2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编专题1：动点问题

2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编专题1：动点问题 2012年全国中考数学(100套)压轴题分类解析汇编 专题1:动点问题 1. (2012上海市14分)如图，在半径为2的扇形AOB中，?AOB=90?，点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD?BC，OE?AC，垂足分别为D、E( (1)当BC=1时，求线段OD的长; (2)在?DOE中是否存在长度保持不变的边,如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由; (3)设BD=x，?DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域( 11【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】解:(1)?点O是圆心，OD?BC，BC=1，?BD=BC=。 22 2115,,222 又?OB=2，?。 OD=OBBD2,,,,,,22,, (2)存在，DE是不变的。 22AB=OB+OA22,如图，连接AB，则。 1?D和E是中点，?DE=。 AB=22 2(3)?BD=x，?。 OD4x,, 0??1=?2，?3=?4，?AOB=90。 ??2+?3=45?。 24x,过D作DF?OE，垂足为点F。?DF=OF=。 2 BDOD由?BOD??EDF，得，即 =EFDF 21x4x,，解得EF=x。 =2EF24x, 2 2x+4x,?OE=。 2 ? 2222114xx+4x4x+x4x,,,,yDFOE=0x2,,,,,()<<。 22422 径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三【考点】垂 角形的判定和性质。 11【分析】(1)由OD?BC，根据垂径定理可得出BD=BC= ，在Rt?BOD中利用勾股22 定理即可求出OD的长。 (2)连接AB，由?AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE= 。 2 2(3)由BD=x，可知，由于?1=?2，?3=?4，所以?2+?3=45?，过OD4x,, 224x,1x+4x,D作DF?OE，则DF=OF=，EF=x，OE=，即可求得y关于x的函222 数关系式。 22AB=OB+OA22, ?，点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)， ?。 0x2<< 2. (2012福建南平14分)如图，在?ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且?1=?B=?C( (1)由题设条件，请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明) 答:结论一: ;结论二: ;结论三: ( (2)若?B=45?，BC=2，当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合)， ?求CE的最大值; ?若?ADE是等腰三角形，求此时BD的长( (注意:在第(2)的求解过程中，若有运用(1)中得出的结论，须加以证明) 【答案】解:(1)AB=AC;?AED=?ADC;?ADE??ACD。 (2)???B=?C，?B=45?，??ACB为等腰直角三角形。 22ACBC22,,，,?。 22 ??1=?C，?DAE=?CAD，??ADE??ACD。 22ADAD22,ADAE,,?AD:AC=AE:AD，? 。 2AC 2 1当AD最小时，AE最小，此时AD?BC，AD=BC=1。 2 22222，,12,,?AE的最小值为 。?CE的最大值= 。 2222 ?当AD=AE时，??1=?AED=45?，??DAE=90?。 ?点D与B重合，不合题意舍去。 当EA=ED时，如图1，??EAD=?1=45?。 ?AD平分?BAC，?AD垂直平分BC。?BD=1。 当DA=DE时，如图2， ??ADE??ACD，?DA:AC=DE:DC。 ?DC=CA=。?BD=BC,DC=2,。 22 综上所述，当?ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2,。 2 【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰(直角)三角形的判定和性质。 【分析】(1)由?B=?C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC;由?1=?C，?AED=?EDC+?C得到?AED=?ADC;又由?DAE=?CAD，根据相似三角形的判定可得到?ADE??ACD。 (2)?由?B=?C，?B=45?可得?ACB为等腰直角三角形，则 22ACBC22,,，,，由?1=?C，?DAE=?CAD，根据相似三角形的判定可得22 22ADAD22,AD?ADE??AE,,ACD，则有AD:AC=AE:AD，即，当AD?BC，2AC 2 AD最小，此时AE最小，从而由CE=AC,AE得到CE的最大值。 ?分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。 3. (2012甘肃兰州12分)如图，Rt?ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y 22轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(,3，0)、(0，4)，抛物线y,x3 5，bx，c经过点B，且顶点在直线x,上( 2 (1)求抛物线对应的函数关系式; (2)若把?ABO沿x轴向右平移得到?DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由; (3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得?PBD的周长最小，求出P点的坐标; (4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，?PMN的面积为S，求S和t的作? 函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值,若存在，求出最大值和此时M点的坐标;若不存在，说明理由( 22【答案】解:(1)?抛物线y,x，bx，c经过点B(0，4)，?c,4。 3 b5510?顶点在直线x,上，?,=，解得。 b=,22232,3 2102?所求函数关系式为。 y=xx+4,33 22(2)在Rt?ABO中，OA,3，OB,4，?ABOAOB5=，,。 ?四边形ABCD是菱形，?BC,CD,DA,AB,5。 ?C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)， 2102当x,5时，; y=55+4=4，,，33 2102当x,2时，。 y=22+4=0，,，33 ?点C和点D都在所求抛物线上。 )设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点， (3 设直线CD对应的函数关系式为y,kx，b， 4,k=,5k+b=4,48,3则，解得，。?直线CD对应的函数关系式为。 y=x,,,2k+b=0833,,b=,,3, 5458252当x,时，。?P()。 y==，,， 2323323 (4)?MN?BD，??OMN??OBD。 OMONtONt?，即，得。 ,,ON,2OBOD42 设对称轴交x于点F，则 112555,,。 SPFOMOF=+t=t+,,，,,,，，梯形PFOM,,223246,, 11112?， ,,,,,SOMON=tt=t,MON2224 1151215,, ， SNFPF=t=t+,,,,,,,,PME,,2222366,, S=SSS,,,,MONPME梯形PFOM 55115117,,22 (0,t,4)。 ,,,,,,t+tt+t+t,,46466412,, 2117117289117,,2?，，0,,4， S=t+t=t+,,,,<0,,4124614446,, 1728917?当时，S取最大值是。此时，点M的坐标为(0，)。 t=61446 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质， 菱形的性质，相似三角形的判定和性质。 252【分析】(1)根据抛物线y,x，bx，c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x,上，得出32b，c即可。 (2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x,5或2时，y的值即可。 5(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y,kx，b，求出解析式，当x,时，求2出y即可。 OMONt(4)利用MN?BD，得出?OMN??OBD，进而得出，得到，,ON,2OBOD从而表示出?PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。 1324. (2012广东省9分)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于y=xx9,,22 AC( 点C，连接BC、 (1)求AB和OC的长; (2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行BC，交AC于点D(设AE的长为m，?ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围; )在(2)的条件下，连接CE，求?CDE面积的最大值;此时，求出以点E为圆心，与(3 BC相切的圆的面积(结果保留π)( 132【答案】解:(1)在中， y=xx9,,22 令x=0，得y=,9，?C(0，,9); 132令y=0，即，解得:x=,3，x=6，?A(,3，0)、B(6，xx9=0,,1222 0)。 ?AB=9，OC=9。 22SAEsm,,,,,AED,,(2)?ED?BC，??AED??ABC，?，即:。 ,,,,19SAB,,,,,ABC,,992 12?s=m(0,m,9)。 2 1912(3)?S=AE•OC=m，S=s=m， ??AECAED222 ?S=S,S???EDCAECAED 19198122=,m+m=,(m,)+。 22228 81??CDE的最大面积为， 8 99此时，AE=m=，BE=AB,AE=。 22 22BC6+9=313,又， EFBE过E作EF?BC于F，则Rt?BEF?Rt?BCO，得:，即:,OCBC 9 EF2。 ,9313 27?。 EF13,26 7292?以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S=π•EF=。 ,?E52【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。 【分析】(1)已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标;当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。 (2)直线l?BC，可得出?AED??ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式;根据题目条件:点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。 (3)?首先用m列出?AEC的面积表达式，?AEC、?AED的面积差即为?CDE的面积，由此可得关于S关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S的最大面??CDECDE积以及此时m的值。 ?过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的?E的半径，可根据相似三角形?BEF、?BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。 5. (2012贵州毕节16分)如图，直线l经过点A(,1，0)，直线l经过点B(3，0), l、l1212 2y=ax+bx+c(a0),均为与y轴交于点C(0，,3)，抛物线经过A、B、C三点。 (1)求抛物线的函数表达式; (2)抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与l交于点E、与抛物线交于点F、与l交于x21点G。求证:DE=EF=FG; (3)若l?l于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使?PCG为等腰三角形，请写12 出符合条件的点P的坐标，并简述理由。 2y=ax+bx+c(a0),,3【答案】解:(1)?抛物线经过A(,1，0)，B(3，0)，C(0，)三点， ,3 a,,, abc0,，,3,,9a3bc0 ，，,? ，解得。 ,,23,b,,,3c3,,,, ,c3,,,,,3232y=x+x3,?抛物线的解析式为:( 33 (2)证明:设直线l的解析式为y=kx+b，由直线l经过A(,1，0)，C(0，11 ,3)，得 ,,，,kb0 ,k3 ,,,,? ，解得，?直线l的解析式为:y=-x 。 ,3,31,,b3,,b3,,,,,, 直线l经过B(3，0)，C(0，,3)两点，同理可求得直线l解析式为:223y= x,3 。 3 32334322y=x+x3=x1,,,?抛物线， ，，3333 43,?对称轴为x=1，D(1，0)，顶点坐标为F(1， )。 3 323,点E为x=1与直线l:y= x,3的交点，令x=1，得y= ，?E233 23,(1， )。 3 ,3,3,23点G为x=1与直线l:y=-x 的交点，令x=1，得y= ，1 ,23?G(1，)。 2343,,,23?各点坐标为:D(1，0)，E(1， )，F(1，)，G(1， )，33它们均位于对称轴x=1上。 23?DE=EF=FG=。 3 (3)如图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P，CP11交对称轴于H点，连接CF，PG。 ?PCG为等腰三角形，有三种情况: ?当CG=PG时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P满足PG=CG。 11 ,3,3?C(0，)，对称轴x=1，?P(2， )。 1 ?当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG。 ,3,3如图，C(1， )，H点在x=1上，?H(1，)。 ,23,33在Rt?CHG中，CH=1，HG=|y,y|=| ,()|= ， GH 22?由勾股定理得:。?PC=2( CG132,，,，， 如图，CP=2，此时与?中情形重合。 1 22又Rt?OAC中，，?点A满足PC=2的条件，但点A、AC132,，,，， C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。 ?当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上. ?l?l，??ECG为直角三角形。 12 由(2)可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。 43,?CF=FG，?F为满足条件的P点，?P(1，)。 23 CG3cosCGE，,,又，??CGE=30?。??HCG=60?。 EG2 又PC=CG，??PCG为等边三角形。 11 ?P点也在CG的垂直平分线上，此种情形与?重合。 1 43,,3综上所述，P点的坐标为P(2， )或P2(1， )。 13【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】(1)已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。 (2)D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度。D是对称轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求;E是对称轴与直线l交点，需要求出l的解析式，G是对称轴与l的交点，需要求出l的解析式，而A、2211B、C三点坐标已知，所以l、l的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。 12 (3)?PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论:CG=PG，CG=PC，PC=PG。 6. (2012贵州遵义12分)如图，?ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B AB于E，连接PQ交AB于D( 向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE? (1)当?BQD=30?时，求AP的长; (2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化,如果不变，求出线段ED的长;如果变化请说明理由( 【答案】解:(1)??ABC是边长为6的等边三角形，??ACB=60?。 ??BQD=30?，??QCP=90?。 设AP=x，则PC=6,x，QB=x，?QC=QB+C=6+x。 11?在Rt?QCP中，?BQD=30?，?PC=QC，即6,x=(6+x)，解得22x=2。 ?当?BQD=30?时，AP=2。 (2)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下: 作QF?AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。 ?PE?AB于E，??DFQ=?AEP=90?。 ?点P、Q做匀速运动且速度相同，?AP=BQ。 ??ABC是等边三角形，??A=?ABC=?FBQ=60?。 ?在?APE和?BQF中， ??A=?FBQ，AP=BQ，?AEP=?BFQ=90?，??APE??BQF(AAS)。 ?AE=BF，PE=QF且PE?QF。?四边形PEQF是平行四边形。 1?DE=EF。 2 1?EB+AE=BE+BF=AB，?DE=AB。 2 又?等边?ABC的边长为6，?DE=3。 ?当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。 【考点】动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。 【分析】(1)由?ABC是边长为6的等边三角形，可知?ACB=60?，再由?BQD=30?可知 1?QCP=90?，设AP=x，则PC=6,x，QB=x，在Rt?QCP中，?BQD=30?，PC=QC，即2 16,x=(6+x)，求出x的值即可。 2 (2)作QF?AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出?APE??BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE?QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出 1EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边?ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运2 动时，线段DE的长度不会改变。 37. (2012湖北宜昌12分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交3 于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA 向上移动，作等边?CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a(x,m) 2+n经过点E(?M与x轴、直线AB都相切，其半径为3(1,)a( 3 (1)求点A的坐标和?ABO的度数; (2)当点C与点A重合时，求a的值; (3)点C移动多少秒时，等边?CDE的边CE第一次与?M相切, 3【答案】解:(1)当x=0时，y=1;当y=0时，x=,， 3 ?OA=1，OB=。?A的坐标是(0，1)。 OA13,,?tan?ABO=。??ABO=30?。 OB33 3OD(2)??CDE为等边三角形，点A(0，1)，?tan30?=，?OD=。 3OA 33?D的坐标是(,，0)，E的坐标是(，0)， 33 332把点A(0，1)，D(,，0)，E(，0)代入 y=a(x,m)+n，33得 , ,21=am+n, ,a=3,,2,,,3,0=am+n,,m=0，解得。?a=,3。 ,,,,,,3,,,,n=1,,2,,3,0=am+n,,,,,,3,,, (3)如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH?x轴，H为垂足，过A作AF?CH，F为垂足。 ??CDE是等边三角形，?ABO=30?， ??BCE=90?，?ECN=90?。 ?CE，AB分别与?M相切，??MPC=?CNM=90?。?四边形MPCN为矩形。 ?MP=MN，?四边形MPCN为正方形。 ?MP=MN=CP=CN=3(1,3)a(a,0)。 EC和x轴都与?M相切，?EP=EQ。 ? ??NBQ+?NMQ=180?，??PMQ=60?。??EMQ，=30?。 PE?在Rt?MEP中，tan30?=，?PE=(3,3)a。 PM ?CE=CP+PE=3(1,3)a+(3,3)a=,23a。 33?DH=HE=,a，CH=,3a，BH=,3a。 3333?OH=,3a,，OE=,4a,。 3333?E(,4a,，0)，C(,3a,，,3a)。 233设二次函数的解析式为:y=a(x+3a+),3a， 23333?E在该抛物线上，?a(,4a,+3a+),3a=0， 2得:a=1，解之得a=1，a=,1。 12 ?a,0，?a=,1。 3?AF=2，CF=2，?AC=4。 ?点C移动到4秒时，等边?CDE的边CE第一次与?M相切。 【考点】动点问题，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质，直线与圆相切的性质。 【分析】(1)已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标;令y=0，能得到B点坐标;在Rt?OAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到?ABO的值。 (2)当C、A重合时，可知点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值。 (3)作出第一次相切时的示意图，已知的条件只有圆的半径，那么连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与?M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标;那么可以从PE=EQ，即Rt?MEP入手，首先 ?CED=60?，而?MEP=?MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E的坐标(然后利用C、E的坐标确定a的值，从而可求出AC的长，由此得解。 8. (2012湖南常德10分)已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连结DP，作CN?DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON。(当P在线段BC上时，如图1:当P在BC的延长线上时，如图2) (1)请从图1，图2中任选一图证明下面结论: BN=CP: ?OP=ON，且OP?ON ? (2) 设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。 【答案】(1)证明:如图1， ??