2010全国硕士研究生入学统一考试数学一
模拟试卷(2)
一．选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1．若
，则常数
为 （ ）
（A）
； （B）
；
（C）
； （D）
．
2．在区间
上，方程
（ ）
（A）在取某些特定的常数
时，可以有2007个不同的实根；
（B）无论常数
取何值，至少有4个不同的实根；
（C）在取某些特定的常数
时，至多有3个不同的实根；
（D）对某些特定的常数
值，没有实根．
3．函数
在
点处 （ ）
（A）
，
都存在；
（B）
存在，
不存在；
（C）
不存在，
存在；
（D）
，
都不存在．
4．下列结论中正确的是 （ ）
（A）若级数
收敛，且
，则级数
必收敛；
（B）若对于正项级数
有
，则级数
必发散；
（C）若级数
和
都是条件收敛，则级数
也一定条件收敛；
（D）若级数
发散，则级数
也一定发散．
5．若
，则下列
表
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达式中有意义的是 （ ）
（A）div（div
）；（B）grad（grad
）；（C）rot（rot
）；（D）grad（rot
）．
6．已知
均为
阶可逆阵，则
（ ）
（A）
； （Ｂ）
； （C）
； （D）
．
7．对于任意两个随机变量
和
，若
，则（）
（A）
； （B）
；
（C）
和
独立； （D）
和
不独立．
8．设随机变量
服从正态分布
，则概率
随
增加而（ ）
（A）单调增加； （B）单调减少； （C）保持不变； （D）有增有减．
二．填空题
9．已知
在闭区间
上连续且恒正，
，
，曲线
在对应于区间
上的弧长为
，则曲线
在对应于区间
上的一段弧上的平均曲率为
_______．
10．若椭圆域
绕
轴及
轴旋转所得体积分别是
及
，且
，则
____________．
11．函数
的麦克劳林级数
中的
______，而
时
_______，
____________．
12．点
是椭圆
上取定一点，
是该椭圆上任意一点，则线段
的最大值为______________．
13．设
，
为
的代数余子式（
），则
________．
14．设随机变量
与
相互独立，且
，则随机变量
与
的相关系数为_________．
三．解答题
15．证明函数
在
上可导，并研究其导函数
在
点处的连续性．
16．设
，在
内二阶可导，
。
（1）若
，证明：存在
，使得
。
（2）若
，证明：存在
，使得
。
17．计算二次积分
，其中
在
上连续，且有（1）
；（2）在
时，曲线
有水平渐近线
．
18．已知二阶线性齐次微分方程
有两个互为倒数的特解．
（1）求
； （2）求原方程的通解．
19．设
，计算曲面积分
，
其中
为球面
．
是曲面
的单位外法向．
20．设矩阵
的伴随矩阵
，且
，其中
为4阶单位矩阵，求矩阵
．
21．设
为线性方程组
的一个基础解系，
，
,……,
，
其中
为实常数，试问当
满足什么关系时，
也为
的一个基础解系．
22．设二维随机变量
的概率密度为
，
．
（1）求
的分布函数
及密度函数
； （2）求
及
．
23．设某种元件的使用寿命
的概率密度为
其中
为未知参数，又设
是
的一组样本观测值，求参数
的最大似然估计值．
2010 数学一 模拟试卷（2）
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
及解析
一．选择题：
1、（ A ）
[提示：首先确定
，然后根据
在
或
时，分母就等价于
]
2、（ C ）
3、（ C ）
4、（ D ）
[提示：（D）可用反证法，其他各选项的反例为（A）
，
；（B）
；（C）
，
]。
5、（ C ）
6、（ C ）
7、（ B ）
8、（ C ）
二．填空题：
9．
．
[提示：记曲线（切线）的倾角为
，在
的条件下，
，
。
请特别注意：平均值问题一定要搞清是关于什么“载体”而言，如果本题改为求“曲线
在对应于区间
上的平均曲率”少了几个字，意思完全不一样，其结果为
，
10．
．
11．
，而
时
．
12．
．
[可以利用拉格朗日乘数法，令
；更简单地可以用约束条件椭圆的参数方程对二元目标函数进行“消元”得一元目标函数
，
]
13．
．
14．
．
三．解答题：17~24小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．
解 （1）当
且
时，
；
（2）
；
（3）
．
综上所述，可知
函数
在在
上可导；
在
点处的连续性．
16．证明：（1）因为
，
，所以
为极小点。
因为
所以在
上有最大值
，同理
，则在
上有最大值
，不妨设
，由连续函数介质定理知，存在
，使得
，即有
，使得
。
注：
，否则函数为常数，这与
矛盾。
（2）当
时，令
，则
符合（1）的条件，于是存在
，使得
，所以
，即
。
17．解 因为在
时，曲线
有水平渐近线
，所以
．于是有
原式
．
18．解 由于两个特解互为倒数，所以它们不可能等于零且一定同号。又根据齐次方程解的齐次性，可认为它们都是正的。从而可设它们分别为
，
将它们分别代入原方程得：
；
．
得
，
，
；
得
，
．
在求出
的同时，也得到了原方程通解为
．
19．解：原式
，其中
，除了奇点
外，总成立
．
当
时，曲面
所围区域内没有奇点，由高斯公式可知
；
当
时，曲面
所围区域内有奇点
，所以曲面
可用
：
外侧来代替，这样就有
．
值．从而
的最大似然估计值为
．
20．解：
，
．
21．解：设有实数
使
，即
，
，
，
，
，这是一个关于
的齐次线性方程组，由于向量组
必线性无关，所以
只能全部等于零，故其系数行列式
，即
，从而有
为偶数时，
；
为奇数时，
．
22．解：（1）
，
．
所以
（2）
，
．
23．解： 似然函数
当
时，
，取对数得
，
，可知
是关于
的单调增加函数，所以
也是关于
的单调增加函数．
由于
，所以当
时，
有最大值．从而
的最大似然估计值为
．
浙公网安备 33021202002483