构造函数法在解题中的应用_数学论文

构造函数法在解题中的应用_数学 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 构造函数法在解题中的应用_数学论文 构造函数法在解题中的应用_数学论文 摘要:函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。本文就构造函数这一 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。 关键词:函数思想;构造函数;不等式;方程;应用 函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。 函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。 根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。 一、构造函数解决有关不等式的问题 有些不等式证明和比较大小的问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，去分析推理，证明过程就会简洁又明快。 例1:若 ，则 的大小关系是 。 分析:式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造函数 进行判断。 解:构造函数 ，易证函数 在其区间 是单调递增函数。 例2(2008年山东理):已知函数 其中 为常数。当 时，证明:对任意的正整数 ，当 时，有 证法一:因为 ，所以 。 当 为偶数时，令 则 ( )所以 当 时， 单调递增。又 ，因此 恒成立，所以 成立。当 为奇数时，要证 ，由于 ，所以只需证 ，令 ，则 ( )，所以，当 时， 单调递增，又 ，所以当 时，恒有 ，即 命题成立。 综上所述，结论成立。 证法二:当 时， ，当 时，对任意的正整数 ，恒有 ，故只需证明 。令 则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，因此 当 时， ，即 成立。故 当 时，有 ，即 。 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 分析:第二问需要对构造的新函数 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断。 评注:函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用。函数与不等式之间如同一对孪生兄弟，通过对不等式结构特征的分析，来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效果。此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性。 二、构造函数解决数列中的有关问题 数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 的理解,加强知识点间的联系. 例3:在等差数列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ?q) , 求 Sp+q 的值。 略解:因为 是n的一次函数，点( n , ) 共线，所以点 (p , ) , ( q , ) , ( p + q , ) 共线， 则有 化简即得 Sp+q = ,( p + q ) 。 例4:等差数列{ }的首项 ,前 项的和为 ,若 ,问 为何值时 最大? 简析:运用数列中的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决。 解:依题意,设此函数是以 为自变量的二次函数。 故二次函数 的图象开口向下当 时, 最大,但 中, 当 为偶数时, 时, 最大当 为奇数时, 时, 最大。 三、构造函数解决方程有解、无解及若干个解的问题 方程有解、无解问题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域，或直接构造函数。 例5(2010上海文科数学):若 是方程式 的解，则 属于区间() A. (0，1) B.(1，1.25) C.(1.25，1.75) D.(1.75，2) 解析: 知 属于区间(1.75，2) 例6(2010天津文科数学):设函数f(x)=x- ,对任意 恒成立，则实数m的取值范围是________。答案:m-1 解析:本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。 已知f(x)为增函数且m?0， 若m>0，由复合函数的单调性可知 和 均为增函数，此时不符合题意。 M0，时有 因为 在 上的最小值为2，所以1+ 即 >1,解得m-1。 点评:本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量。 例7:已知函数 ，是否存在实数 ，使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点，若存在，求出 的取值范围，若不存在，说明理由。 解:函数 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点，即构造函数。的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当 时， 是增函数; 当 时， 是减函数;当 时， 是增函数; 当 或 时， 当 充分接近0时， 当 充分大时， 要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须所以存在 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的交点。 四、构造函数解决几何问题 在几何问题中, 我们往往会遇到求夹角的最值和求线段的最短(长)距离等问题，如果仅从几何方面去思考,往往使问题难以解决, 倘若能够灵活地运用构造函数方法, 从而使几何问题“柳暗花明”。 例8(2010福建文科数学):若点O和点F分别为椭圆 的中心和左 焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为 A(2 B(3 C(6 D(8 解析:由题意，F(-1，0)，设点P ，则有 ,解得 ，因为 ， ，所 以= = ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，选C。 从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，函数思 想的应用想当广泛，但这些方面都涉及到最基础知识，只要在学习中 扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不 断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从 而收到事半功倍的效果。 参考文献: [1]郭静莉.构造函数法在高等数学解题中的应用[J].赤峰学院学报 (科学教育版)，2011(2). [2]李智. 浅谈高等数学解题中构造函数法的应用[J].科技资讯， 2008(16). Abstract: Functional idea is an organic ingredient in mathematics idea and it is widely used in mathematics problem-solving. This paper analyzes the application of constructed function approach in inequality, progression, the existence of the solution and constant established. Key words: functional idea constructed function inequality equation application