四边形ABCD是正方形， ?OC=OB，DC=BC，?DCB=?CBA=90?，?OCB=?OBA=45?，?DOC=90?，DC?AB。 ?DP?CN，??CMD=?DOC=90?。 ??BCN+?CPD=90?，?PCN+?DCN=90?。??CPD=?CNB。 ?DC?AB，??DCN=?CNB=?CPD。 ?在?DCP和?CBN中，?DCP=?CBN，?CPD=?BNC，DC=BC， ??DCP??CBN(AAS)。?CP=BN。 ??在?OBN和?OCP中，OB=OC，?OCP=?OBN， CP=BN ， ??OBN??OCP(SAS)。?ON=OP，?BON=?COP。 ??BON+?BOP=?COP+?BOP，即?NOP=?BOC=90?。 ?ON?OP。 (2)解:?AB=4，四边形ABCD是正方形，?O到BC边的距离是2。 11图1中，， ,，,,,,，,,,()()SSS4x2x240x4<<,,OBNBOP四形边OPBN22 图2中， 1112。 ,，,,,，,,,,,()()SSSx2x4x xxx4>,,POBPBN四形边OBNP222 ?以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是: 40x4()<<,, 。 y=,12 xxx4,()>,,2 【考点】正方形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定，分段函数，点到直线的距离。 【分析】(1)对于图1，证明线段相等，一般情况下找全等。根据BN，CP的分布情况 可以观察?CNB和?DPC，然后证明两三角形全等。也可以观察?CAN和?DBP，证明AN=BP，从而有BN=CP。 对于图2，证明如下: ??ABCD为正方形，AC，BD为对角线，??DCP=90º。 ?CM?DP， ??PCM=?PDC。??PDB=?CAN。 又??DPB=?ANC，BD=AC，??PDB??NCA(ASA)。 ?PB=AN，DP=CN。?CP=BN。 ???PDB=?CAN，OD=OC， CP=BN，??PDO??NCO(SAS)。 ?OP=ON，?DOP=?CON。 ??DOC=90º，??PON=?NOC+POC=?DOP+?POC=?DOC=90º。?OP?ON。 (2)求以O、P、B、N为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图1中，S=S+S，，;图2中，S=S+S，代入四边形??四边形??OPBNOBNBOPOBNPPOBPBN求出即可。 9. (2012湖南张家界10分)如图，?O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C CBA作?O的切线DC，P点为优弧上一动点(不与A(C重合)( (1)求?APC与?ACD的度数; (2)当点P移动到CB弧的中点时，求证:四边形OBPC是菱形( (3)P点移动到什么位置时，?APC与?ABC全等，请说明理由( 【答案】解:(1)连接AC，如图所示: 1?AB=4，?OA=OB=OC=AB=2。 2 ?AC=2，?AC=OA=OC。??ACO为等边三角形。 又 ??AOC=?ACO=?OAC=60?， 1??APC=?AOC=30?。 2 又DC与圆O相切于点C，?OC?DC。??DCO=90?。 ??ACD=?DCO,?ACO=90?,60?=30?。 (2)连接PB，OP， ?AB为直径，?AOC=60?，??COB=120?。 当点P移动到弧CB的中点时，?COP=?POB=60?。 ??COP和?BOP都为等边三角形。?AC=CP=OA=OP。 ?四边形AOPC为菱形。 (3)当点P与B重合时，?ABC与?APC重合，显然?ABC??APC。 当点P继续运动到CP经过圆心时，?ABC??CPA，理由为: ?CP与AB都为圆O的直径，??CAP=?ACB=90?。 在Rt?ABC与Rt?CPA中，AB=CP，AC=AC ?Rt?ABC?Rt?CPA(HL)。 综上所述，当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时，?ABC??CPA。 【考点】切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。 【分析】(1)连接AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即?AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60?，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到?APC为30?，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出?OCD为直角，用?OCD-?OCA可得出?ACD的度数。 (2)由?AOC为60?，AB为圆O的直径，得到?BOC=120?，再由P为CB 的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出?COP=?BOP=60?，从而得到?COP与?BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形。 (3)点P有两个位置使?APC与?ABC全等，其一:P与B重合时，显然两三角形全等;第二:当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等。 10. (2012江苏无锡10分)如图，菱形ABCD的边长为2cm，?DAB=60?(点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动;与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动(当P运动到C点时，P、Q都停止运动(设点P运动的时间为ts( )当P异于A(C时，请说明PQ?BC; (1 (2)以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问:在整个运动过程中，t为怎样的值时，?P与边BC分别有1个公共点和2个公共点, 【答案】解:(1)?四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2， 1?AB=BC=2，?BAC=?DAB。 2 又??DAB=60?，??BAC=?BCA=30?。 如图1，连接BD交AC于O。 ?四边形ABCD是菱形， 1?AC?BD，OA=AC。 2 1?OB=AB=1。?OA=，AC=2OA=2。 332 APAC=3,运动ts后，AP=t，AO=t，?。 3AQAB 又??PAQ=?CAB，??PAQ??CAB.??APQ=?ACB. ?PQ?BC. (2)如图2，?P与BC切于点M，连接PM，则PM?BC。 13在Rt?CPM中，??PCM=30?，?PM=。 PC=3t,22 3由PM=PQ=AQ=t，即=t，解得t=， 3t,436,2 此时?P与边BC有一个公共点。 如图3，?P过点B，此时PQ=PB， ??PQB=?PAQ+?APQ=60? ??PQB为等边三角形。?QB=PQ=AQ=t。?t=1。 ?当时，?P与边BC有2个公共点。 436t1,,< 如图4，?P过点C，此时PC=PQ，即 =t 233t, ?t=。 33, ?当1?t?时，?P与边BC有一个公共点。 33, 当点P运动到点C，即t=2时，Q、B重合，?P过点B， 此时，?P与边BC有一个公共点。 综上所述，当t=或1?t?或t=2时，?P与菱形ABCD的436,33, 边BC有1个公共点;当时，?P与边BC有2个公共点。 436t1,,< 【考点】直线与圆的位置关系，菱形的性质，含30?角直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，切线的性质，等边三角形的判定和性质。 【分析】(1)连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB(利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知?PAQ??CAB;然后根据“相似三角形的对应角相等”证得?APQ=?ACB;最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论。 (2)分?P与BC切于点M，?P过点B，?P过点C和点P运动到点C四各情况讨论即可。 11. (2012江苏南通12分)如图，在?ABC中，AB,AC,10cm，BC,12cm，点D是BC边的中点(点P从点B出发，以acm/s(a,0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随 之停止运动，设它们运动的时间为ts( (1)若a,2，?BPQ??BDA，求t的值; (2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形( 5 ?若a,，求PQ的长; 2 ?是否存在实数a，使得点P在?ACB的平分线上,若存在，请求出a的值;若不 存在，请说明 理由( 1【答案】解:(1)?ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，?BD=CD=BC=6。 2 ?a=2，?BP=2t，DQ=t。?BQ=BD,QD=6,t。 18BPBQt6t,??BPQ??BDA，?，即，解得:。 t=,,13BDAB610 (2)?过点P作PE?BC于E， ?四边形PQCM为平行四边形， ?PM?CQ，PQ?CM，PQ=CM。 ?PB:AB=CM:AC。 ?AB=AC，?PB=CM。?PB=PQ。 11?BE=BQ=(6,t)。 22 5 5 ?a=，?PB=t。 22 51t(6t),22,?AD?BC，?PE?AD。?PB:AB=BE:BD，即。 106 3解得，t=。 2 5 15?PQ=PB=t=(cm)。 24 ?不存在(理由如下: ?四边形PQCM为平行四边形，?PM?CQ，PQ?CM，PQ=CM。 ?PB:AB=CM:AC。 ?AB=AC，?PB=CM，?PB=PQ。 若点P在?ACB的平分线上，则?PCQ=?PCM， ?PM?CQ，??PCQ=?CPM。??CPM=?PCM。 ?PM=CM。?四边形PQCM是菱形。?PQ=CQ。 ?PB=CQ。 PB=at，CQ=BD+QD=6+t，?PM=CQ=6+t，AP=AB,PB=10,at，且 ? at=6+t?。 6t10at，,?PM?CQ，?PM:BC=AP:AB，?，化简得:6at+5t=30?。 ,1210 6把?代入?得，t=。 ,11 ?不存在实数a，使得点P在?ACB的平分线上。 【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的判定和性质，反证法。 【分析】(1)由?ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合 一的性质， 即可求得BD与CD的长，又由a=2，?BPQ??BDA，利用相似三角形的对应边成比例， 即可求得t的值。 (2)?首先过点P作PE?BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ， 又由平行 51t(6t),22,线分线段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 106 ?用反证法，假设存在点P在?ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM:BC=AP:PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在。 ykxb,，12. (2012江苏泰州12分) 如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与1 c反比例函数 y,2x 5ykxb,，的图象相交于B(,1，5)、C(，d)两点(点P(m，n)是一次函数的图象12 上的动点( (1)求k、b的值; 3c(2)设，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D(试问?PADy,,,,1m2x2 的面积是 否存在最大值,若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标;若不存在，请说明理由; (3)设，如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数，m1a,, 求实数a的取值 范围( cc【答案】解:(1)将点B 的坐标代入，得 ，解得。 y,5,c=5,2,1x 5 ?反比例函数解析式为。 y,,2x 5555 将点C(，d)的坐标代入，得。?C(，,2)。 d=2,,,y,,2522x 2 5 ?一次函数的图象经过B(,1，5)、C(，,2)两点， ykxb,，12 5kb,,，,k=2,,, ?，解得。 ,5,b=3,,，2kb,,2, (2)存在。 33 令y0,，即，解得。?A(，0)。 ,，,2x30x,122 由题意，点P(m，n)是一次函数y2x3,,，的图象上的动点，且1 3 ,,,1m2 3n, ?点P在线段AB 上运动(不含A、B)。设P()。 ，n2 5 ?DP?x轴，且点D在的图象上， y,,2x 55 ?，即D()。 ,，nyynx=,,,，DPDnn 2113n51349,,,,, ??PAD的面积为。 SPDOP=+n=n+,,,,,,,,,,222n4216,,,, ?S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。 33 又?n=，，得，而。 0n=5,,,，2m30n5,,,,,1m22 33349 ?当时，即P()时，?PAD的面积S最大，为。 n=， 21642 (3)由已知，P()。 1a,2a+1, 易知m?n，即，即。 1a2a+1,,a0, m1n<< 若，则。 a0> 1 由题设，，解出不等式组的解为。 m0n2>，,0a<,2 n1m<< 若，则。 a0< 1 由题设，n0m2,，<，解出不等式组的解为。 ,,a0<2 11 综上所述，数a的取值范围为，。 ,,a0<0a<,22【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。 【分析】(1)根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得，从而得到c=5, 55;由点C在上求得，即得点C的坐标;由点B、C在ykxb,，上，y,,y,,d2,,122xx 得方程组，解出即可求得k、b的值。 (2)求出?PAD的面积S关于n的二次函数(也可求出关于m)，应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。 (3)由m?n得到。分和两种情况求解。 a0,a0>a0< 13. (2012江苏常州9分)已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x，DE=y。 (1)写出y与x之间的函数关系式 ? ; (2)若点E与点A重合，则x的值为 ? ; (3)是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上,若存在，求x的值;若不存在，请说明理由。 2【答案】解:(1)y=,x，4x。 (2)或。 2+222, (3)存在。 过点P作PH?AB于点H。则 ?点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上， 22 ?P D′=PD=4,x，E D′=ED= y=,x，4x，EA=AD,ED= x,4x，2，?P 0D′E=?D=90。 在Rt?D′P H中，PH=2， D′P =DP=4,x， 2224x2x8x+12,,,,D′H=。 ，， 000 ?? E D′A=180,90,?P D′H=90,?P D′H=?D′P H，?P D′E=?P 0HD′ =90， 22,,x4xx4x+2，E DEA,, ??E D′A??D′P H。?，即， ,24x,DPDH,,x8x+12, 2x4x+2,2x, 即，两边平方并整理得，2x,4x，1=0。解得2x8x+12, 22,x,。 2 2,,2+22+25+222+2x,,,+4=2>?