设函数
都在集合
上有定义,
。若数值级数
收敛,则称
为函数项级数
的收敛点,否则称为该函数项级数的发散点。所有收敛的集合,称为该函数项级数的收敛域。发散点的集合称为该函数项级数的发散域。
若
上每一点均是函数项级数
的收敛点,则称该函数项级数在
上处处收敛。
设
是函数项级数
的收敛域。
,设对应的级数和为
,这样,便在
中定义了一个函数
,称为该函数项级数的和函数。
例如,几何级数
它的收敛域为
,发散域为
;在收敛域内,和函数是
,即有
设
是函数项级数
的前
项和,则当
时,有
称
为该函数项级数的余项和。
显然,
,有
[例4.1] 设
,讨论函数项级数
的收敛性,并求其和函数 。
[解] 由于
故当
时,
;当
时,
;当
时,
,当
时,它的极限不存在;当
时,
,
故知该级数的收敛域为
,在收敛域上,它的和函数为
注:1)即使每个
都连续,和
也仍然可以是不连续的函数。
2)函数的可微性和可积性可能不再成立。即函数项级数
(4.1)
(4.2)
都不成立。若如果式(4.1)成立,则说级数
可以逐项微分;如果式(4.2)成立,则说
可以逐项计分。
7.4.2 函数项级数的一致收敛性
处处收敛的 “
” 语言,应该是这样的:
,使得当
时,有
表明,
不但依赖于
,还依赖于
。即对给定的
、
中不同的
,可以有不同的
,对所有的
不一定有通用的自然数
。若存在着通用的自然数
使级数收敛,则称级数一致收敛。
[定义4.1] 设函数项级数
在
上收敛于和函数
。若
当
时,
对所有的
都成立,则称该级数在
上一致收敛或一致收敛于
。
类似地,可以给出函数列
在
上一致收敛于函数
的定义。
一致收敛性的几何形象,(以序列为例)。设函数序列
在区间
上一致收敛于函数
。如果以曲线
为“中心”,作一“宽度”为
的带形区域,则不论正数
如何小,总有一个正整数
,使当
时,曲线
都完全在上述带形区域之内(图4.1)。
再分析例4.1中的级数。当
时
故
,若要
,必须
,
即
当
时,由于
,所以当
在
内找不到通用的
。从而所讨论级数在区间
内部不一致收敛,在
上更不可能一致收敛(图4.2)。
但是,对于任何小于
的正数
,所讨论级数在上是一致收敛的,因为这时可以取
。
证明一个函数项级数在
上不一致收敛的一般方法是:
,使得无论自然数
多么大,总存在
,使得
一致收敛性的判别方法:
[定理4.1] (Cauchy一致收敛准则) 函数项级数
在
上一致收敛的充分必要条件是:
当
时,对
及任何的自然数
,有
(4.3)
[证明] 必要性 设该级数在
上一致收敛于和函数
。则
当
时,对
,有
从而有
充分性 设不等式(4.3)成立,则有数列的Cauchy收敛准则,对于任意固定的
,部分和数列
收敛,即该级数在
上处处收敛,设其极限函数为
。在式(4.3)中,令
,便得到:当
时,
,即
由定义4.1,级数在
上一致收敛。
[推论] 设级数
在
上一致收敛,则函数列
在
上一致收敛于零。
[定理4.2] (Weierstrass准则或
判别法)如果存在一个收敛的正项级数
,使得对
,有
则函数项级数
在
上一致收敛。
[证明] 由于正项级数
收敛,根据数值级数的Cauchy收敛准则,
当
时,恒有
由已知,
,有
,故
根据定理4.1,该级数在
上一致收敛。
定理4.2中的级数
称为控制级数或优级数。
[例4.2] 判断级数
在
上的一致收敛性。
[解] 因为
,所以
而正项级数
是收敛的
-级数,故所讨论的函数项级数在区间
上是一致收敛的。
7.4.3 和函数的分析性质
[定理4.3] 若函数项级数
在区间
上一致收敛于和函数
,且级数的每一项
都在
上连续,则和函数
也连续。
[证明] 任意取
,由于
在
上一致收敛,对任意给定的
,存在自然数
,使得对任意的
,有
(4.4)
由于级数的每一项均在
上连续,部分和
也在
上连续,特别是在
处连续,所以,存在
,使当
时,有
由式(4.4)和式(4.5),得
这就证明了
在
处连续的。由
的任意性可知,
在区间
上连续。
[定理4.4] 若函数序列
在区间
上一致收敛于函数
,且每一个
都是在
上连续,则
在
上也连续。
注:极限函数(级数的和)不连续,常常是判断不一致收敛的简单方法。
如在区间
上连续函数列
收敛于不连续的函数
,所以必然是不一致收敛。
[例4.3]
在
上不一致收敛。
[证明] 因为当
时,级数的和为零;当
时,
可见,
。而
在
上连续,所以级数
在
上不能一致收敛。
[定理4.5] 若函数项级数
在区间
上一致收敛于和函数
,且级数的每一项
都在区间
上连续,则和函数可积,且可逐项积分,即
(4.6)
[证明] 由定理4.3知,
在
上连续,因而可积。由于
只需证明
(4.7)
注意到级数一致收敛,对
当
时,对所有的
,
有
因而
这就证明了式(4.7)。
[定理4.6] 设
在区间
上一致收敛于
,且每一个
都是在
上连续,则
在
上可积,并且可以逐项积分,即
(4.8)
[定理4.7] 设级数
在区间
上处处收敛于和函数
,如果它的各项
都在
上又连续的导数,并且有导函数
所组成的级数在
上一致收敛,则和函数
在
上可微。并且可以逐项微分,即
(4.9)
[证明] 设
取
,由式(4.6)得
但
,这就是说,
根据定理4.3,
在
上连续,所以
[定理4.8] 若函数序列
在区间
上处处收敛于函数
,且每一个
都在
上有连续的导数
,又
在
上一致收敛,则极限函数
在
上可微,并且
注:逐项求导后的级数的一致收敛性,是不能由原级数的一致收敛性代替的。
例如,级数
因为
,级数
收敛,由
判别法知,级数
在任何区间上都是一致收敛的。
但逐项积分后的级数
因其通项不趋于零,所以级数的收敛域为空集。因此,原级数不可能逐项微分。
注:1)求极限、求积分和求导数都可以与求和交换次序。因为求积分、求导数和求和也是一个极限问题。
2)一致收敛仅是求极限、求积分和求导数能与求和交换次序结论成立的充分条件,而不是必要条件。
[例4.4] 设
则每个
都是
上的连续函数。他的图形是一根折线(图4.3),在
处达到最高点,此时,
。
容易证明,
在
上处处收敛于零。因此,极限函数是
上的连续函数。但
在
上不一致收敛于零。为证明这一点,取
,则
。
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