xeedx , 2xx,,xexedx2 ,2xx,,xexde2 , 2xxx,,，xexeedx22 , 2x,,，，xxeC22; ，， ''xfxdx()(4) , ',xdfx() , '',,xfxfxdx()() ,',,，xfxfxC()(). 2.解 arccotxdx(1) , ,,xxxdxarccotarccot, x ,，xxdxarccot2,1，x 112 ,，，xxdxarccot(1)2,21，x 12; ,，，，xxxCarccotln1，，2 2) (2xxdxarctan, 13 ,arctanxdx,3 1133 ,,xxxdxarctanarctan,33 311x3,,xxdxarctan 2,331，x 211x32,,xxdxarctan 2,361，x11132 ,,,xxdxarctan(1)2,361，x1111322 ,,，，xxdxdxarctan(1)2,,3661，x 111322; ,,，，，xxxxCarctanln(1)366 2(3)xxdxln , 13 ,lnxdx,3 1133 ,,xxxdxlnln,33 11133 ,,xxxdxln,33x1133; ,,，xxxCln39 lnxdx(4) ,x ,2lnxdx , ,,2ln2lnxxxdx , 1 ,,2ln2xxxdx,x ,,，2ln4xxxC.