MWG微观经济理论-完美中文翻译版-数学附录1-东南大学曹乾
MWG微观经济理论-完美中文翻译版-数学附录1-东南大
学曹乾
曹乾?经济学译丛精品系列 Microeconomics Theory Andreu
Mas-Colell, Michael D. Whinston, Jerry R.Green (Havard University) MWG
微观经济理论 完美中文翻译版 数学附录1 曹乾 译 (东南大学 caoqianseu@1634>>) 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 1
曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
数学附录 本附录简要回顾了教材中使用到的一些数学概念和方法，但要注意这些内容相对比较零散。 我们将正式的结果称为“定理”，定理的
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
述相对严格。对于一些定理的证明，我们会提供一些启发性的评价、MATCH_
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_1714154837383_2和一般性的思想，因为我们的目的在于强调应用。尽管这些做法放在定理的“证明”中，然而它们和定理证明的严格性无关。也许用“定理的讨论”而不是“定理的证明”作为标题更准确些。 这个附录当然不能替代更广泛、更系统的数学书。建议读者参考以下数学教材:Simon and Blume(1993)，Sydsaeter and Hammond(1994)，Novshek(1993)，Dixit(1990), Chang(1984)和Intriligator(1971)。这些教材包含了本附录中的部分或大部分内容，它们也可以作为进一步学习的材料。 M.7>
)
法则如何用矩阵符号表示。 链式法则 假设gSNNM:R?R和f:R?R都是可微函数。复合函数(composite function)f(g(??))也是可微的。考虑任一点Sx?R。链式法则(chain rule)是说该复合函数关于x的导数矩阵Df(g(x))(它是个M×S矩阵)，等于g(??)的导数矩阵Dg(x)(它是个N×S矩x阵)乘f(??)在点g(x)的导数矩阵Df(y)(它是个M×N矩阵)，其中y=g(x)。具体地说，链式法则意味着， Df(g(x))=Df(g(x))Dg(x) (M.)
注意:g(x)是含有M个元素的向量(即M×1矩阵)，Dh(x)是个1×N矩阵。因此，g(x)Dh(x)是个M×N矩阵(该矩阵的秩为1)。也要注意(M.<>B齐次函数与欧拉
公式
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在本节，我们考虑含有N个变量的函数f(x1,...,xN)，它的定义域为所有非负值(x1,...,xN)?0。 定义M.<>B.1:函数f(x1,...,xN)是r次(齐(次(的((homogeneous of degree r)，若对于任意t>0都有 rf(tx1,...,txN)=tf(x1,...,xN)， 其中r=...,??1,0,1...。 例如，f(x1,x2)=x1/x2是零次齐次的，1/2f(x1,x2)=(x1x2)
是一次齐次的。 注意:如果f(x1,...,xN)是零次齐次的，而且我们可以限制定义域使得x1>0，于是令t=1/x1，可将函数f(??)写为 f(1,x2/x1,..,xN/x1)=f(x1,...,xN). 类似地，如果函数f(??)是一次齐次的，则 f(1,x2/x1,..,xN/x1)=(1/x1)f(x1,...,xN). 定理M.<>B.1:若f(x1,...,xN)是r次齐次的(r=...,??1,0,1...)，则对于任何n=1,...,N，偏导数函数??f(x1,...,xN)/??xn是(r??1)次齐次的。 证明:固定某个t>0。
根据齐次性的定义(定义M.<>B.1)，我们有 rf(tx1,...,txN)??tf(x1,...,xN)=0. 将上式两侧对xn微分可得 ??f(tx1,...,txN)r??f(x1,...,xN)t??t=0, ??xn??xn因此， ??f(tx1,...,txN)r??1??f(x1,...,x)??Nt=0. ??xn??xn预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 4 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
根据定义M.<>B.1，我们断言??f(x1,...,xN)/??xn是(r??1)次齐次的。? 例如，对于一次齐次函数1/21f(x1,x2)=(x1x2)来说，??1/2f(x1,x2)/??x1=(x1x2)。根2据定理M.<>B.1可知，这个偏导函数应该是零次齐次的，根据定义M.<>B.1容易验证它的确是。 注意，若f(??)是任意次齐次函数，则f(x1,...,xN)=f(x′1,...,x′N)意味着对于任意t>0都有f(tx1,...,txN)=f(tx′1,...,tx′N);也就是说，函数f(??)的一个水平集的任一径向扩张都产生f(??)的一个新的水平集(一)。这意味着:f(??)的水平集沿着通过原点的任一射线的斜率是不变的。例如，在N=2的情形下。假设??f(x)/??x2?0，含有x=(x1,x2)点的水平集在x点的斜率为??(??f(x)/??x1)/(??f(x)/??x2)，此时含有tx点(其中t>0)的水平集在tx点的斜率
