全国通用版2019版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系优选学案2
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
考纲要求 考情
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
命题趋势
2017?天津
卷，2
1.判断命题的真假( 2017?浙江1.理解命题的概念( 2(写出一个命题的逆命题、否命题、2(了解“若p，则q”卷，6
逆否命题等( 形式的命题及其逆命题、否2017?北京
3(常以函数、不等式等知识为载体，命题与逆否命题，会分析四卷，7
考查一个命题是另一个命题的什么条件( 2016?四川种命题的相互关系( 4(求一个命题的充要条件、充分不必3(理解必要条件、充分卷，2
要条件、必要不充分条件，或已知充要条条件与充要条件的含义. 2016?山东
件求参数的取值范围等. 卷，5
分值:5分
1(命题的概念
在数学中用语言、符号或式子
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中__
判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题(
2(四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
若原命题为:若p，则q，则逆命题为__若q，则p__，否命题为__若?p，则?q__，逆否
命题为__若?q，则?p__.
(2)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有__相同__的真假性;
两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__没有关系__. 3(充分条件与必要条件
(1)若p?q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件( (2)若p?q，且q?/ p，则p是q的__充分不必要__条件(
(3)若p?/ q，且q?p，则p是q的__必要不充分__条件(
(4)若p?q，则p是q的__充要__条件(
(5)若p?/ q，且q?/ p，则p是q的__既不充分也不必要__条件(
1
(6)若p是q的充分不必要条件，则?q是?p的__充分不必要__条件( 4(用集合关系判断充分条件、必要条件
以p:x?A，q:x?B的形式出现(
(1)若p是q的充分条件，则A__?__B(
(2)若p是q的必要条件，则B__?__A(
(3)若p是q的充分不必要条件，则A__ __B(
(4)若p是q的必要不充分条件，则B__ __A(
(5)若p是q的充要条件，则A__,__B(
(6)若p是q的既不充分也不必要条件，则A__ __B且B__ __A(
1(思维辨析(在括号内打“?”或“×”)(
2(1)语句x,3x，2,0是命题(( × )
(2)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假性没有关系(( × ) (3)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”(( ? )
(4)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相
× ) 同((
解析 (1)错误(无法判断真假，故不是命题(
(2)错误(一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同( (3)正确(一个命题与其逆否命题等价(
(4)错误(“p是q的充分不必要条件”即为“p?q且q?/ p”，“p的充分不必要条
件是q”即为“q?p且p?/ q ”.
2(下列命题为真命题的是( A )
112A(若,，则x,y B(若x,1，则x,1 xy
22C(若x,y，则x,y D(若x
1”的否命题 (命题“若x>1，则x
B(命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
2C(命题“若x,1，则x，x,2,0”的否命题
2D(命题“若x>1，则x>1”的逆否命题
x(4)已知命题“若函数f(x),e,mx在(0，，?)上是增函数，则m?1”，则下列结论正确的是( D )
xA(否命题是“若函数f(x),e,mx在(0，，?)上是减函数，则m>1”，是真命题
xB(逆命题是“若m?1，则函数f(x),e,mx在(0，，?)上是增函数”，是假命题
xC(逆否命题是“若>1，则函数(),e,在(0，，?)上是减函数”，是真命题 mfxmx
xD(逆否命题是“若m>1，则函数f(x),e,mx在(0，，?)上不是增函数”，是真命题
22解析 (1)命题p:若x<,3，则x,2x,8>0的逆命题为:若x,2x,8>0，则x<,3，
22A项错误;命题:若<,3，则,8>0的否命题为:若?,3，则,8?0，B，pxx,2xxx,2x
2C项错误;命题p:若x<,3，则x,2x,8>0是真命题，则命题p的逆否命题是真命题(故选D(
(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可(由x,y,0知x,0且y,0，其否定是x?0或y?0.
