关于Sylvester与Frobenius不等式在矩阵多项式方面等号条件的思考

《线性代数》大作业   关于Sylvester与Frobenius不等式在矩阵多项式方面等号条件的思考 班级：软件学院2012级 班 学号： 姓名： 2013年 1 月 2  日 关于Sylvester与Frobenius不等式在矩阵多项式方面等号条件的思考 摘要：应用新近得到的矩阵多项式秩的恒等式，对矩阵秩Sylvester 不等式和Frobenius不等式限定在矩阵多项式上取等号的条件进行进一步讨论，同时给出近期相关结果的一种统一的证明方法。 关键词：矩阵多项式；秩的恒等式；Sylvester不等式；Frobenius不等式 矩阵秩的研究是矩阵理论的重要内容。矩阵乘积秩的Sylvester 不等式和Frobenius 不等式是两个最基本的不等式，分别是由Sylvester 和Frobenius 于1884 年和1911 年首先证明的。 一、Sylvester与Frobenius不等式 Sylvester 不等式  A∈Pm×n, B ∈Pn×s则 r(A)+r(B)≤n+r(AB)                                        （1） 证明： Frobenius 不等式  A∈Pm×n, B ∈Pn×s,C ∈Ps×t，则 r(AB)+r(BC)≤r(B)+r(ABC)                                (2) 证明： 二、参考文献中的推广命题及其推论 经过查阅参考文献，得到下列命题并得出一些实用推论： 命题1     设A∈Pn×n，f(x),g(x)是P数域上的多项式，如果(f (x),g(x))=1，则 r(f(A))+r(g(A))=n+r(f(A)g(A))                        （3） 证明： 由(f(x),g(x))=1 知, 存在u(x),v(x), 使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1 以A 代入,得 f(A)u(A)+g(A)v(A)=E 从而 因此 由初等变换得 由（1）、（2）可得 r(f(A))+r(g(A))=n+r(f(A)g(A)). 推论1  设A∈Pn×n，f(x),g(x)是P数域上的多项式，如果(f (x),g(x))=1，则 f(x)g(x)=0    r(f(A))+r(g(B))=n              (4) 推论2  设A∈Pn ×n，k 为正整数，则 1)r(A)+r(E±Ak)=n+r(Ak+1±A)                        (5) 2)r(A-E)+r(Ak+……+A+E)=n+r(Ak+1-E)                (6) 3)r(A)+r(A-E)+r(Ak-1+……+A+E)=r(A-Ak+1)+2n          (7) 推论3  设A∈Pn ×n，m为正整数，则对任意自然数l,k有 1）r( Al)+ r(Am- E)k= n Am+1= A                  (8) 2）r( A- E)l+ r( Am- 1+Am- 2+…+A+E)k= n  Am= E    (9) 命题2  若(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1,A∈Pm×n，有 r(f(A)g(A)h(A))+r(g(A))=r(f(A)g(A))+r(g(A)h(A))  (10) 证明： ∵(f(x),g(x))=1 由(3)知 r(f(A))+r(g(A))=n+r(f(A)g(A))                      (1) ∵(f(x),h(x)=1 ∴(f(x),g(x)h(x))=1 ∴r(f(A)g(A)h(A))+n=r(f(A))+r(g(A)h(A))            (2) 将（1）代入（2) 得 r(f(A)g(A)h(A))+r(g(A))=r(f(A)g(A))+r(g(A)h(A)). 推论    设A∈Pn ×n，k 为正整数，则 1)若Ak= A，且k为奇数，k≥3，则 r( A）= r(A- A(k+1)/2)+r(A+ A(k+1)2 )                (11) 2)若Ak= A，且k为偶数，则 r( A）= r(A- A2)+r(A+ A2 +……+Ak-1)              (12) 三、思考结论 思考上述结论，进一步推广下列结论 命题1    设A ∈Pn ×n，f (x) ,g(x)∈P[x],d(x)=(f(x),g(x)), m(x)= [f(x)，g(x)]则 r(f(A))+r(g(A))=r(d(A))+r(m( A))                (13) 证明： 令f(x)=s(x)d(x),g(x)=t(x)d(x) 则 (s(x),d(x))=1,(s(x),t(x))=1且m(x)=s(x)d(x)t(x) 由 （1）知 r(s(A)d(A))+r(d(A)t(A))= r(s(A)d(A)t(A))+r(d(A)) 即 r(f(A))+r(g(A))=r(d(A))+r(m( A)). 推论    设A ∈Pn ×n，g(x)∈P[x],g（0）≠0 则 r(A)+r(g(A))=n+r(Ag( A))                      （14） 命题2    设M ∈Pn ×n，f (x) ,g(x)∈P[x],(f(x),g(x),fM(x))=1 则 r(f(M))+r(g(M))=n+r(f(M)g(M))                （15）      证明： 由(f(x),g(x),fM(x))=1，设d(x)=(f(x),g(x)), m(x)= [f(x)，g(x)]则 (d(x),fM(x))=1 ∴存在u(x),v(x)∈P[x],使得 u(x)d(x)+v(x)fM(x)=1 由Hamilton-Caylay定理 fM(M)=0 ∴u(M)d(M)+v(M)fM(M)=u(M)d(M)=E ∴d(M)可逆 ∴d(x)≠0 ∴r(m(M))=r(f(M)g(M))                            （1） 由（13） r(m( M))=r(f(M))+r(g(M))-r(d(M))=r(f(M))+r(g(M))-n 代入（1）即得 r(f(M))+r(g(M))=n+r(f(M)g(M)). 参考文献： Mirsky LA.An Introduction to Linear Algebra [M].Oxford：Oxford University Press, 1955. Tian Yongge,Styan GPH. When does rank（ABC）=rank（AB）+rank（BC）-rank（B）hold [J ]. Internat J Math Ed Sc i Tech , 2002, 33：127- 137. 余世群. 关于“一类矩阵秩的恒等式及其推广”一文的注记[J ]. 武汉科技学院学报，2006，19（10）：28- 29. 邹晓光. 互素多项式在矩阵的秩的一个简单结论及其应用[J ]. 金华职业技术学院学报，2006，6（1）：80- 81. 胡付高. 一类矩阵多项式的秩特征[J ]. 大学数学，2007，23（3）：164- 166. 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J ]. 武汉科技大学学报：自然科学版，2004，27（3）：322- 323. 严坤妹. 一类矩阵的秩[J ]. 福建商业高等专科学校学 报，2005（4）：59- 60. 杨忠鹏，林志兴. 矩阵方幂的秩的一个恒等式及应用[J ]. 北华大学学报：自然科学版，2007，8（3）：294- 298. 北京大学数学系. 高等代数[M]. 2 版. 北京：高等教育出版社，2002.