为 ??r1f(tx)/????x1t??f(x)/??x1??f(x)/??x??=??=??1. ????r??1f(tx)/x2t
??f(x)/??x2??f(x)/??x2图M.<>B.1说明了这个事实。 图M.<>B.1:位似函数的水平集。 假设f(??)是个r次齐次函数，h(??)是个递增的单变量函数。则函数h(f(x1,...,xN))称为位(似(的((homothetic)。注意，h(f(??))的水平集族和f(??)的水平集族是相同的。因此这意
(一)函数f(??)的一个水平集(level set)是个集合，即对于某个既定k有{x?RN+:f(x)=k}。这个集合的径向扩张(radial expansion)是该水平集中的
每个向量x都乘以某个正标量t>0而得到的点集。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 5 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
味着，对于任何位似函数，水平集沿着穿过原点的射线的斜率是固定不变的。 定理M.<>B.2给出了位似函数的一个重要性质。 定理M.<>B.2:(欧拉公式)假设f(x1,...,xN)是r次齐次的(r=...,??1,0,1,...)和可微的。那么在任何(x1,...,xN)点，我们有 N???f(x1,...,xN)xn=rf(x1,...,xN), n=1??xn
或者以矩阵符号表示，??f(x)??x=rf(x)。 证明:根据r次齐次函数的定义我们有 rf(tx1,...,txN)??tf(x1,...,xN)=0. 将上式对t微分可得 N???f(x1,...,xN)r1xn????rtf(x1,...,xN)=0. n=1??xn令t=1即可得到欧拉公式。? 对于零次齐次的函数，由欧拉公式可知 N???f(x1,...,xN)xn=0. n=1??xn举个例子。对于函数f(x1,x2)=x1/x2，我们
有??f(x1,x2)/??x1=1/x2，??2f(x1,x2)/??x1=??(x1/(x2))。因此 N???f(x1,...,xN)1xx=x??1n1x=0, 22n=1??xnx2(x2)这与欧拉公式一致。 对于一次齐次函数，根据欧拉公式可知 N???f(x1,...,xN)xn=f(x1,...,xN). n=1??xn例如，对于函数11/22f(x1,x2)=(x1x2)，我们
有??1/f(x1,x2)/??x1=(x2/x1)，21??1/2f(x1,x2)/??x2=(x1/x2)。因此， 2预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 6 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
N
???f(x1,...,xN)1??x????x??x=211n????x1+????x2n=1??xn2??x1??2??x2??=
(1/2x1x2) =(fx1,x2). M.C凹函数和拟凹函数 在本节，我们考察N个变量的函数f(x1,...,xN)，该函数的定义域为RN中的某个凸子集b)图中的函数是凸的但不是严格凸的。 图M.C.1(b)画出的函数是凹的但不是严格凹的;注意，在这种情形下，连接f(??)图形上的x点和x′形成的线段位于(on)f(??)图形上，因此条件(M.C.1)以等式形式成立。 条件(M.C.1)与下面的条件(M.C.2)等价，尽管(M.C.2)显得似乎更强一些。
(一) 函数f:)
对于任何一组向量x1?AxK,...,?)
定理M.C.1:(连续可微的)函数f:)
下面我们给出凹函数和严格凹函数的第三种描述方法。 定义M.C.2:N×N矩阵M是负(半(定(的((negative semidefinite)，若对于所有Nz?R，都
有 z??Mz?0 (M.C.5) 如果对于所有z?0，上式以严格不等式成立，则矩阵M是负(定(的((negative definite)。类似地，我们也可以定义正(半(定(的((positive semidefinite)和正(定(的((positive definite)概念，只要将条件(M.C.5)的不等式的方向颠倒即可。 我们将在M.E节进一步讨论这些矩阵的细节特征。在这里我们仅记录这些性质和凹函数的海赛矩阵D2f(??)之间的密切关系(一)。 定理M.C.2:(二阶连续可微)函数f:)
定义M.C.3:定义在凸集b)中的函数是拟凹的但不是严格拟凹的。 图M.C.4:(b)拟凹但非严格拟凹函数的水平集。 从定义M.C.3可知，f(??)为拟凹的当且仅当 f(αx+(1??α)x′)?Min{f(x),f(x′)} (M.C.7) 对于所有x,x′?)
