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教育]圆的方程;空间两点的距离公式
【同步教育信息】
一. 本周教学内容:
圆的方程;空间两点的距离公式
教学目的:
1. 理解并掌握圆的
标准
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方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径;能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题;探索并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。
2. 能够根据给定直线、圆的方程，会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系;能够根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系。
3. 掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标;掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。
二. 重点、难点
重点:
1. 圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准方程;圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长，理解关于二元二次方程
表
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示圆的条件。
2. 直线和圆的位置关系的判断和应用;两圆位置关系的判断。
3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标;空间两点距离公式。
难点:
1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。
2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系;通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。
3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标;空间距离公式的推导。
知识分析:
(一)圆的标准方程
1. 圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。
222()()xaybr,，,, 2. 圆的标准方程:已知圆心为(a，b)，半径为r，则圆的方程为。
说明:
(1)上式称为圆的标准方程。
222xyr，, (2)如果圆心在坐标原点，这时a,0，b,0，圆的方程就是。
(3)圆的标准方程显示了圆心为(a，b)，半径为r这一几何性质，即
222()()xaybr,，,,,圆心为(a，b)，半径为r。
(4)确定圆的条件
由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定(因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。
(5)点与圆的位置关系的判定
若点M(x，y)在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即 11
222()()xaybr,，,, ;
若点M(x，y)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即 11
222()()xaybr,，,, ;
3. 几种特殊位置的圆的方程
条件 方程形式 222xyrr，,,()0圆心在原点
2222()()xaybab,，,,，过原点 22()ab，,0 222()()xayrr,，,,0圆心在x轴上 222xybrr，,,,()()0圆心在y轴上 222()()xayaa,，,,0圆心在x轴上且过原点 222xybbb，,,,()()0圆心在y轴上且过原点 222()()()xaybbb,，,,,0与x轴相切 222()()()xaybaa,，,,,0与y轴相切 222()()(||||)xaybaab,，,,,,0
与两坐标轴都相切
(二)圆的一般方程
任何一个圆的方程都可以写成下面的形式:
22xyDxEyF，，，，,0 ?
将?配方得:
22DEDEF，,422()()x，，，,y224 ?
DE122,,，DEF，,422222DEF，,,40 当时，方程?表示以()为圆心，以为半径的圆;
DEx,,,,，y2222DEF，,,40 当时，方程?只有实数解，所以表示一个点
DE,,，22();
22DEF，,,40 当时，方程?没有实数解，因此它不表示任何图形。
22DEF，,,40 故当时，方程?表示一个圆，方程?叫做圆的一般方程。
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点:
22yx (1)和的系数相同，且不等于0;
(2)没有xy这样的二次项。
22AxBxyCyDxEyF，，，，，,0 以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。
要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了。
(三)直线和圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系
研究直线与圆的位置关系有两种方法:
(l)几何法:令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。
,,, d>r直线与圆相离;d,r直线与圆相切;0?d
试题
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】
1、点(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A. y轴上 B. xOy平面上 C. xOz平面上 D. 第一卦限内
2、点M(2，,3，1)关于坐标原点的对称点是( ) A. (,2，3，,1) B. (,2，,3，,1) C. (2，,3，,1) D. (,2，3，1) 3、设点B是点A(2，,3，5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于( )
3810A. 10 B. C. D. 38
22lxy:30，,,(3)(2)2xy,，，,4、设有圆M:，直线，点P(2，1)，那么( )
A. 点P在直线l上，但不在圆M上 B. 点P不在直线l上，但在圆M上
C. 点P在直线l上，也在圆M上 D. 点P既不在直线l上，也不在圆M上
223420xy，,,(5)(3)9xy,，,,5、设M是圆上的点，则M到直线的最小距离是( )
A. 9 B. 8 C. 5 D. 2
222xyaxayaa，，，，，,,22106、方程表示圆，则a的取值范围是( )
22aa,,,2或,,,a033A. B.
2,,,2a,,,20a3C. D.
22xyxy，,,，,821007、过点P(3，0)能有多少条直线与圆相切( )
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条
22xy,，,40(2)(2)2xy，，,,8、直线被圆截得的弦长等于( )
22242A. B. 2 C. D.
22xy，,,10xyxy，,,,,22609、直线被圆所截得线段的中点坐标是( )
111331,,,,,,,,,,,,,,,224444,,,,,,A. B. (0，0) C. D.
2222xy，,4xyxy，，,，,4440ll10、若圆和圆关于直线对称，那么直线的方程是( )
xy，，,20xy，,,20A. B.
xy,,,20xy,，,20C. D. 11、与两坐标轴都相切，且过点(2，1)的圆的方程是____________________
)，(1，0)，(0，2)的圆的方程是__________________________12、过点(0，0
y,222xy，,1x,113、若实数x ，y满足，则的最小值为__________________
2222xyxy，，,,,4240xy，14、已知，则的最大值为__________________
210xy,，,15、一圆过点P(,4，3)，圆心在直线上且半径为5，求此圆的方程。
22y,0xyxy，,,,,424016、求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程。
17、已知圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;
5
lxy:20,,5(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3?1;圆心到直线的距离为，求该圆的方程。
【试题答案】
1,10:C A A A D D A C A D
2222(1)(1)1(5)(5)25xyxy,，,,,，,,或11、
15322()(1)xy,，,,35，42412、 13、 14、
22()()25xayb,，,,15、设此圆的方程为，
,210ab,，,,,22(4)(3)25,,，,,ab,, 依题意，得:
aa,,,11,,或,,bb,,,31,, 解得:
2222(1)(3)25xy,，,,(1)(1)25xy，，，, 所以所求圆的方程为或
22()()16xayb,，,,16、设此圆的方程为， 因为所求圆的半径是4，大于已知圆的半径，所以两圆只能外切，
,||4b,,,22(2)(1)7ab,，,,,, 依题意，得:，
,,,,a=2+210a=2-210aa,，,,226226,,,,或或或,,,,b=4bbb,,,,,444,,,,,,,,解得:
所以所求圆的方程是
2222(2210)(4)16xy,,，,,(2210)(4)16xy,，，,, 或
2222(226)(4)16xy,,，，,(226)(4)16xy,，，，,或或
17、设?P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，由
2题设知?P截x轴所得劣弧所对圆心角为90?，知?P截x轴所得的弦长为r，故2|b|,
222r，得:r=2b
2222又?P被y轴解得的弦长为2，由勾股定理得:r,a，1，得:2b,a,1。
|2|5ab,5d,,555又因为P(a,b)到直线x,2y,0的距离为，得:，即有ab,,,21。
2222,,2121baba,,,,,,或,,abab,,,,2121,,,,, 综前述得:
aa,,,11,,或,,22bb,,,11,, 解得:，于是r,2b,2
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遭窃的罗斯福
罗斯福还未当上美国总统之前，家中遭窃，朋友写信安慰他。罗斯福回信说:“谢谢你的来信，我现在心中很平静，因为:第一、窃贼只偷去我的财物，并没有伤害我的生命。第二、窃贼只偷走部分的东西，而非全部。第三、最值得庆幸的是:做贼的是他，而不是我。”
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