22(3)对于A项，否命题为“若x?1，则x?1”，易知当x,,2时，x,4>1，故A项为假命题;对于B项，逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知B项为真命题;对于C项，
22否命题为“若x?1，则x，x,2?0”，易知当x,,2时，x，x,2,0，故C项为假命题;
22对于D项，逆否命题为“若x?1，则x?1”，易知当x,,2时，x,4>1，故D项为假命题(
xx(4)因为f(x),e,mx在(0，，?)上是增函数，则f′(x),e,m?0恒成立，所以m?1，
x所以命题“若函数f(x),e,mx在(0，，?)上是增函数，则m?1”是真命题，所以其逆否命题是真命题(
二 充分、必要条件的判断
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据p?q，q?p进行判断(
(2)集合法:根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断(
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命
4
题进行判断(这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法(
??q是?p的充分不必要条件?p是q的充分不必要条件;??q是?p的必要不充分条件?p是q的必要不充分条件;??q是?p的充要条件?p是q的充要条件(
【例2】 (1)(2017?浙江卷)已知等差数列{a}的公差为d，前n项和为S，则“d>0”nn是“，>2”SSS的( C ) 465
A(充分不必要条件
B(必要不充分条件
C(充分必要条件
D(既不充分也不必要条件
(2)(2017?北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m,λn”是“m?n<0”的( A )
A(充分而不必要条件
B(必要而不充分条件
C(充分必要条件
D(既不充分也不必要条件
解析 (1)因为{}为等差数列，，6,102aS，S,4a，6da，15da，21d,S,10a，n461115120d，S，S,2S,d，所以d>0?S，S>2S.故选C( 465465
(2)对于非零向量m，n，若存在负数λ，使得m,λn，则m，n互为相反向量，则m?n<0，满足充分性;而m?n<0包含向量m，n互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况，故由m?n<0推不出m，n互为相反向量，所以不满足必要性(所以“存在负数λ，使得m,λn”是“m?n<0”的充分而不必要条件(故选A(
三 充分条件、必要条件的应用
充分条件、必要条件的应用的注意点
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上(解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(
(2)区间端点值的检验(
22【例3】 (1)已知条件p:|x,4|?6;条件q:(x,1),m?0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( B )
A([21，，?) B([9，，?)
C([19，，?) D((0，，?)
2(2)已知P,{x|x,8x,20?0}，非空集合S,{x|1,m?x?1，m}(若x?P是x?S的必要条件，则m的取值范围为__[0,3]__.
5
解析 (1)条件p:,2?x?10，条件q:1,m?x?m，1，又p是q的充分不必要条件，,1,m?,2，,,故有m?9. 解得 ,1，m?10，,
2(2)由x,8x,20?0，得,2?x?10，所以P,{x|,2?x?10}，
由x?P是x?S的必要条件，知S?P，又集合S非空，
1,m?1，m，,,1,m?,2，则m?3，所以当0?m?3时，x?P是x?S的必要条件，所以0?, ,1，m?10，,
即所求m的取值范围是[0,3](
221(“直线y,x，b与圆x，y,1相交”是“03(t,1)”是“x，3x,4<0”成立的必要不充分条件，则实数t的取
6
值范围为__(,?，,7]?[1，，?)__.
