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圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围).doc

圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)

兔女郎滨江大道东
2017-09-30 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)doc》,可适用于战略管理领域

圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)圆锥曲线专题求离心率的值师生互动环节讲课内容:历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。策略一:根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中如果能求出的值可以直接代公式求离心率如果不能得到a、ca、ccbcb的值也可以通过整体法求离心率:椭圆中双曲线中所以只e,,,e,,aaaab要求出值即可求离心率axy,,ab,,例(年全国卷)己知斜率为的直线与双曲线:相交于lCabBDB、D两点且的中点为求曲线的离心率M(,)C解析:如图设则B(x,y)、D(x,y)xy,,???abxy,,???ab(x,x)(xx)(y,y)(yy)整理得,,???abBD又因为为的中点则且x,x代入得xx,,yy,M(,)by,ybb解得所以e,,,k,,,,BDax,xaabb方法点拨:此题通过点差法建立了关于斜率与的关系解得的值从而整体代入求出离aa心率当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程根据韦达定理可得exx,,(a,b)b或者从而解出的值最后求得离心率yy,,(a,b),(a,b),,(a,b),a【同类题型强化训练】(呼市二中模拟)已知中心在原点焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为则x,y,双曲线的离心率为()ABCD(衡水中学模拟)已知中心在原点焦点在x轴上的一椭圆与圆交于(x,)(y,),rABABA、Bk,,两点恰是该圆的直径且直线的斜率求椭圆的离心率xPC:,y,(m,)(母题)已知双曲线双曲线上一动点到两条渐近线的距离乘积为m求曲线的离心率C【强化训练答案】x答案:由双曲线焦点在上则渐近线方程又题设条件中的渐近线方程为bx,ay,bb,比较可得则e,,,x,y,aaxy,(a,b,)答案:设椭圆方程为则A(x,y),B(x,y)abxyxy,???,???abab(x,x)(xx)(y,y)(yy)整理得,???abABAB因为恰是该圆的直径故的中点为圆心且x,x(,)y,yb则代入式整理得xx,,yy,k,,,x,xabbABk,,,,k,,直线的斜率所以解得,aacb所以离心率e,,,,,,aa答案:曲线的渐近线方程分别为和设则l:xmy,l:x,my,P(x,y)Cxmy点到直线l的距离P(x,y)d,mx,my到直线l的距离点P(x,y)d,mxmy,x,myx,myd,d,,mmmm,x,my,m因为在曲线上所以故d,d,,解得P(x,y)Cm所以e,a,c策略二:构造的关系式求离心率根据题设条件借助之间的关系沟通的关系(特别是齐次式)进而得到关a、ca,b,cee于的一元方程从而解方程得出离心率xy,,(a,,b,)FF例已知是双曲线的两焦点以线段为边作正三角形F,FabMF若边的中点在双曲线上求双曲线的离心率MFFPc,MF解析:如图的中点为则点的横坐标为PP由PF,FF,cPF,,ex,a焦半径公式pcc有c,,(,),aa即c,a,ac,有e,e,,解得或(舍去)e,e,,ca,ce,方法点拨:此题根据条件构造关于的齐次式通过齐次式结合离心率的定义整理成a关于e的一元方程从而解出离心率的值注意解出的结果要做验证取符合离心率的范围的结果:e,(,),e,(,,)椭圆双曲线【同类题型强化训练】A(新课标)已知直线过双曲线的一个焦点且与的对称轴垂直与交于、lCClCB两点为的实轴长的倍则的离心率为()||ABCCABCDxy,,(浙江)若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为:,则双曲线的ab离心率是()ABCD【同类题型强化训练答案