对数正态分布(log-normal distribution)

对数正态分布(log-normal distribution)对数正态分布对数正态分布机率密度函数 μ=0 累积分布函数 μ=0 参数值域概率密度函数累积分布函数期望值中位数 eμ 众数方差偏态峰态熵值动差生成函数 (参见原始动差文本) 特征函数 is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes 在概率论与统计学中，对...

对数正态分布对数正态分布机率密度函数 μ=0 累积分布函数 μ=0 参数值域概率密度函数累积分布函数期望值中位数 eμ 众数方差偏态峰态熵值动差生成函数 (参见原始动差文本) 特征函数 is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes 在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。对于 x > 0，对数正态分布的概率分布函数为其中 μ 与 σ 分别是变量对数的平均值与标准差。它的期望值是方差为给定期望值与标准差，也可以用这个关系求 μ 与 σ 目录 [隐藏] l 1 与几何平均值和几何标准差的关系 l 2 矩 l 3 局部期望 l 4 参数的最大似然估计 l 5 相关分布 l 6 进一步的阅读资料 l 7 参考文献 l 8 参见 [编辑] 与几何平均值和几何标准差的关系对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 exp(μ)，几何平均差等于 exp(σ)。如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。置信区间界对数空间几何 3σ 下界 μ ? 3σ 2σ 下界 μ ? 2σ 1σ 下界 μ ? σ μgeo / σgeo 1σ 上界 μ + σ μgeoσgeo 2σ 上界 μ + 2σ 3σ 上界 μ + 3σ 其中几何平均数 μgeo = exp(μ)，几何标准差 σgeo = exp(σ) [编辑] 矩原始矩为：或者更为一般的矩 [编辑] 局部期望随机变量 X 在阈值 k 上的局部期望定义为其中 f(x) 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为其中 Φ 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。 [编辑] 参数的最大似然估计为了确定对数正态分布参数 μ 与 σ 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看其中用表示对数正态分布的概率密度函数，用 — 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：由于第一项相对于 μ 与 σ 来说是常数，两个对数最大似然函数与在同样的 μ 与 σ 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计 [编辑] 相关分布 l 如果 Y = ln(X) 与，则 Y～N(μ,σ2) 是正态分布。 l 如果是有同样 μ 参数、而 σ 可能不同的统计独立对数正态分布变量，并且，则 Y 也是对数正态分布变量：。 [编辑] 进一步的阅读资料 l Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion", in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994. [编辑] 参考文献

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