2解析 设P,{x|(x,t)>3(x,t)},{x|(x,t)(x,t,3)>0},{x|xt，3}，Q
2,{x|x，3x,4<0},{x|(x，4)(x,1)<0},{x|,43，,,
答案 (2,3]
【跟踪训练1】 已知条件甲:a，b?4，条件乙:a?1且b?3，则甲是乙的__既不充分也不必要__条件(
解析 直接看甲、乙之间的推出关系易产生错误(由逆否命题与原命题的等价性可转化为判断“a,1或b,3”是“a，b,4”的什么条件(易知应为既不充分也不必要条件(
课时达标 第2讲
[解密考纲]考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义，与高中所学知识交汇考查，常以选择题、填空题的形式呈现，考卷中常排在靠前的位置(
一、选择题
21((2016?上海卷)设a?R，则“a>1”是“a>1”的( A )
A(充分非必要条件 B(必要非充分条件
C(充要条件 D(既非充分也非必要条件
22解析 当a>1时，a>1;当a>1时，a>1或a<,1.故选A(
2(原命题为“?ABC中，若cos A<0，则?ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( B )
A(真、真、真 B(假、假、真
7
C(真、真、假 D(真、假、假
解析 因为cos A<0,00，所以逆命题为假，从而否命题也为假(故选B(
3，表示空间中的两条直线，若，是异面直线，，不相交，则((llp:llq:ll A ) 121212
A(p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B(p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C(p是q的充要条件
D(p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析 两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交;而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件(故选A(
24((2018?河北邯郸二中期中)已知命题p:(x,3)(x，1),0，命题q:x,2x，1,0，则命题是命题的( A ) pq
A(充分不必要条件 B(必要不充分条件
C(充要条件 D(既不充分也不必要条件
2解析 由:(,3)(，1)>0，得<,1或>3，由命题:，1>0，解得?1，pxxxxqx,2xx由于p?q成立，q?p不成立，即命题p是命题q的充分不必要条件(故选A(
5(A,{x||x,1|?1，x?R}，B,{x|logx,1，x?R}，则“x?A”是“x?B”的( B ) 2
A(充分不必要条件 B(必要不充分条件
C(充要条件 D(既不充分也不必要条件
解析 由已知得A,(,?，0]?[2，，?)，B,(2，，?)，若“x?B”，则必有“x?A”，反之不成立，即得“x?A”是“x?B”的必要不充分条件(故选B(
6(下列四个选项中错误的是( B )
22A(命题“若x?1，则x,3x，2?0”的逆否命题是“若x,3x，2,0，则x,1”
B(若p?q为真命题，则p，q均为真命题
22C(若命题p:?x?R，x，x，1?0，则?p:?x?R，x，x，1,0 000
2D(“x,2”是“x,3x，2,0”的充分不必要条件
解析 对于A项，显然是正确的;对于B项，根据复合命题的真值表知，有p真q假、p假q真、p真q真三种情况，故B项是错误的;对于C项，由全称命题的否定形式知C项
2是正确的;对于D项，x,3x，2>0的解是x>2或x<1，故D项是正确的(
二、填空题
117(已知命题p:若a>b>0，则logab>0，?logab>0， 22
11?a,2，b,2时，loga0，得x>a，即B,(a，，?)，若“x?A”是“x?B”的充分条件，则A?B，则a?,3.
9(能够说明“设a，b，c是任意实数，若a,b,c，则a，b,c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为__,1，,2，,3(答案不唯一)__.
解析 取,,1，,,2，,,3，满足>>，但，,,3,，不满足，>，abcabcabcabc故“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a，b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为,1，,2，,3.
三、解答题
210((2018?山东邹平月考)写出“若x,2，则x,5x，6,0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假(
22解析 逆命题:若x,5x，6,0，则x,2，是假命题;否命题:若x?2，则x,5x，6?0，
2是假命题;逆否命题:若x,5x，6?0，则x?2，是真命题(
2x11(已知函数f(x),lg(x,2x,3)的定义域为集合A，函数g(x),2,a(x?2)的值域为集合B(
(1)求集合A，B;
(2)已知命题p:m?A，命题q:m?B，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围(
2解析 (1)A,{x|x,2x,3,0},{x|(x,3)(x，1),0},{x|x,,1或x,3}，B,{y|y
x,2,a，x?2},{y|,a,y?4,a}(
(2)??p是?q的充分不必要条件，
?q是p的充分不必要条件，?B A，
?4,a<,1或,a?3，?a?,3或a>5，
即实数a的取值范围是(,?，,3]?(5，，?)(
9
22412(已知p:x,8x,20?0，q:x,2x，1,m?0. (1)若p是q的必要条件，求m的取值范围; (2)若?p是?q的必要不充分条件，求m的取值范围(
2解析 由x,8x,20?0，得,2?x?10，
22即?. p:,2?x?10，q:1,mx?1，m
(1)若p是q的必要条件，
22,,1,m?,2，m?3，,,2,,则m?3，解得,3?m?3. 即即22 1，,m?10，m?9，,,,
故m的取值范围是[,3，3](
(2)??p是?q的必要不充分条件，
?q是p的必要不充分条件，
2,1,m?,2，,2,即m?9，解得m?3或m?,3. 即2 1，?10，,m,
故m的取值范围是(,?，,3]?[3，，?)(
10
浙公网安备 33021202002483