专题一:立体几何大题中有关体积的求法
角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法
1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的
矩形,则它的体积为 .
2.(2011广东卷文9)如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为( ).
A.
B.
C.
D.
练习
3.一个几何体的俯视图是一个圆,用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为
6和4的平行四边形,则该几何体的体积为___________.
4.一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积
与这个球的体积之比为 ▲ [来
二、转换法
当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量(底面积或高)不易求出时,可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解,该方法尤其适用于求三棱锥的体积.
5例 在边长为
的正方体
中,
分别是棱
上的点,且满足
,
,
(如图1),试求三棱锥
的体积.
6练习(2013年高考江西卷(文))如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD
,AD⊥AB,AB=2,AD=
,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3. 求点B1 到平面EA1C1 的距离
三、割补法
分割法也是体积计算中的一种常用方法,在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法.
7例已知三棱锥
,其中
,
,
求:三棱锥
的体积。
8练习 如图2,在三棱柱
中,
分别为
的中点,平面
将三棱柱分成两部分,求这两部分的体积之比
9练习。如图(3),是一个平面截长方体的剩余部分,
已知
,
求几何体
的体积。
10四面体
的三组对棱分别相等,且依次为
,
求四面体
的体积。
巩固练习
11. 如图,在四棱锥
中,底面为直角梯形,
,
垂直于底面
,
分别为
的中点。
(1) 求四棱锥
的体积
;(2)求截面
的面积。
12. 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,
,AA1=4,点D是AB的中点.
求多面体
的体积.
13. 如图3,直四棱柱
的底面
是菱形,
,其侧面展开图是边长为
的正方形。
、
分别是侧棱
、
上的动点,
.
问多面体
的体积
是否为常数?若是,求这个常数,若不是,求
的取值范围.
14. 如图,已知
中,
,
,
⊥平面
,
,
、
分别是
、
上的动点,且
.
(1)求证:不论
为何值,总有EF⊥平面
;
(2)若
,求三棱锥
的体积.
15. 如图,已知
是底面为正方形的长方体,
,
,点
是
上的动点.
试求四棱锥
体积的最大值;
16. 如图,
为圆
的直径,点
、
在圆
上,
,矩形
所在的平面
和圆
所在的平面互相垂直,且
,
.
设平面
将几何体
分成的两个锥体的体积分别为
,
,求
.
专题一:立体几何大题中有关体积的求法
1-4略
5解:
.
6
7解:作
的中点
,连接
、
,
过
作
,垂足
易证
即为三棱锥
的高,
由棱锥体积公式
即得 三棱锥
的体积
。
8设棱柱的底面积为
,高为
,其体积
.
则三角形
的面积为
.
由于
,
则剩余不规则几何体的体积为
,
所以两部分的体积之比为
.
9首先通过梯形
的中位线重合,我们可以求得
,
分别延长
到
,使得
,
则我们可得
故长方体
的体积是几何
体
的二倍。
故
10 把四面体
补形成一个长方体
,
三度分别是
则
11
12
13
14
15
16
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