设函数
都在集合
上有定义，
。若数值级数
收敛，则称
为函数项级数
的收敛点，否则称为该函数项级数的发散点。所有收敛的集合，称为该函数项级数的收敛域。发散点的集合称为该函数项级数的发散域。
若
上每一点均是函数项级数
的收敛点，则称该函数项级数在
上处处收敛。
设
是函数项级数
的收敛域。
，设对应的级数和为
，这样，便在
中定义了一个函数
，称为该函数项级数的和函数。
例如，几何级数
它的收敛域为
，发散域为
；在收敛域内，和函数是
，即有
设
是函数项级数
的前
项和，则当
时，有
称
为该函数项级数的余项和。
显然，
，有
[例4.1] 设
，讨论函数项级数
的收敛性，并求其和函数 。
[解] 由于
故当
时，
；当
时，
；当
时，
，当
时，它的极限不存在；当
时，
，
故知该级数的收敛域为
，在收敛域上，它的和函数为
注：1）即使每个
都连续，和
也仍然可以是不连续的函数。
2）函数的可微性和可积性可能不再成立。即函数项级数
（4.1）
(4.2)
都不成立。若如果式（4.1）成立，则说级数
可以逐项微分；如果式（4.2）成立，则说
可以逐项计分。
7.4.2 函数项级数的一致收敛性
处处收敛的 “
” 语言，应该是这样的：
，使得当
时，有
表明，
不但依赖于
，还依赖于
。即对给定的
、
中不同的
，可以有不同的
，对所有的
不一定有通用的自然数
。若存在着通用的自然数
使级数收敛，则称级数一致收敛。
[定义4.1] 设函数项级数
在
上收敛于和函数
。若
当
时，
对所有的
都成立，则称该级数在
上一致收敛或一致收敛于
。
类似地，可以给出函数列
在
上一致收敛于函数
的定义。
一致收敛性的几何形象，（以序列为例）。设函数序列
在区间
上一致收敛于函数
。如果以曲线
为“中心”，作一“宽度”为
的带形区域，则不论正数
如何小，总有一个正整数
，使当
时，曲线
都完全在上述带形区域之内（图4.1）。
再分析例4.1中的级数。当
时
故
，若要
，必须
，
即
当
时，由于
，所以当
在
内找不到通用的
。从而所讨论级数在区间
内部不一致收敛，在
上更不可能一致收敛（图4.2）。
但是，对于任何小于
的正数
，所讨论级数在上是一致收敛的，因为这时可以取
。
证明一个函数项级数在
上不一致收敛的一般方法是：
，使得无论自然数
多么大，总存在
，使得
一致收敛性的判别方法：
[定理4.1] （Cauchy一致收敛准则） 函数项级数
在
上一致收敛的充分必要条件是：
当
时，对
及任何的自然数
，有
(4.3)
[证明] 必要性 设该级数在
上一致收敛于和函数
。则
当
时，对
，有
从而有
充分性 设不等式（4.3）成立，则有数列的Cauchy收敛准则，对于任意固定的
，部分和数列
收敛，即该级数在
上处处收敛，设其极限函数为
。在式（4.3）中，令
，便得到：当
时，
，即
由定义4.1，级数在
上一致收敛。
[推论] 设级数
在
上一致收敛，则函数列
在
上一致收敛于零。
[定理4.2] （Weierstrass准则或
判别法）如果存在一个收敛的正项级数
，使得对
，有
则函数项级数
在
上一致收敛。
[证明] 由于正项级数
收敛，根据数值级数的Cauchy收敛准则，
当
时，恒有
由已知，
，有
，故
根据定理4.1，该级数在
上一致收敛。
定理4.2中的级数
称为控制级数或优级数。
[例4.2] 判断级数
在
上的一致收敛性。
[解] 因为
，所以
而正项级数
是收敛的
-级数，故所讨论的函数项级数在区间
上是一致收敛的。
7.4.3 和函数的分析性质
[定理4.3] 若函数项级数
在区间
上一致收敛于和函数
，且级数的每一项
都在
上连续，则和函数
也连续。
[证明] 任意取
，由于
在
上一致收敛，对任意给定的
，存在自然数
，使得对任意的
，有
（4.4）
由于级数的每一项均在
上连续，部分和
也在
上连续，特别是在
处连续，所以，存在
，使当
时，有
由式（4.4）和式（4.5），得
这就证明了
在
处连续的。由
的任意性可知，
在区间
上连续。
[定理4.4] 若函数序列
在区间
上一致收敛于函数
，且每一个
都是在
上连续，则
在
上也连续。
注：极限函数（级数的和）不连续，常常是判断不一致收敛的简单方法。
如在区间
上连续函数列
收敛于不连续的函数
，所以必然是不一致收敛。
[例4.3]
在
上不一致收敛。
[证明] 因为当
时，级数的和为零；当
时，
可见，
。而
在
上连续，所以级数
在
上不能一致收敛。
[定理4.5] 若函数项级数
在区间
上一致收敛于和函数
，且级数的每一项
都在区间
上连续，则和函数可积，且可逐项积分，即
（4.6）
[证明] 由定理4.3知，
在
上连续，因而可积。由于
只需证明
（4.7）
注意到级数一致收敛，对
当
时，对所有的
，
有
因而
这就证明了式（4.7）。
[定理4.6] 设
在区间
上一致收敛于
，且每一个
都是在
上连续，则
在
上可积，并且可以逐项积分，即
（4.8）
[定理4.7] 设级数
在区间
上处处收敛于和函数
，如果它的各项
都在
上又连续的导数，并且有导函数
所组成的级数在
上一致收敛，则和函数
在
上可微。并且可以逐项微分，即
（4.9）
[证明] 设
取
，由式(4.6)得
但
，这就是说，
根据定理4.3，
在
上连续，所以
[定理4.8] 若函数序列
在区间
上处处收敛于函数
，且每一个
都在
上有连续的导数
，又
在
上一致收敛，则极限函数
在
上可微，并且
注：逐项求导后的级数的一致收敛性，是不能由原级数的一致收敛性代替的。
例如，级数
因为
，级数
收敛，由
判别法知，级数
在任何区间上都是一致收敛的。
但逐项积分后的级数
因其通项不趋于零，所以级数的收敛域为空集。因此，原级数不可能逐项微分。
注：1）求极限、求积分和求导数都可以与求和交换次序。因为求积分、求导数和求和也是一个极限问题。
2）一致收敛仅是求极限、求积分和求导数能与求和交换次序结论成立的充分条件，而不是必要条件。
[例4.4] 设
则每个
都是
上的连续函数。他的图形是一根折线（图4.3），在
处达到最高点，此时，
。
容易证明，
在
上处处收敛于零。因此，极限函数是
上的连续函数。但
在
上不一致收敛于零。为证明这一点，取
，则
。
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