】c,aAB,,a答案:依据题意解得e,aaac(c):(c,),:答案:依据题意整理得所以e,,c,acca策略三:根据圆锥曲线的统一定义求离心率(第二定义)由圆锥曲线的第二定义知离心率是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比适eMF,e用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题即dxyCab:(),,,例(年辽宁卷)设椭圆的左焦点为过点的直线与椭圆FFCab相交于两点直线的倾斜角为,,求椭圆的离心率A,BAFFB,lC:,,,,,,,ABBBABAB解法一:作椭圆的左准线,过作的垂线垂足为过作的垂线垂足为AB,MAA过作的垂线垂足为如图B由图由椭圆的第二定义则BFBFAFAF,e,,,BB,,AA,,e,BB,eeAAAFBF,,,,AA:BB,:,,AA,BBee,,MAABM,AA且,所以是的中点BAM,AFx,:又因为直线的倾斜角为即l:AFAB,AB,AM,AARt,BAM所以在中,故e,,,,,AAABy,y,AxyBxy(,),(,)解法二:设由题意知cab,,yxc,,()直线的方程为其中l,yxc,,(),,联立得()abybcyb,,,xy,,ab,,,,()()bcabcayy,,,解得abab因为所以,,yyAFFB,()()bcabca,,,,即ababc得离心率e,,a方法点拨:该题对于课标地区选择第二种代数法处理对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区两种方法都可以给学生讲讲。对于方法一:需要清晰的思路敏捷的思维对计算要求不高对于方法二:对学生的计算能力有较高的要求重在计算。【同类题型强化训练】xyFCab:(),,,(全国卷二)已知椭圆的离心率为过右焦点且斜率为kk(),abAB、的直线与相交于两点(若则()AFFB,Ck,ABCDBF已知是椭圆的一个焦点是短轴的一个端点线段的延长线交于点且FBDCC则的离心率为BF,FDC【强化训练答案】,,,,AABBA、BA、Be答案:设直线为椭圆的右准线为离心率过分别作,垂直于ll,MBEAA为垂足过作垂直于与如图所示B由椭圆第二定义则AFBFBF,,,AA,BB,AA,,由,得AF,FBeeeAEBF所以cosBAE,,,,ABeBFetanBAE,,,所以故选k,BcosBAE||BFbca,,答案:方法一:如图,||||OFBF,,D,,作轴于点,则由得,所以,DDy,BF,FD||||DDOFc,,,||||DDBDaccc||()FDea,,,,即,由椭圆的第二定义得x,Dcacca,,又由,得,整理得||||BFFD,caac,,ae,两边都除以,得,解得ae,,()舍去或ee,,FBD方法二:设椭圆方程为:第一标准形式分线段所成的比为yb,xby,,bbc带入xxxcyy,,,,,,,,,,ccccb,,e,ab课时、离心率的取值范围一、师生互动环节讲课内容:历年高考或模拟试题关于离心率的取值范围问题分类精析与方法归纳点拨。策略一:利用曲线中变量的范围求离心率的范围xy,,,()ab用曲线中变量的范围在椭圆中在双曲线中,a,x,aabxy,,,,(),ab中或x,,ax,aabxy,,,()ab例设椭圆的左、右焦点分别为如果椭圆上存在点使FF、Pab,:FPFe求离心率的取值范围解析:设又知则P(x,y)FcFc(,())FP,(xc,y)FP,(x,c,y),:FPFFP,FP因为则即FP,FP,(xc)(x,c)y,所以xy,c,xy,acab,,联立方程消解得x,yab,ab,,,xyc,acab,,:FPF即,,a又因为故,x,aab,解不等式结合椭圆的离心率范围为可得e,(,)e,)x方法点拨:由题知根据限制条件用表示即然后代入不等,a,x,aa,b,cx,,(a,b,c)a,c式结合整理得关于的齐次不等式从而求出离心率的取值,a,,(a,b,c),aa,bc范围当然此题解决的办法绝不止这一种根据几何关系或基本不等式等都能很好的解决【同类题型强化训练】xy,FFab,,(湖南)设分别是椭圆()的左、右焦点若在其右准线abPFFP,上存在点使线段的中垂线过点则椭圆离心率的取值范围是(),,,,ABCD,,,,,,,,,,,,,,,,xyP,,(福建)双曲线的两个焦点为,若为其上一点且F、F(a,,b,)abPF,PF,则双曲线离心率的取值范围为(),,,(,)(,,)ABCD,,xyF,,,,()ab(四川)椭圆的