当时，y=， ,,,,2222,, ?此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去(实际上是无理方程的增根)。 2,,22225+22,,22,x,?当时，y=,,+4=2<， ,,,,2222,, ?此时，点E在边AD上，符合题意。 22,x,?当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。 2 【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。 【分析】(1)?CM=1，CP=x，DE=y，DP=4,x，且?MCP??PDE， DEDPy4x,2 ?，即。?y=,x，4x。 ,,x1CPCM 222)当点E与点A重合时，y=2，即2=,x，4x，x,4x，2=0。 ( 解得。 x22,, (3)过点P作PH?AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得?E D′A与?D′P H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。 14. (2012江苏徐州8分)如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形 2EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题: (1)自变量x的取值范围是 ? ; (2)d= ? ，m= ? ，n= ? ; 2(3)F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm, 【答案】解:(1)0?x?4。 (2)3，2，25( (3)过点E作EI?BC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。 ?EI=DC=3，CI=DE=x。 ?BF=x，?IF=4,2x。 22222EFEIIF342 x,,,，， 在Rt?EFI中，。 ，， ?y是以EF为边长的正方形EFGH的面积， 22y342 x,,， ?。 ，， 22342 x16，,, 当y=16时，， ，， 4747，,xx,,，解得，。 1222 47，47,2?F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm。 22 【考点】动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。 【分析】(1)自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间，由时间=距离?速度，即可求。 (2)由图2知，正方形EFGH的面积的最小值是9，而正方形EFGH的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=AB=EF=3。 当正方形EFGH的面积最小时，由BF=DE和EF?AB得，E、F分别为AD、BC的中点，即m=2。 当正方形EFGH的面积最大时，EF等于矩形ABCD的对角线，根据勾股定理，它为5，即n=25。 47， (3)求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式，即可求得F出发或247,2秒时，正方形EFGH的面积为16cm。 2 15. (2012四川乐山13分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，m)，点B的坐标为(n，,n)，抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点 2C(已知实数m、n(m,n)分别是方程x,2x,3=0的两根( (1)求抛物线的解析式; (2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合)，直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧)，连接OD、BD( ?当?OPC为等腰三角形时，求点P的坐标; ?求?BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标( 2【答案】解:(1)解方程x,2x,3=0，得 x=3，x=,1。 12 ?m,n，?m=,1，n=3。?A(,1，,1)，B(3，,3)。 2?抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax+bx。 1,a=,,ab=1,,,,2?，解得:。 ,,19a3b=3,,,,b=,2, 112?抛物线的解析式为。 y=x+x,22 (2)?设直线AB的解析式为y=kx+b。 1,k=,,,,k+b=1,,2?，解得:。 ,,33k+b=3,,,b=,,2, 13?直线AB的解析式为。 y=x,,22 3?C点坐标为(0，)。 ,2 ?直线OB过点O(0，0)，B(3，,3)，?直线OB的解析式为y=,x。 ??OPC为等腰三角形，?OC=OP或OP=PC或OC=PC。 设P(x，,x)。 3232922x=x=，,(i)当OC=OP时，，解得(舍去)。 x+x=,，，12444 3232，,?P()。 144 33(ii)当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，?P()。 ，,244 2393,,2(iii)当OC=PC时，由，解得(舍去)。 x+x+=,x=x=0，12,,242,, 33?P()。 ，,322 32323333，,综上所述，P点坐标为P()或P()或P()。 ，,，,123444422 过点D作DG?x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH?x轴，垂足? 为H( 112设Q(x，,x)，D(x，)( ,x+x22 11S=S+S=DQ•OG+DQ•GH ???BODODQBDQ22 1=DQ(OG+GH) 2 111，，,,2= x+x+x3,,,,,,222,,，， 23327,,=。 x+,,,4216,, 32733?0,x,3，?当时，S取得最大值为，此时D()。 x=， ,21628【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，等腰三角形的性质，二次函数的最值。 【分析】(1)首先解方程得出A，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可。 (2)?首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可。 ?利用S=S+S得出关于x的二次函数，从而得出最值即可。 ???BODODQBDQ 16. (2012四川攀枝花12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A(C(D 4均在坐标轴上，且AB=5，sinB=( 5 (1)求过A(C(D三点的抛物线的解析式; 2(2)记直线AB的解析式为y=mx+n，(1)中抛物线的解析式为y=ax+bx+c，求当y,121 y时，自变量x的取值范围; 2 )设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A(E两点之间的一(3 个动点，当P点在何处时，?PAE的面积最大,并求出面积的最大值( 4【答案】解:(1)?四边形ABCD是菱形，且AB=5，?AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=。 5 在Rt?OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3，?OA=AD,OD=2。 ?A(,2，0)、B(,5，4)、C(0，4)、D(3，0)。 设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x,3)，将C(0，4)代入得: 22×(,3)a=4，解得a=,。 3 2222?抛物线的解析式为y=(x+2)(x,3)。 ,,x+x+4333 48(2)由A(,2，0)、B(,5，4)得直线AB:。 