相反，拟凹性可得以保留。 定理M.C.3和M.C.4分别是定理M.C.1和M.C.2的拟凹版本。 定理M.C.3:(连续可微的)函数f:
标准
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验证)，但是由于??f(x)=0，我们有:当x=0时??f(x)??(x′??x)=0。? 图M.C.5:条件(M.C.8)。 定理M.C.3刻画的拟凹函数的特征，可用图M.C.5说明。定理M.C.3中的条件(M.C.8)是说:对于任何拟凹函数f(??)和任何满足f(x′)?f(x)的两点x和x′，梯度向量??f(x)和向量(x′??x)必定形成了一个锐角。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 1 2 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
对于拟凸函数来说，我们只要颠倒(M.C.8)中每个不等式的方向即可。 定理M.C.4:(二阶连续可微)函数f:)
(iv)若矩阵M是负定的，则M与任何下列这样的矩阵K的乘积KM是稳(定(的((一)，K是个N×N的对(角(矩阵且对角元素都为正。 证明:性质(i)直接可从下列事实推导出:对于任何Nz?R，都有Tz??(M+M)z=2z??Mz。 性质(ii)的逻辑如下。任何对称矩阵M都可以按照下列简单的方法对角化:存在一个N×N的满秩矩阵C且CT=C??1，这个矩阵C能使得CMCT成为对角矩阵，且该对角矩阵的对角元素等于M的特征值。但如此一来，Tz??Mz=(Cz)??CMC(Cz)，而且对于任何Nz ?R，存在一个z使得z =Cz。因此，矩阵M是负定的当且仅当对角矩阵CMCT是负定的。容易验证对角矩阵的是负定的当且仅当它的对角元素都是负的。 性质(iii):假设M??1是负定的，并且令z?0。于是 T=TT??1Tz??Mz=(z??Mz)z??Mz=(Mz)??M(Mz)<0. 性质(iv):我们知道，矩阵)
的。因此，根据定理M.D.1，M的特征值是负的。方阵的行列式等于它的特征值的乘积。rr因此，M的符号为(??1r)。充分性部分需要一些计算，我们不打算进行详细计算。容易rr验证对于N=2的情形，充分性成立。如果(i)中的结论对2×2对称矩阵成立，那么它的行列式是正的，而且两个对角元素都是负的;
这两个事实一起意味着该矩阵的两个特征值都是负的。 对于(ii)，我们只要注意到需要考虑所有排列即可。例如，如果矩阵M除了NN位置上的元素外，所有其他元素都是零，那么M满足(i)中的非负形式，但根据定义M.D.1可知，它不是负半定的。 注意，在(iii)中，我们只断言行列式条件的必要性。事实上，对于非对称矩阵来说，这个条件不是充分的。? 例M.D.1:考虑有两个变量的实值函数f(x1,x2)。在以下部分我们用下标表示偏导数，例如
2f12(x1,x2)=??f(x1,x2)/??x1??x2。定理M.C.2告诉我们，如果对于所有(x1,x2) ??f(x,x)f(x,x)D211121212??f(x1,x2)=???? ??f21(x1,x2)f22(x1,x2
)??都是负定的，则f(??)是严格凹的。根据定理M.D.2，这是正确的当且仅当 f(x,x2)f12(x1,x2)f11(x1,x2)<0 和111 >0, f21(x1,x2)f22(x1,x2)
或等价地，当且仅当 f11(x1,x2)<0 和 2f11(x1,x2)f22(x1,x2)??[f12(x1,x2)]>0. 定理M.C.2还告诉我们，f(??)是凹的当且仅当D2f(x1,x2)对于所有(x1,x2)都是负半定的。定理M.D.2告诉我们，这是正确的当且仅当 f(x1,x2)f12(x1,x2)f11(x1,x2)?0 和11 ?0, f21(x1,x2)f22(x1,x2)而且，置换D2f(x1,x2)的行与列之后， f22(x1,x2)f21(x1,x2)f22(x1,x2)?0 和 ?0. f12(x1,x2)f11(x1,x2)因此，f(??)是凹的当且仅当 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 1 5
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f11(x1,x2)?0， f22(x1,x2)?0， 和 2f11(x1,x2)f22(x1,x2)??[f12(x1,x2)]?0. ? 类似地，正定矩阵和正半定矩阵也可以通过行列式条件进行检验:结果与定理M.D.2中的(i)至(iii)对应，但需要删去因子(??1r)。(一) 定理M.D.3:令M是个N×N对称矩阵，令<>B是个N×S矩阵，其中S?N，而且<>B的秩等于S。 (i)M在{RNz?:Bz=0}上是负定的(即z??Mz<0对于任何Bz=0，Nz?R但z?0成立)，当且仅当对
