利用向量求轨迹方程

利用向量求轨迹方程 作者：嵩明县第一中学 吴学伟 利用向量求轨迹关键是将几何问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 坐标化、符号化、数量化、以向量为工具，结合平面 解析几何中圆锥曲线的定义、将推理、论证转化为运算，求出符合条件的轨迹方程。 材料一：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足OCOAOB,，,,，其中，且，则点C的轨迹方程为______________. ,,,,R,,，,1 解析：设C（x,y），则OCxy,(,)OCOAOB,，,,OA,(3,1)OB,,(1,3)，由，且，，x,,3,,x,,41,,,得,，又代入得，消去即得C点的轨迹方程，是,,，,1,,y,，,,3y,,，23,,, xy，,,250 点评：本题在解答过程中利用向量的运算法则，通过消参化简求出动点轨迹方程，一般地 OCtOAtOBtR,,，,(1)()叫做直线AB的向量方程式，本题中的C点轨迹就是由A、B两点确定的直线。 材料二：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ABAC，,,，,[0,)，则点P的轨迹一定通过的（ ） OPOA,，，,(),ABC ||||ABAC A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 ABACABAC解析：AC与是分别与AB，同向的单位向量，故在的，BAC， ||AB||AC||||ABAC ABAC角平分线上，又，故P的轨迹一定通过的内心。 OPOA,，，,(),ABC ||||ABAC 材料三：已知一个圆的直径的端点是Axy(,)Bxy(,)、，求证圆的方程是： 1122 ()()()()0xxxxyyyy,,，,,, 1212 证明：设P（x,y）圆上任一点，则，，APBP, APxxyy,,,(,)BPxxyy,,,(,)1122 ()()()()0xxxxyyyy,,，,,,？APBP,，得证。 1212 点评：利用向量求圆的方程比用斜率求证简捷明了，而且可避免对斜率是否存在的讨论。 材料四：已知两点M（-1，0）、N（1，0），且点P使MPMNPMPNNMNP，，成公差小于零的等差数列。 （1）、点P的轨迹是什么曲线？ （2）、若点P坐标为(,)xyPNPM，记为与的夹角，求。 tan,,00 PMMPxy,,,,,,(1,)PNNPxy,,,,,(1,)MNNM,,,(2,0)，，， 解析：（1）设点P的坐标为（x,y），由M（-1，0）、N（1，0）得： 22MPMNx,，2(1)PMPNxy,，,1NMNPx,,2(1)，， 由于MPMNPMPNNMNP，，成公差小于零的等差数列，等价于： 1,2222xyxx，,,，，,1[2(1)2(1)],xy，,3,2即 ,,x,0,,2(1)2(1)0,,，,xx, 3？点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。 22（2）、点P坐标为xy，,3(,)xy？，且 03,,x00000 22222PNxyxy,，，,，(1)(1),,，,,(42)(42)24xxxPM 0000000 22xy，,1PMPN100,cos,,, 22||||PMPN244,,xx00 1,？，，。 ,,cos1,0,,,03,,x023 12？sin1cos1,,,,,, 24x,0 sin,2？tan3||,,,,,xy 00cos, 点评：本题融合平面向量数量积的坐标表示，求曲线的方程、变量 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 的取值范围，涉及平 面向量、解析几何、三角函数、不等式等内容，是“在知识交汇点命题”原则的具体体现。 2材料五:如图,过A(-1,0),斜率为k的直线yx,4与抛物线C:交于P、Q两点，若曲线C的l 焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。 1122解析：设P、Q、R三点坐标分别为， ，(,)yy(,)yy112244 1122AQ,(,)xyAP,，则有(1,)yy，，(1,)yy，，112244 1122FP,(1,)yy,，QRxyyy,,,(,)。 112244 由A，P，Q三点共线知：AQAP//， 11122？？(1)(1)yyyy，,，，yyyyyy()(),,, 1212121212444 yy,yy,4？，。 1212 QRFP,， 1122？ (1,)(,)yyxyyy,,,,1122由四边形PFQR为平行四边可知：44 1112222？ xyyyyyyyy,，,,，,,,，,()1[()2]1()312121212444 2yx,，412yyy,，？,. 12 1122又。 xyyyy,，,,,,()111121244 2yx,，412？点R的轨迹方程是 (1)x, 点评：本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思 路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法业解答，简单明快，容易接受。 ,材料六：如图，已知，定点R的坐标为（0，-3），直角顶点P在x轴上，线段，,RPM2 PQ1PM交y轴于Q点，且,，求当P在x轴上移动时，QM2 动点M的轨迹方程。 解析：高P、Q、M三点坐标分别为：，，(,)xy，(,0)a(0,)b则PQab,,(,)QMxyb,,(,)PRa,,,(,3)，， ,PQ,0PR，,知 RPM2 2？ab,,30， PQ11又,,,PQQM， QM22 1xyb,？(,)xyb,(,),,ab,(,) 222 1,ax,,,,222xy,4？,ab,,30代入得。 y,b,,3, 而当时，y,0，此时P、M、Q三点重合，不合题意，故点M的轨迹方程为x,0 2xy,4(0)x,。 点评：本题利用向量法，避免了解方程组，求线段长度，计算量小，易于理解。 材料七:过点P(2,1)作一条直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的中点M的l ？点A的坐标是（2x,0） 轨迹方程。 