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(同济6版)》练习题参考答案--第七章 微分方程
第七章 微分方程—练习题参考答案 一、填空题
y2x,,,,1. 三阶; 2. ; 3. ; 4. ; y,3y，2y,0ln2,ey,,1x
x,2xce，ce5. ; 错误 、错误、错误、正确. 126.
、选择题 二
1-5:ACDCB; 6-8: CCB;
三、计算与应用题
ydyxdx, 1、(1)解:变量分离得，， 22y，1x,1
11122两边积分得，， ln(y，1),ln(x,1)，lnc222
22y，1,c(x,1)从而方程通解为 .
dyyy(2)解:整理得，,ln，可见该方程是齐次方程， dxxx
dyduduyy,xu,u，x令，即，则，代入方程得，， ,uu，x,ulnudxdxxdx
dudx,变量分离得，，积分得，， ln(lnu,1),lnx，lncu(lnu,1)x
ycx，1y,xe所以原方程的通解为，或写为. ln,1,cxx
1x,(3)解:整理得，，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为 y，y,ex
11,dxdx11,,xxxxxxy,e(eedx，c),(xedx，c),(xe,e，c). ,,xx
dy11，y,(4)解:整理得，，这是一阶线性方程，利用公式得通解为 dxxlnxx
112,dxdx11lnx1lnx,,xlnxxlnxy,e(edx，c),(dx，c),(，c)， ,,xlnxxlnx2
111代入初始条件得，从而所求特解为. c,y,1y,(lnx，)x,e22lnx
1,(5)解:将方程两边逐次积分得，， y,dx,arctanx，c12,1，x
12， y,(arctanx，c)dx,xarctanx,ln(1，x)，cx，c112,2
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《高等数学(同济6版)》练习题参考答案--第七章 微分方程
12即原方程通解为. y,xarctanx,ln(1，x)，cx，c122
,,,,y(6)解:方程中不显含未知函数，所以可令，则，代入方程得， y,p(x)y,p(x),，这是一阶线性方程，其通解为 p,p,x
1dx,dxx,xx,x,xx,,， p,e(xedx，c),e(xedx，c),e(,xe,e，c),,x,1，ce1111,,
1x2x,y,,x,1，ce从而，两边积分得原方程通解为 yxxcec. ,,,，，1122
x,2、解:将两边对求导并整理得，，这是一阶线性微分方程，xf(x),f(x),1f(x),x，f(u)du,0
所以
dx,dx1x,xx,x,,， f(x),e(edx，c),e(edx，c),e(,e，c),,
x又由可知，从而， f(0),0f(x),x，f(u)duc,1,0
xf(x),e,1所以所求.
,,,y(x),y(x),y(x)3、证明:因为都是方程的特解， y，P(x)y，Q(x)y,f(x)123
,,,y,yy,y所以和都是方程y，P(x)y，Q(x)y,f(x)对应齐次方程的解， 2312
y,y12y,yy,y又因不恒等于常数，所以和线性无关， 2312y,y23
Y,c(y,y)，c(y,y)从而对应齐次方程的通解为， 112223
,c(y,y)，c(y,y)，yy,Y，y所以原方程的通解为， 11222311
y,(1，c)y，(c,c)y,cy即. 1121223
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