[教学]欧拉法与龙格库塔法比较分析

[教学]欧拉法与龙格库塔法比较分析[教学]欧拉法与龙格库塔法比较分析解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较欧拉方法(Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。缺点: 欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。改进欧拉格式(向前欧拉公式): 为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。算法: ...

[教学]欧拉法与龙格库塔法比较分析解微分方程的欧拉法，龙格-库塔法简单实例比较欧拉方法(Euler method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题 )求解分为前EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。缺点: 欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。改进欧拉格式(向前欧拉公式): 为提高精度，需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。算法: 微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程: dy,fxy(,)xab,[,] dx yay(), 0 '可以将区间分成段，那么方程在第点有，再用n[,]abyxfxyx()(,()),xiiii 向前差商近似代替导数则为: ((1)())yxyx，,ii,fxyx(,()) iih h在这里，是步长，即相邻两个结点间的距离。因此可以根据点和的数xyii值计算出来: yi，1 yyhfxy,，，(,)iL,0,1,2,？ iiii，1 这就是向前欧拉公式。改进的欧拉公式: 将向前欧拉公式中的导数改为微元两端导数的平均，即上式便是梯形的fxy(,)ii 欧拉公式。可见，上式是隐式格式，需要迭代求解。为了便于求解，使用改进的欧拉公式: 数值分析中，龙格,库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。实际上，龙格-库塔法是欧拉方法的一种推广，向前欧拉公式将导数项简单取为,而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数fxy(,)nn 的平均。龙格-库塔方法的基本思想: 在区间内多取几个点，将他们的斜率加权平均，作为导数的近似。[,]xxnn，1 龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。令初值问题表述如下。 'yty(),yfty,(,) 00 则，对于该问题的RK4由如下方程给出: h,，，，，(22)yykkkk nn，112346 其中 kfty,(,) 1nn hh(,)kftyk,，， 21nn22 hh(,)kftyk,，， 32nn22 kfthyhk,，，(,) 43nn h这样，下一个值由现在的值加上时间间隔和一个估算的斜率的乘积决yyn，1n 定。该斜率是以下斜率的加权平均: 是时间段开始时的斜率; k1 h 是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率来决定在点的值; t，ykkn212 也是中点的斜率，但是这次采用斜率决定值; ykk32 是时间段终点的斜率，其值用决定。 ykk43 当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值: kkkk，，，221234slope, 6 54hhRK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是阶，而总积累误差为阶。注可以是向量)都适用。意上述公式对于标量或者向量函数(y hxh,,0.2;0::4例子: 下面给出了数值求解该微分方程的简单程序。 yyyy,,,其中分别为向前欧拉公式，改进的欧拉公式，4级4阶龙格-库塔1234 公式及精确解。结果分析: x,2图1中显示在时，3种算法与精确值较接近，即误差不大，但当x继续增加 x,3.5时则4级4阶龙格库塔法较精确，但也有一定限度，当时，计算值与精确值得差别将越来越大。从图2中可以清楚的看到这一结果，其中''yyy,,，141''yyy,,，''yyy,,。 242343 图1 图2

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