点A、M、P（B）在一条直线上， 解析：设点M的坐标是（x,y）, 点M是线段AB的中点，？PMPA//。 又PMxy,,,(2,1)PAx,,,(22,1)，， ？。 (2)(1)(1)(22)0xyx,,,,,,xyxy，,,220, ？点M的轨迹方程是：xyxy，,,220。 点评：本题也可以用转化法求点M的轨迹方程，但利用向量求解，利用共线向量的性质使 解答过程清晰，计算简单，有明显的优势。 课外练习： 22xyxy材料四：已知椭圆，,1，直线，P是上一点，射线OP交椭圆于R，又，,1l2416128 2点Q在OP上且满足|OQ|,|OR||OP|=，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 解析：设xOQ（其中、不同时为0）由非零向量、Qxy(,)y OROQ,,OpOQ,,OROP、共线，可设，， 则ORxy,(,),,Opxy,(,),,,,分别代入椭圆方程、直线方程得： 22xy1，,„„„„„„„„„„„„„„„„（1） 22416, xy1，,„„„„„„„„„„„„„„„„„„（2） ,128 22222由|OQ|,|OR|,,||||OQOR,,,,|OP|=得：，即„„„„„„„„„„（3） 由（1）、（2）、（3）消去，整理得： ,, 22(1)(1)xy,,x，,1（其中、不同时为0） y55 23 1015所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为x和且长轴与轴平行的23 、转化已知条件,, 椭圆，去掉坐标原点。 22|OQ|,|OR|,,,|OP|=为，使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高点评：本题借助两个非零向量共线的充要条件，巧设参数 考命题的热点。 22材料六：过点xy,,1，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知M(2,0),l OPOAOB,，。 （1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。 ||||?OPAB,l解析：（1）、设直线的方程为， ykx,，(2)l 222222代入(1)4410,,,,,kxkxkxy,,1得， 224k41k，当xx，,xx,Axy(,)Bxy(,)时，设，，则， k,,112122211221,kk,1 2kkk44yykxkxk，,，，，,，,(2)(2)4 12122211,,kk 设OPOAOB,，Pxy(,)，由，则 244kk(,)(,)(,)xyxxyy,，，, 12122211,,kk 2,4kx,,,x1,k,k？,，解之得 (0)k, 4ky,y,2,1,k, x4k22再将,k(2)4xy，,,代入得„„„„„„„„（1） y,2y1,k 当时，满足（1）式； k,0 22当斜率不存在是，易知(2)4xy，,,满足（1）式，故所求轨迹方程为，其轨P(4,0), 迹为双曲线； 当时，与双曲线只有一个交点，不满足题意。 k,,1l （2）||||OPAB,，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是 xxyy，,0OAOB,0，即。 1212 当(2,3),(2,3),,不存在时，A、B坐标分别为，，不满足上式。 k 2222(1)(41)24kkkk，，22又xxyyxxkxx，,，，，(2)(),,，,40k 1212121222kk,,11 2k，1化简得：,0，此方程无实数解，故不存直线使OAPB为矩形。 l2k,1 点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此 类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的 共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。 ，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、a,0BC,4aAB,4 BECFDG材料七：（03全国理,21,本小题满分14分） G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是,,BCCDDA 已知常数 否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值； 若不存在，请说明理由新疆王新敞奎屯 解法一:根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程， y 据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值. C F D 按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D E P BECFDG（－2，4a）设 ,,,,,kk(01)G BCCDDA x 由此有E（2，4O A B ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak） 直线OF的方程为：2ax，(2k,1)y,0? 直线GE的方程为：,a(2k,1)x，y,2a,0? 222从?，?消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程2ax，y,2ay,0 221x(y,a)2整理得 当a,时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. ，,1212a 2 12 当新疆王新敞奎屯a,时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 2 111222当新疆王新敞奎屯2a,时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值 ,,a,a),(,a,a)222 121122当a,时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定a,a,),(0,a，a,)222 值2a.