于r=S+1,...,N都有 MBrrr(??1r)>0. BT()0rN (ii)M在{z?R:Bz=0}上是负半定的(即z??Mz?0对于任何Bz=0，Nz?R但z?0成立)，当且仅当对于r=S+1,...,N和每个排列pi都有 MpiBpi??rrrr(1)?0. piT(<>B)0r其中Bpi是由矩阵<>B根据排列pi只置换行而得到的矩阵。和以前一样，Mpi是由矩阵Mrrrrrr既置换行又置换列得到的矩阵。 证明:我们不打算证明这些结论。注意，这些结论与定理M.D.2中的(i)和(ii)对应，这里的加边矩阵和定理M.D.2中矩阵的作用类似。? 例M.D.2:假设我们的函数是两个变量的函数f(x1,x2)。我们假设对于所有x都有??f(x)?0。定理M.C.4告诉我们f(??)是严格拟凹的，如果海赛矩阵D2f(x1,x2)在子空间{2z?R:??f(x)??z=0}对于所有x=(x1,x2)都是负定的。根据定理M.D.3可知，这个条件成立当且仅当
(一) 回忆:矩阵M是正定的(正半定的)当且仅当??M是负定的(负半定的)。而且，??M=(??1r)M。 rrrr预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 1 6 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
f11(x1,x2)f12(x1,x2)f1(x1,x2)f21(x1,x2)f22(x1,x2)f2(x1,x2)>0,
f1(x1,x2)f2(x1,x2)0或等价地，当且仅当 222f1(x1,x2)f2(x1,x2)f12(x1,x2)??[f1(x1,x2)]f22(x1,x2)??[f2(x1,x2)]f1
1(x1,x2)>0. 如果我们将这个检验用于函数f(x1,x2)=x1x2，我们可以得到2x1x2>0，这证实该函数是严格拟凹的。 根据定理M.C.4可知，f(??)是拟凹的当且仅当海赛矩阵D2f(x1,x2)在子空间{2z?R:??f(x)??z=0}对于所有x=(x1,x2)是负半定的。根据定理M.D.3可知，这是正确的当且仅当 f11(x1,x2)f12(x1,x2)f1(x1,x2)f21(x1,x2)f22(x1,x2)f2(x1,x2)?0, f1(x1,x2)f2(x1,x2)0和(经过适当的置换后) f22(x1,x2)f21(x1,x2)f2(x1,x2)f12(x1,x2)f11(x1,x2)f1(x1,x2)?0. f2(x1,x2)f1(x1,x2)0计算这两个行列式，可得到必要和充分条件
222f1(x1,x2)f2(x1,x2)f12(x1,x2)??[f1(x1,x2)]f22(x1,x2)??[f2(x1,x2)]f1
1(x1,x2)?0.? 为了刻画在子空间{RNz?:<>B??z=0}上正定的矩阵和正半定的矩阵，我们只需要将定理M.D.3中的(??1r)换成(??1S)即可。 定理M.D.4:假设M是个N×N对称矩阵，而且对于某个p??0我们有Mp=0和MTp=0。记Tp={Nz?R:p??z=0}，并且令M 为由矩阵M删除一行和相应一列而得到的(N??1)×(N??1)矩阵。 (i)若秩M=N??1，则秩M =N??1。 (ii)若z??Mz<0对于所有z?Tp且z?0成立(即若M在Tp上是负定的)，则对于任何不与p成比例的Nz?R，都有z??Mz<0。 (iii)矩阵M在Tp上是负定的当且仅当M 是负定的。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 1 7 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
证明:(i)假设秩M <N??1，也就是说，对于某个N??1z ?R且z ?0，我们有M z =0。在向量N??1z ?R中，令缺失的坐标值为零，这样就把z 变为向量Nz ?R。于是我们看到:首先，z线性无关于p(回忆p??0);其次，Mz=0和Mp=0。因此，秩M<N??1，这与题目中的假设条件M=N??1矛盾。 (ii)取不与p成比例的Nz?R。对于α=(p??z)/(p??p)和*z=z??αp，我们有zz*z?Tp和*z?0。因为MTp=Mp=0，于是我们有 **=**z??Mz=(z+αp)??M(z+αp)z??Mz<0. zz (iii)这与(ii)类似。事实上，如果M在Tp是负定的，那么(ii)直接意味着M 是负定的(因为对于任何N1z ?R??，z ??Mz =z??Mz，其中z是由z 把缺失坐标值用0补充而形成的，以及如果z ?0，则由我们对z的构造可知，z与p不成比例)。对于逆命题，从M变为M 需要删除一行和一列，删除的那一行(和列)的序号用n表示(比如n=1，则删除第一行和第一列)。如果对于每个z′?Tp且z′?0，我们令z=z′??(z′n/pn)p，则zn=0且z?0[若z=0，则我们就会有z′=(z′n/pn)p，这与z′??p=0矛盾]。而且，z ??M z=z??Mz= z??M z<0. ? 定义M.D.2:以)