右焦点其右准线与轴的交点为A在椭圆xabF上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点则椭圆离心率的取值范围是(),,,,,,,ABCD,,,,,,,,,,【强化训练答案】答案:如图,aAF,,c,cPFFFF,FF,AF因为线段的中垂线过点则ae,,,)PF,FF,cc,,c,即解得c,e,又椭圆的离心率综上e,(,),,,,答案:P(x,y)F、F分别为左右焦点设在双曲线的右支上则PF,exa,PF,ex,aaPF,PFx,exa,(ex,a)由则解得ea因为在双曲线的右支上则即解得,a,e,x,aP(x,y)ePFAP答案:由题意椭圆上存在点使得线段的垂直平分线过点FPA即点到点与点的距离相等abFAc,,,PF,a,c,ac而ccb于是即,a,c,accc,,,,ac,c,a,c,,a,又故e,,)e,(,),,cc,a,c,acc,,,,,或,aa,策略二:正、余弦定理在求离心率范围问题中的应用xyM,(a,b,)例已知为椭圆的焦点为椭圆上一点则椭F、FFMF,:,ab圆的离心率的范围为M解析:如图,为椭圆上一点设则M(x,y)MF,aex,MF,a,ex在中由余弦定理则,MFFMFMF,FFMFMF,a??cos:,,??MF,MFc,ax,,,x,a联立解得因为在椭圆中则ec,a,,ae,,)解不等式得e方法点拨:根据正、余弦定理结合椭圆的焦半径公式用a,c表示x即根据变x,,(a,c)M量解出离心率但是此题要构成故点不能在轴上所以此题x,MFF,a,,(a,c),a结合椭圆的范围可求出离心率的范围,a,,(a,c),ae,(,)【自我评价】xyP,(a,b,)已知椭圆的左右焦点分别为若椭圆上存在点使F(,c,)、F(c,)abac,则该椭圆离心率的取值范围为sinPFFsinPFF(衡水调研卷)从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形其面积的取b值范围是则椭圆离心率的取值范围是b,bxy,,,()ab椭圆的焦点为两条准线与轴的交点分别为若MNFFxabMNFF,则该椭圆离心率的取值范围是(),,,,ABCD,,,,,,,,,,,,,,【自我评价答案】答案:如图在中由正弦定理则,FPFPFPFPFsinPFF,,,sinPFFsinPFFsinPFFPFacsinPFFa,,,又sinPFFsinPFFsinPFFcPFaa,exa(ac,a)所以且则,a,x,a,,,x,cPFaexaccaac,a(),a,,a解不等式得或(舍去)e,,e,,,acc又椭圆的离心率综上所述e,(,,)e,(,)xy,(a,b,)答案:设椭圆的标准方程为abx,acos,,,在第一象限内取点由椭圆的参数方程知(x,y)(,,),,y,bsin,,bsin,则椭圆的内接矩形长为acos,宽为所以内接矩形面积为abcos,sin,,absin,b,absin,,ab,b面积的取值范围为则b,b所以即b,a,bb,ab,bce,不等式同时平方得即且(a,c),a,(a,c)b,a,bae,,整理解得D答案:【本课总结】对于求离心率问题常常有以下办法cbcbba,c直接求出或求出代公式求解e,,,e,,椭圆双曲线aaaaab常见的与相关的一些题设条件:axyABABAB,(a,b,)设是椭圆的一条弦且为弦的中点则所在的直M(x,y)abbx线方程的斜率k,,ABayxyABABAB,,(a,,b,)设是双曲线的一条弦且M(x,y)为弦的中点则所在abbx的直线方程的斜率k,ABayba双曲线的渐近线方程或y,,xy,,xbaca,ce,构造关于的方程或不等式利用离心率转化成关于的一元方程或不等式求值或ea求范围MF根据圆锥曲线的第二定义e,(到定点的距离比上到定直线的距离等于离心率)可以d求离心率的值x根据正、余弦定理或借助于椭圆、双曲线的焦半径公式得到(为曲线上的x,,(a,b,c)x点的横坐标)再根据曲线中的取值范围可求离心率的取值范围对于求离心率的范围问题其本质在曲线中变量的范围通过变量的范围构造不等式解不等式即可圆锥曲线离心率家庭作业k若双曲线的离心率是则实数的值是()xky,ABCD,,xyF,FFFab,,椭圆()的两个焦点分别为、以、为边作正三角形若椭ab圆恰好平分三角形的另两边则椭圆的离心率为()e(),A(B(C(D(,xy,,(a,,b,)已知双曲线的左、右焦点分别为若在双曲线的右支上存在F,FabPPF,PF一点使得则双曲线的离心率e的取值范围为(xa,y,,x已知双