yx,,,133 222由(1)得:，则: yx+x+4,,233 48,x5,yx,,,,2,x2,,,,,133，解得:，。 ,,28,y0,22y,,2,12,,yx+x+4,,3,,33, 由图可知:当y,y时，,2,x,5。 12 (3)?S等于AE和AE上高乘积的一半， ?PAE ?当在抛物线上A(E两点之间，P到直线AB的距离最大时，S最大。 ?PAE 若设直线L?AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P。 4设直线L:， yx+b,,3 4222当直线L与抛物线有且只有一个交点时，，且?=0。 ,,,x+bx+x+4333 4222由化简，得 ,,,x+bx+x+4333 2， 2x6x+3b120,,, 2， ,,,，，,,,=6423b1224b+132=0，，，， 11解得，b=。 2 32且，解得。 x=4x12x+90,,2 41137?直线L:。?点P()。 yx+,,， 2232 2811由(2)得:E(5，)，则直线PE:。 ,yx+9,,33 2749设直线PE与x轴交于点F，则点F(，0)，?AF=OA+OF=。 1111 149287343??PAE的最大值:。 ,，,，，，,()SSS,,,PAEPAFAEF2113212 37343综上所述，当P()时，?PAE的面积最大，为。 ， 1222 【考点】二次函数综合题，菱形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与抛物线的交点，平行线的性质，一元二次方程根的判别式。 【分析】(1)由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC(OD(OA的长，从而确定A(C(D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式。 (2)首先由A(B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y在抛物线y图象下方的部分。 12 (3)该题的关键点是确定点P的位置:P?AE的面积最大，那么AE上的高最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点。根据一元二次方程根的判别式?=0求解即可。 417. (2012四川广元12分)如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan?ACB=，以O为坐标3 原点，OC为x 轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出 发，点D以每 秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设 运动时间为t 秒。 (1)求直线AC的解析式; (2)用含t的代数式表示点D的坐标; (3)当t为何值时，?ODE为直角三角形, (4)在什么条件下，以Rt?ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线, 并请选择一种 情况，求出所确定抛物线的解析式。 【答案】解:(1)根据题意，得CO=AB=BC•tan?ACB=4， ?A(0，3)、B(4，3)、C(4，0)。 3设直线AC的解析式为:y=kx+3，代入C点坐标，得:4k+3=0，k=。 ,4 3?直线AC:y=x+3。 ,4 (2)分别作DF?AO，DH?CO，垂足分别为F，H， 则有?ADF??DCH??ACO。 ?AD:DC:AC=AF:DH:AO=FD:HC:OC， 5而AD=3t(其中0?t?)，OC=AB=4，AC=5， 3 41212399?FD=，AF=，DH=，HC=。 3t,4t,ADt,ADt,555555 129?D(，)。 t3t,55 12t17t(3)CE= t，E(t，0)，OE=OC-CE=4- t，HE=|CH-CE|=， (4)t4,,,,55 9t12t54222222则OD=DH+OH=， (3)()=9tt9,，,，555 9t17t74222222DE=DH+HE=。 (3)(4)=t38t25,，,,，555 222222当?ODE为直角三角形时，有OD+DE=OE，或OD+OE=DE，或 222DE+OE=OD， 5474222即?， (9tt9)(t38t25)(4t),，，,，,,55 5474222或?， (9tt9)(4t)t38t25,，，,,,，55 7454222或?， (t38t25)(4t)9tt9,，，,,,，55 5上述三个方程在0?t?内的所有实数解为 3 1520。 tt1t0t,,,,，，，12341917 20(4)当DO?OE，及DE?OE时，即和时，以Rt?ODE的三个t0,t,3417 顶点不确定对 称轴平行于y轴的抛物线，其它两种情况都可以各确定一条对称轴平行于y轴的抛物线。 129?D(，)，E(4-t，0) t3t,55 126?当时，D(，)，E(3，0)。 t1,255 2?抛物线过O(0，0)，?设所求抛物线为，将点D，E坐标代yaxbx,， 入，得 5,614412a,,,,=a+b,,6，解得。 5255,,5,,0=9a+3bb,,,,2 552?所求抛物线为。 yxx,,，62 【考点】二次函数综合题，动点问题，矩形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，解一元二次方程和二元一次方程组。 【分析】(1)在Rt?AOC中，已知AO的长以及?ACB的正弦值，能求出OC的长，即可 确定点C的坐 标，利用待定系数法能求出直线AC的解析式。 (2)过D作AO、OC的垂线，通过构建相似三角形来求出点D的坐标。 (3)用t表示出OD、DE、OE的长，若?ODE为直角三角形，那么三边符合勾股 定理，据此列方 程求出对应的t的值。 (4)根据(3)的结论能得到t的值，?ODE中，当OD?x轴或DE垂直x轴时，都不能确定“一 E的坐标，再利条对称轴平行于y轴的抛物线”，余下的情况都是符合要求的，首先得D、 用待定系数法求出抛物线的解析式。 1961152当时，所求抛物线为。 t,yxx,,，1193030 2012四川巴中12分)如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，18. ( 四边形ABCO 4为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan?ACB=，点E，F分别是线段AD，AC3 上的动点(点 E不与点A，D重合)，且?CEF=?ACB。 (1)求AC的长和点D的坐标; (2)说明?AEF与?DCE相似; (3)当?EFC为等腰三角形时，求点E的坐标。 【答案】解:(1)?四边形ABCO为矩形，??B=90?。 4在Rt?ABC中，BC=AB?tan?ACB=16?=12 ，3 2222ABBC16+1220，,,AC=。 则AO=BC=12。? A(-12，0)。 ?点D与点A关于轴对称，?D(12，0)。 y (2)?点D与点A关于y轴对称，??CDE=?CAO。 ??CEF=?ACB，?ACB=?CAO，??CDE=?CEF。 又??AEC=?AEF+?CEF=?CDE+?DCE(三角形外角性质)，??AEF=?DCE。 则在?AEF与?DCE中，?CDE=?CAO，?AEF=?DCE， ??AEF??DCE。 (3)当?EFC为等腰三角形时，有以下三种情况: ?当CE=EF时，??AEF??DCE，??AEF??DCE。?AE=CD=20。 ?OE=AE,OA=20,12=8。?E(8，0)。 ?当EF=FC时，如图所示，过点F作FM?CE于M， 则点M为CE中点。 6?CE=2ME=2EF•cos?CEF=2EF•cos?ACB=EF。 5 ?点D与点A关于y轴对称，?CD=AC=20。 ??AEF??DCE， EFAEEFAE50? ，即 ，解得。 , , AE,620CECD3EF5 501414?OE=AE,OA=，?E( ，0)。 ,,12333 ?当CE=CF时，则有?CFE=?CEF， ??CEF=?ACB=?CAO，??CFE=?CAO。 即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾。 