证明:(i)为简单起见，假设p=(1,...,1)。用反证法。假设对于z?0我们有Mz=0。选择某个坐标n，使得对于任何其他坐标n′，有zn?zn。于是′annzn>?anz?azj?njn?，其中B满足方义域为<>B??RM(一)。 假设x=(x1,...,xN)?
程组(M.E.1)。也就是说，对于每个n都有fn(x,q)=0。我们感兴趣的是，在q和x周围的区域我们将x=(x1,...,xN)表示为关于q=(q1,...,qM)的函数的可能性，即求局部解的可能性。正式地，我们说集合B取开集(参见M.F节)，目的是为了避免出现边界问题。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 1 9 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
点?RNx的一个开(邻(域((open neighborhood)，如果B′。 定义M.E.1:假设x=(x1,...,xN)?B满足方程组(M.E.1)。我们说我们可以在(x,q)点求出方程组(M.E.1)的
局(部(解((local solution)，即在此点将x=(x1,...,xN)表示为关于q=(q1,...,qM)的函数，如果:(1)存在x的开邻域B′??<>B;(2)存在N个唯一确定的从<>B′到B′和每个n都成立， 和 ηN(q)=xn 对于每个n都成立。 图M.E.1:局部可解的方程。(b)函数η(??)的图形。 在图M.E.1中，我们描述了N=M=1情形下方程组局部可解的情形:该方程组在某个给定的解附近局部可解。 隐函数定理不仅对这种隐函数的存在性给出了充分条件，还告诉我们在某个解处，q对x有什么样的一阶比较静态效应。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 2 0 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
定理M.E.1:(隐函数定理)假设每个方程fn(??)关于它的(N+M)个变量都是连续可微的，而且假设我们考虑的是在参数值q=(q1,...,qM)时的一个解x=(x1,...,xN)，即这个解满足对于每个n都有fn(x,q)=0。如果方程组(M.E.1)关于外生变量的雅克比矩阵(Jacobian matrix)在(x,q)处是非奇异的，也就是说，如果 ??f1(x,q)„??f1(x,q)??x1??xN???0，
(M.E.2) ??fN(x,q)????fN(x,q)??x1??xN那么这个方程组在(x,q)处的局部解可用隐形定义的函数ηn:<>B′?B?B′成立， 对其运用微积分的链式法则可得 Df(x;q)Dη(q)+Df(x;q)=0. x根据(M.E.2)可知，N×N矩阵Df(x;q)是可逆的，因此我们可以断言 xDη??1q(q)=??[Df(x;q)]Df(x;q).xq ? 注意当N=M=1时(即一个内生变量和一个参数的情形)，(M.E.3)变为下列简单表达式 dη(q)??f(x;q)/??q=??. dq??f(x;q)/??x隐函数定理的一种特殊情形是:M=N且每个方程的形式都为预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 2 1
曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
fn(x,q)=gn(x)??qn=0。这种情形下的隐函数定理称为
