复合函数求导公式,复合函数综合应用

复合函数求导公式,复合函数综合应用 翔鹏教育 华侨城个性化学习中心 相信自己，相信翔鹏，你是最棒的～ 导数的运算法则及基本公式应用 一、常用的求导公式 公式若则1.(),'()0;fxcfx,, nn,1公式若则2.(),'();fxxfxnx,, 公式若则3.()sin,'()cos;fxxfxx,, 公式若则4.()cos,'()sin;fxxfxx,,, xx 公式若则5.(),'()ln(0);fxafxaaa,,, ,,,xx(u,v),u,v公式若则6.(),'();fxefxe,, 1 a公式若则且7.()log,'()(0,1);fxxfxaa,,,,,,,(u,v),uv，uv二、复合函数的导数 xaln若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则 1公式若8.fxxfx()ln,'();,,则,,(cu),cux ,,uuv,uv ,(),2 vv 三、基础运用举例 sinx1 y=ecos(sinx)，则y′(0)等于( ) A 0 B 1 C ,1 D 2 x，92 经过原点且与曲线y=相切的方程是( ) x，5 xxA x+y=0或+y=0 B x,y=0或+y=0 2525 xxC x+y=0或,y=0 D x,y=0或,y=0 2525 f(xk)f(x),,003 若f′(x)=2, =_________ lim0k,2k0 4 设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________ 225 已知曲线C:y=x与C:y=,(x,2),直线l与C、C都相切，求直线l的方程 1212 1 地址: 南山区华侨城光侨街12栋204室(华侨城中学对面) (刘老师) 电话: (李老师) 翔鹏教育 华侨城个性化学习中心 6 求函数的导数 22x(1)y=(x,2x+3)e; x3(2)y= 1,x 四、综合运用举例 例1求函数的导数 1,x232 (1)y, (2)y,(ax,bsin,x) (3)y,f(x，1)2(1，x)cosx 22,,(1)(1)cos(1)[(1)cos],，,,，xxxxxx,(1):解y, 222(1)cos，,xx 222,,,，,,，，，(1)cos(1)[(1)cos(1)(cos)]xxxxxxx,222(1)cos，xx 22,，,,,，(1)cos(1)[2cos(1)sin]xxxxxxx ,222(1)cos，xx 22(21)cos(1)(1)sinxxxxxx,,，,，,222(1)cos，xx 32(2)解 y=μ,μ=ax,bsinωx,μ=av,by v=x,y=sinγ γ=ωx 322y′=(μ)′=3μ?μ′=3μ(av,by)′ 22=3μ(av′,by′)=3μ(av′,by′γ′) 22=3(ax,bsinωx)(a,bωsin2ωx) 2(3)解法一 设y=f(μ),μ=,v=x+1,则 v 11,y′=y′μ′?v′=f′(μ)?v?2x μxvx22 1x122,f(x，1),=f′(x，1)??2x = 222x，1x，1 222解法二 y′=,f(x，1),′=f′(x，1)?(x，1)′ 2 地址: 南山区华侨城光侨街12栋204室(华侨城中学对面) (刘老师) 电话: (李老师) 翔鹏教育 华侨城个性化学习中心 1,12222=f′()?(x+1)?(x+1)′ x，12 1,1222=f′()?(x+1) ?2x x，12 x2=f′() x，12x，1 32例2 已知曲线C y=x,3x+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x,y)(x?0)，求直线l的方程及切点坐000标 y320解 由l过原点，知k=(x?0),点(x,y)在曲线C上，y=x,3x+2x, 0000000x0 y20?=x,3x+2 00x0 22y′=3x,6x+2,k=3x,6x+2 00 y220又k=,?3x,6x+2=x,3x+2 0000x0 322x,3x=0,?x=0或x= 00002 3由x?0,知x= 02 333332?y=(),3()+2?=, 02228 y10?k==, x40 133?l方程y=,x 切点(，,) 428 五、巩固练习 11.函数y=的导数是 2(3x,1) 6666A. B. C., D., 2233(3x,1)(3x,1)(3x,1)(3x,1) 12.已知y=sin2x+sinx,那么y′是 2 A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值，又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 3 地址: 南山区华侨城光侨街12栋204室(华侨城中学对面) (刘老师) 电话: (李老师) 翔鹏教育 华侨城个性化学习中心 ,33.