曲线,y,()的一条准线与抛物线的准线重合则该双曲线的a离心率为()ABCDF,F,若椭圆经过原点且焦点为、则其离心率为()ABCD如果双曲线的实半轴长为焦距为那么双曲线的离心率为()ABCDxya,b,,点P()在椭圆()的左准线上过点P且方向为的光a,,,aby,,线经直线反射后通过椭圆的左焦点则这个椭圆的离心率为()ABCDxya,,b,FFFF,,已知、是双曲线()的两焦点以线段为边作正三角形abMFFMF若边的中点在双曲线上则双曲线的离心率是()A,BCDxyl,,,a,b设双曲线()的半焦距为直线过两点已知原点到直ca,,bab线的距离为则双曲线的离心率为()cABCDM双曲线虚轴的一个端点为两个焦点为、则双曲线的离心率FFFMF,为()ABCDP设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等FFF,FPF腰直角三角形则椭圆的离心率是。xy,,设椭圆()的右焦点为右准线为若过且垂直于轴的弦FlFxa,,b,ab的长等于点到的距离则椭圆的离心率是Fl在给定椭圆中过焦点且垂直于长轴的弦长为焦点到相应准线的距离为则该椭圆的离心率为()ABCD,,,,,,,,xcot,,ytan,,设则二次曲线的离心率的取值范围为(),,,,,,,,,,,,,,ABCD,,,,,,,,EAB,CD,CABCD如图已知梯形中点分有向线段所成的比为双曲线过、ACDEAB,,、三点且以、为焦点(当,时求双曲线离心率的取值范围。e【家庭作业参考答案】bkB,,e答案:先将方程化成标准形式然后确定、再根据求出的值(故选abaP答案:设点为椭圆上且平分正三角形一边的点如图||:||:||::PFPFFF,由平面几何知识可得c所以由椭圆的定义及得:e,a||FFcB故选e,,,,,||||aPFPFPF,PF由及双曲线第一定义答案:如图式得:||||PFPFa,,又(||PFa,||PFa,||FFc,P因为点在右支上运动所以||||||PFPFFF,ce,得,ac,即又故填,,e(aac,x,y,,xx,,,答案:抛物线的准线是即双曲线的右准线则cccDc,解得故选e,,a,c,c,,aF,F,c,c,,a,c,ac,答案:由、知又椭圆过原点ce,,a,c,所以离心率故选CacCa,c,c,e,,答案:由题设则因此选ay,,,x答案:由题意知入射光线为关于的反射光线(对称关系)为y,,,a,c,e,,Ac,则解得则故选a,x,y,c,a,c,,,c,MFPP答案:如图设的中点为则的横坐标为PF,,ex,a由焦半径公式pcc,,cc,,,,c,,,,a,,即得解得,,,,,,,a,,aa,,,,ce,,D(舍去)故选,aabl答案:由已知直线的方程为由点到直线的距离公式得,cbxay,ab,ab又,,两边平方得整理得ac,a,cab,cc,abe,e,cabbe,,,,e,e,得或又,a,b故e,e,aaaA选答案:如图所示不妨设则Fc,M,bF,c,FF,c又MF,MF,cbMFMF,FFcosFMF,在中由余弦定理得,,FMFMF,MFb,ccbcb,c,,即,,bccb,ae,B,,e,故选a,cb,c,ac,acccce,,,,,,,答案:aaPFPFccDABAD答案:如图所示是过且垂直于轴的弦于为到准线的FxFlAD,lABAF距离根据椭圆的第二定义e,,,ADADAF答案:e,,,AD,,,,,答案:由得,xcot,,ytan,,,a,tan,b,cot,,,,,,,ctancotc,ab,tan,cot,e,,,cot,,tana,,,,,,D,故选,e,cot,,e,,,,,ABAByxoy答案:以的垂直平分线为轴直线为轴建立如图所示的直角坐标系则xDABDCCy轴因为双曲线经过点、且以、为焦点由双曲线的对称性知、关于CD,yc,,C,hhEx,yc,AB轴对称(依题意记其中为双曲线的半焦距是A,c,,,,,梯形的高(c,,,c,,,cxyhx,,,,,由定比分点坐标公式得设双曲线的方程为y,,,abcECC由点、在双曲线上所以将点的坐标代入双曲线方程得则离心率e,ach,,???abc,h,,,,,,E将点的坐标代入双曲线方程得,,??,,,,a,b,,,,,heehc,,??,,再将e,、得abbe,h,,,,,,,,???,,,,,b,,,,,e,,,,,,将式代入式整理得,,,由题设,得:e,,,,,解得所以双曲线的离心率的取值范围为,,e,e

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