反(函(数(定(理((inverse function theorem)。 条件(M.E.2)的限制性很强吗,并不强。在图M.E.2中我们画出了一个该条件不成立的情形。[作为对照，图M.E.1满足条件条件(M.E.2)]然而，图M.E.2中的相切显得比较病态:函数f(??;??)的任何微小扰动都能消除它(即不再相切)。 图M.E.2:在解(x;q)处，条件(M.E.2)不成立。 横截性定理(transversality theorem)让这个思想变得更准确，这个定理断言，在一个较弱的条件下[函数f(??;??)关于x和q是充分一阶可变的]，(M.E.2)对于参数一般是成立的。我们在定义M.E.2中先给出初步概念。 定义M.E.2:给定开集B??RM，定义在B上是正(则(的((regular)，如果(M.E.2)在任何解x处都成立;也就是说，如果f(x;q )=0意味着Dxf(x;q )?0。 有了这个定义之后，我们给出定理M.E.2。 定理M.E.2:(横截性定理)给定开集B??RM和(连续可微的)函数Nf:B?R。若f(??;??)满足条件: 当f(x;q)=0时，N×(N+M)矩阵Df(x;q)的秩为N， 则由含有N个变量的N个方程组成的方程组f(??;q )=0，对于几(乎(每(个(q ?<>B都是正则的(一)。 (一)
举例说明“几乎每个”(almost every)的意思。例如如果我们根据RM某个非退化的多项式正态分布来选择q ，则方程组f(??;q )=0为正则的概率为1。在这样的情形下，“几乎每个”显然是指“一般性”意义。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 2 2 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
M.F连续函数与紧集 在本节，我们首先给出连续函数的正式定义，然后逐步建立紧集的概念(这个过程还涉及到开集和闭集概念的建立)。最后，我们讨论连续函数的一些性质，这些性质和紧集有关。 我们首先给出序列(sequence)的定义。RN中的一个序列对每个正整数m=1,2,...赋予一个向量mNx?R。我们将序列记为{m}m=?xm=1或简记为{xm}甚至简记为mx。 定义M.F.1:序列{xm}收敛于Nx?R(记为limmm??x?x或mx?x)，若对于每个ε>0都存在一个整数Mε，使得只要m>Mε就有xm??x<ε。于是点x称为序列{xm}的极限点(limit point)或简称为{xm}的极限(limit)。 简单地说:如果随着m
，则序列{xm}收敛于x。 定义M.F.2:考虑定义在X?RN增加mx无限接近于x
上的函数f。对于函数f:X?R来说，如果对于所有x?X和每个序列mx?x(其中，对所有m都有mx?X)，我们都有mf(x)?f(x)，则函数f:X?R是连(续(的((continuous)。若函数Kf:X?R的每个分量函数(coordinate function)f(??)都是连续的，则该函数是连续的。 k简单地说，某个函数是连续的，如果对于我们所取的收敛于x的点序列x1x2,,...，相应的函数值序列12f(x),(x),...收敛于f(x)。在直觉上，若函数在某个点x上的函数值出现了“跳跃”，则该函数是不连续的。图M.F.1给出了连续函数和不连续函数的例子，它们的定义域都是[0,1]。 图M.F.1:连续函数和不连续函数。(b)中的函数是不连续的。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 2 3 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
下面我们将建立开集、闭集和紧集的概念。 定义M.F.3:给定集合X?RN。我们说集合B={RNx′?:x′??x<ε}(其中ε>0为某个实数)称为中(心(在(x点(的(一(个(开(球((open ball)。有了开球的概念之后，我们可以将开集的思想重新表达为:假设RN中的所有可能的向量构成的全集为X。集合b)中的阴影集合b)一个(相对于X)的闭集。 定理M.F.1搜集了一些关于开集和闭集的基本事实。
(一) 给定两个集合B，集合B是由所有属于B的元素组成的集合。 (二) 即不再称“相对于X是开(闭)集”而简称为“开(闭)集”，译者注。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 2 4
曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
定理M.F.1:给定一个集合X?RN。在本定理中，所有的开集和闭集都是相对于全集X而言的。 (i)有限或无限多个开集的并仍是开集。有限个开集的交仍是开集。 (ii)有限或无限多个闭集的交仍是闭集。有限个闭集的并仍是闭集。 (iii)集合)
定理M.F.2中的(ii)断言:任何定义在紧集X上的连续函数f:X?R能够达到最大值。我们用图M.F.3说明这个结论。图M.F.3(b)