函数y=sin(3x+)的导数为 4 ,,,,22A.3sin(3x+)cos(3x+) B.9sin(3x+)cos(3x+) 4444 ,,,22C.9sin(3x+) D.,9sin(3x+)cos(3x+) 4444.函数y=cos(sinx)的导数为 A.,,sin(sinx),cosx B.,sin(sinx) C.,sin(sinx),cosx D.sin(cosx) 5.函数y=cos2x+sin的导数为 x cosxcosxA.,2sin2x+ B.2sin2x+ 2x2x cosxsinxC.,2sin2x+ D.2sin2x, 2x2x 116.过曲线y=上点P(1，)且与过P点的切线夹角最大的直线的方程为 x，12 A.2y,8x+7=0 B.2y+8x+7=0 C.2y+8x,9=0 D.2y,8x+9=0 二、填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (本大题共5小题，每小题3分，共15分) 37.函数y=(1+sin3x)是由___________两个函数复合而成. ,8.曲线y=sin3x在点P(,0)处切线的斜率为___________. 3 ,,9.函数y=xsin(2x,)cos(2x+)的导数是 . 22 ,cos(2x,)10.函数y=的导数为 . 3 1311.函数y=cos的导数是___________. x 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 sinx01 解析 y′=e,cosxcos(sinx),cosxsin(sinx),,y′(0)=e(1,0)=1 答案 B 4 地址: 南山区华侨城光侨街12栋204室(华侨城中学对面) (刘老师) 电话: (李老师) 翔鹏教育 华侨城个性化学习中心 y02 解析 设切点为(x,y),则切线的斜率为k=, 00x0 ,4x，9另一方面，y′=()′=, 2x，5(x，5) yx，9,4200故y′(x)=k,即,,或x+18x+45=0 0002xx(x，5)(x，5)0000 ,15，93(1) (2)(1)(2),得x=,3, x=,15,对应有y=3,y=, 0000,15，55 3因此得两个切点A(,3，3)或B(,15,), 5 ,441,(A)= =,1及y′(B)= , 从而得y′,,3225(,3，5)(155),， x由于切线过原点，故得切线 l:y=,x或l:y=, AB25答案 A 3 解析 根据导数的定义 fx，,k,fx[(()]()00f′(x)=(这时,x,,k) 0limk,,k0 f(x,k),f(x)f(x,k),f(x)10000？,[,,]limlim2k2,kk,0k,0 f(x,k),f(x)1100,,,,,f(x),,1lim0k,02,k2 答案 ,1 4 解析 设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x), 于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0?g′(0)=g(0)=1?2?…n=n～ 答案 n! 225 解 设l与C相切于点P(x,x),与C相切于Q(x,,(x,2)) 111222对于C y′=2x,则与C相切于点P的切线方程为 1122 y,x=2x(x,x),即y=2xx,x? 11111 对于C y′=,2(x,2),与C相切于点Q的切线方程为 2222y+(x,2)=,2(x,2)(x,x),即y=,2(x,2)x+x,4 ? 2222222?两切线重合，?2x=,2(x,2)且,x=x,4, 1212 解得x=0,x=2或x=2,x=0 1212 ?直线l方程为y=0或y=4x,4 6 解 (1)注意到y,0,两端取对数，得 22x2lny=ln(x,2x+3)+lne=ln(x,2x+3)+2x 5 地址: 南山区华侨城光侨街12栋204室(华侨城中学对面) (刘老师) 电话: (李老师) 翔鹏教育 华侨城个性化学习中心 22,1(x,2x，3)2x,22(x,x，2),？,y,，2,，2,222yx,2x，3x,2x，3x,2x，3 222(x,x，2)2(x,x，2)22x,？y,,y,,(x,2x，3),e 22x,2x，3x,2x，3 22x,2(x,x，2),e (2)两端取对数，得 1ln|y|=(ln|x|,ln|1,x|), 3 两边解x求导，得 111,111,,y,(,),y3x1,x3x(1,x) 111x3,？y,,,y,3x(1,x)3x(1,x)1,x 复合函数的导数 31.C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.A 7.y=u,u=1+sin3x 8.,3 ,,sin(2x,)1111239.y′=sin4x+2xcos4x 10. 11.cossin ,22xxx,cos(2x,)3 6 地址: 南山区华侨城光侨街12栋204室(华侨城中学对面) (刘老师) 电话: (李老师)