中的函数都无法达到最大值。图M.F.3(b)中的函数的定义域是紧的，但该函数却不是连续的。 图M.F.3:连续性和紧性对于函数最大值点的存在来说是必需的。(b)图中的函数的定义域是紧的，但该函数是不连续的(注意f(0)=0)，因此也没有最大值点。 给定一个序列{xm}，假设我们有个严格递增的函数m(k)，该函数对每个正整数k赋予一个正整数m(k)。于是序列xm(1)xm(2),,..(.记为{xm(k)})称为{xm}的子序列(subsequence)。也就是说，{xm(k)}是由{xm}的一个(保序)子集组成的。例如，若序列{xm}是1,2,4,16,25,36， ，则{xm}的一个子序列为1,4,16,36, ; {xm}的另外一个子序列是2,4,16,25,36, ;当然你还可以列出它的其他子序列。 定理M.F.3:假设集合)
对于每个x?b)中的集合不是凸集。 注意，若函数f:b)中的集合为非凸集。 定义M.G.2:给定集合<>B??RN，<>B的凸(包((convex hull)，记为CoB，是最小的包含<>B的凸集，也就是说CoB是所有含有<>B的凸集的交。 图M.G.2画出了一个凸集和它的凸包。容易验证<>B的凸包也可以描述为<>B的元素的所
(一) 集合)
有可能的凸组合组成的集合，也就是说 ??JCoB=???αx:对于某个x1,...,x且对于所有j都有x?<>B;和对于某个(αjjJj1,...,α)?0J??j=1J且???α=1j??. j=1?? 定义M.G.3:向量x?<>B是凸集<>B??RN的
(0,1)，它都不能表示极(点((extreme point)，若对于任何y,z?<>B和α?
为x=αy+(1??α)z。 图M.G.3中凸集的极点是四个顶点。 图M.G.2(左):图中画出了一个非凸集和它的凸包。图M.G.3(右):凸集K的极点。K的极点={b,c,d}。 定理M.G.1给出了凸性理论的一个非常重要的结果。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 2 8 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
定理M.G.1:假设<>B??RN不仅是凸的，还是紧的(即闭且有界的;参见M.F节)。则每个x?<>B都可以表示为<>B的至多N+1个极点构成的一个凸组合。 证明:这个证明比较复杂，我们不打算给出。我们只指出一点，注意这个定理对于图M.G.3的凸集来说是正确的:该凸集的任何一点都属于由它的其中三个顶点张成的三角形。? 下面我们建立分离超平面定理。 定义M.G.4:给定p
?RN且p?0，以及c?R。由(p和(c生(成(的(超(平(面((hyperplane)是集合H={Npcz?R:p??z=c}。集合{?RNz:p??z?c}称为超平面H,p的上,c((半(空(间((half-space above Hp)，集合{?NzR:p??z?c}称为超平面Hp的下,c,c((半(空(间((half-space below Hp)。 ,c超平面和半空间都是凸集。图M.G.4说明了这一点。 图M.G.4:超平面和半空间。 定理M.G.2(分离超平面定理)假设<>B??RN是凸的和闭的(参见M.F节对闭集的讨论)，并且x??<>B。则存在p?RN且p?0，以及c?R，使得p??x>c和p??y<c对每个y?<>B预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 2 9
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成立。 更一般地，假设凸集AN,<>B??R不相交(即B=??)。则存在p?RN且p?0，以及c?R，使得:对于每个x?B都有p??y?c。也就是说，存在一个将B分离的超平面，使得B分别位于该超平面的不同侧。 证明:我们只证第一部分(即将一点和一个闭的凸集分离)。在图M.G.5中，我们画出了一个闭的凸集<>B和一点x??<>B。我们还用y?<>B表示集合<>B中距离x最近的那个点(一)。如果我们令p=x??y和c′=p??y，于是我们可以看到:首先，我们有p??x>c′[因为2p??x??c′=p??x??p??y=(x??y)??(x??y)=x??y>0];其次，对于任何z?<>B，向量p和向量z??y不可能形成锐角，即p??(z??y)=p??z??c′?0。最后，令c=c′+ε，其中ε>0充分小使得p??x>c′+ε=c成立。? 定理M.G.3:(支撑超平面定理)假设<>B??RN是个凸集，而且x不是集合<>B的内部的元素(x??intB;集合内部的概念请参见M.F节)。则存在p??RN且p?0使得p??x?p??y对于每个y?<>B都成立。 图M.G.6:支撑超平面定理。 证明:假设x??intB。下面的论证过程可以参考图M.G.6。在直觉上，我们可以找到一个序列mx?x，使得对于所有m，mx都不是集合<>B的闭包的元素(即，mx??ClB;关于序列和集合
闭包的讨论请参考M.F节)。根据分离超平面定理(定理M.G.2)可知，对于每个m，存在一个pm?0和一个mc?R使得 pmmm??x>c?pm??y
(M.G.1) (一) 我们使用大家都比较熟悉的欧几里得距离。我们要求<>B为闭集，是为了保证<>B中存在距离x最近的点。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 3 0 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
对于每个y?<>B都成立。不失一般性，我们可以假设对于每个m都有pm=1。因此，若有需要可抽出一个子序列(参考M.F节的楷体字部分的讨论)，我们可以假设存在p?0和c?R使得pm?p和mc?c。因此，在(M.G.1)中取极限，可得 p??x>c?p??y 对于每个y?<>B都成立。? 最后，对于集合的支(撑(函(数((support function)这个重要概念及其性质，我们将在教材3.F节讨论。 M.H对应 在经济学中，我们经常使用函数的泛化概念即对应。 定义M.H.1:给定集合B??B)={y?Y:y?f(x)对于某个x?<>B}是有界的，则该对应f:)
在很多情形下，f(??)的值域空间Y本身也是紧的。在这种情形下，上半连续性就简化为闭图条件。在图M.H.1(b)中的对应是上半连续的。 图M.H.1:闭图和上半连续的对应。(b)中的对应是上半连续的。 对应的上半连续性可以自然地认为是函数连续性概念的推广。事实上，我们有定理M.H.1中的结论。 定理M.H.1:给定)
果违背了函数f(??)的连续性，则序列{xmf()}[该序列位于紧集Clf(S)之中]不收敛于f(x)，于是根据定理M.F.3可知，我们可以抽出一个子序列m(k)x?x，使得m(k)f(x)?y对于某个y?Clf(S)且y?f(x)成立。但是这样一来，f(??)的图形不可能是闭的，这与f(??)作为对应是上半连续的事实矛盾。? 连续性概念推广到对应上以后，产生了两个泛连续性的概念，上半连续性只是其中之一。另外一个是下半连续性，现在我们阐述后者(在这种情形下，假设值域空间Y是紧的)。 定义M.H.4:给定b)图中的对应是上半连续的但不是下半连续的。 图M.H.2(b)中的对应是上半连续的，但不是下半连续的(考虑图中由下方趋近于x的序列mx?x和点y?f(x))。大致来说，上半连续性只与集合“向外爆炸扩大”式(explosions)的“不连续性”相容[例如图M.H.2(<>b)中的x=1/2处]，而下半连续只与集合“向内爆炸收缩”式(implosions)的“不连续性”相容[例如图M.H.2()
与上半连续的对应类似，若f(??)是个函数，则作为对应的f(??)的下半连续性概念，与作为函数的f(??)的连续性概念是相同的。 最后，当一个对应既是上半连续的又是下半连续的，我们说它是连(续(的((continuous)。图M.H.3给出了一个例子。 图M.H.3:图中的对应是连续的。 M.I不动点定理 在经济学中，证明均衡方程组的解的存在性的最常用方法，是将这个问题转化:先合理构造从某个集合)
布劳威尔的不动点定理的逻辑可用图M.I.1(b)中，我们可以看出，f(??)必须是连续的。至于定义域的凸集问题，考虑
下面的情形，即考虑在圆S={R2x?:x=1}上顺时针旋转90度的函数:这是个连续函数，但没有不动点。因为集合S是非凸的。 图M.I.1:布劳威尔的不动点定理。(b)图中的函数没有不动点，由此可见，连续性假设是必需的。 日本数学家角谷将布劳威尔不动点定理推广到了对应的情形，这个版本的不动点定理(定理M.I.2)在很多情形下最为有用。 定理,.I.2:[角谷的不动点定理(Kakutani s Fixed Point
Theorem)]假设b)所示。 预计2013年由中国人民大学出版社出版敬请期待 3 5 曹乾(东南大学 caoqianseu@163>)
图M.I.2:角谷的不动点定理。(b)图中的对应不存在不动点，这说明凸值的假设是必需的。 最后，我们再介绍一个不动点定理，这个不动点定理与上面两个不动点定理风格不同，但该不动点定理在经济学研究上用得越来越多。 定理MNN.I.3:[塔尔斯基的不动点定理(Tarsky s Fixed Point Theorem)]假设f:[0,1]?[0,1]是个非递减的函数，也就是说对于x′?x有f(x′)?f(x)。则f(??)有一个不动点。也就是说，存在一个x?)
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