14综上所述，当?EFC为等腰三角形时，点E的坐标为(8，0)或(，0)。 3【考点】坐标与图形性质，矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】(1)利用矩形的性质，在Rt?ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而 得到A点坐标; 由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标。 (2)欲证?AEF与?DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可，在?AEF与 ?DCE中，易知 ?CDE=?CAO，?AEF=?DCE，从而问题解决。 (3)当?EFC为等腰三角形时，需要分CE=EF，EF=FC，CE=CF三种情况讨论。 19. (2012山东临沂11分)已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动( (1)如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明?BMC=90?; (2)如图2，当b,2a时，点M在运动的过程中，是否存在?BMC=90?，若存在，请给与证明;若不存在，请说明理由; )如图3，当b,2a时，(2)中的结论是否仍然成立,请说明理由( (3 【答案】(1)证明:?b=2a，点M是AD的中点，?AB=AM=MD=DC=a， 又?在矩形ABCD中，?A=?D=90?，??AMB=?DMC=45?。 BMC=90?。 ?? (2)解:存在，理由如下: 若?BMC=90?，则?AMB=?DMC=90?。 又??AMB+?ABM=90?，??ABM=?DMC。 AMAB又??A=?D=90?，??ABM??DMC。?。 ,CDDM xa22设AM=x，则，整理得:x,bx+a=0。 ,bbx, 22?b,2a，a,0，b,0，??=b,4a,0。 ?方程有两个不相等的实数根。 2又?两根之积等于a,0，?两根同号。 又?两根之和等于b ,0，?两根为正。符合题意。 ?当b,2a时，存在?BMC=90?。 (3)解:不成立(理由如下: 22若?BMC=90?，由(2)可知x,bx+a=0， 22?b,2a，a,0，b,0，??=b,4a,0，?方程没有实数根。 ?当b,2a时，不存在?BMC=90?，即(2)中的结论不成立。 【考点】动点问题，矩形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 【分析】(1)由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得?AMB=?DMC=45?，则可求得?BMC=90?。 (2)由?BMC=90?，易证得?ABM??DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即 2a，a,0，b,0，即可判定?,0，结合根与系数的关系可确可得方程:x2-bx+a2=0，由b, 定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意。 (3)用反证法，由(2)，当b,2a，a,0，b,0，判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案。 220. (2012山东济宁10分)如图，抛物线y=ax+bx,4与x轴交于A(4，0)、B(,2，0)两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点(端点除外)，过点P作PD?AC，交BC于点D，连接CP( (1)求该抛物线的解析式; 2(2)当动点P运动到何处时，BP=BD•BC; (3)当?PCD的面积最大时，求点P的坐标( 2【答案】解:(1)?抛物线y=ax+bx,4与x轴交于A(4，0)、B(,2，0)两点 1,16a+4b4=0,a=,,?，解得。 2,,4a2b4=0,,,,b=1,, 12?抛物线的解析式为。 y=xx4,,2 2(2)设点P运动到点(x，0)时，有BP=BD•BC， 12在中，令x=0时，则y=,4，?点C的坐标为(0，,4)。 y=xx4,,2 BDBP?PD?AC，??BPD??BAC。?。 ,BCBA 2222BCBCOC2425,，,，,?，AB=6，BP=x,(,2)=x+2 BDx+25,?，即BDx+2,。 ，，6325 5422x+2x+225,,?BP=BD•BC，?，解得x=，x=,2(不合，，，，1233题意，舍去)。 4?点P的坐标是(，0)。 3 42?当点P运动到(，0)时，BP=BD•BC。 3 2SBP,,,BPD, (3)??BPD??BAC，? ,,SAB,,,BAC 22BPx+211,,,,2?， ,,,,,,SS64=x+2，，,,BPDBAC,,,,AB623,,,, 1又?， ,,,Sx+24，，,BPC2 11122?。 ,,,,,,,,SSS=x+24x+2x1+3，，，，，，,,,PCDBPCBPD233 1?,0，?当x=1时，S有最大值为3。 ,?BPC3 ?点P的坐标为(1，0)时，?PDC的面积最大。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。 【分析】(1)该抛物线的解析式中有两个待定系数，只需将点A、B的坐标代入解析式中求解即可。 (2)首先设出点P的坐标，由PD?AC得到?BPD??BAC，通过比例线段可表 2示出BD的长;BC的长易得，根据题干给出的条件BP=BD•BC即可求出点P的坐标。 (3)由于PD?AC，根据相似三角形?BPD、?BAC的面积比，可表示出?BPD的面积;以BP为底，OC为高，易表示出?BPC的面积，?BPC、?BPD的面积差为?PDC的面积，通过所列二次函数的性质，即可确定点P的坐标。 21. (2012山东青岛12分)如图，在?ABC中，?C,90º，AC,6cm，BC,8cm，D、E 分别是AC、AB 的中点，连接DE(点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，点Q从 点B出发，沿 BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动(连接PQ，设运 动时间为t(0,t ,4)s(解答下列问题: AB, (1)当t为何值时，PQ? 2(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm，求y与t之间的函 数关系式; (3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积 之比为 ,1?29,若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h;若不存SS?,PQE五形边PQBCD 在，请说明理由( 【答案】解:(1)如图，在Rt?ABC中，AC=6，BC=8， 2222ABACBC6810,，,，, ?。 ?点D、E分别是AC、AB的中点， 1?AD=DC=3，AE=EB=5，DE?BC，且DE=BC=4。 2 0 ?PQ?AB，??PQB=?C=90。 又?DE?BC，??AED=?B。 PEQE??PQE??ABC。?。 ,ABBC 由题意，得PE=4,t，QE=2t,5， 4t2t5,,41?，解得。 t=,14108 41?当时，PQ?AB。 t=14 (2)过点P作PM?AB于点M。 PMPE 由?PME??ABC，得， ,ACAB PM4t,3 ?，即。 ,PM4t,,，，6105 1133392 ?， ,,,,,,,,,SEQPM52t4t=tt+6，，，，,PDE225510 1 。 S4+8318,，，,，，梯形DCBE2 339339,,22 ?。 ,,,,,y=SS=18tt+6t+t+12,梯形PDEDCBE,,510510,, 1(3)假设存在时刻t使,1?29，此时，， SS?S=S,PQE,PQE梯形BCDE五形边PQBCD30 339122 ?，即。 2t13t+18=0,tt+6=18,，51030 9 解得(舍去)。 t2t=,，122 3648 当时，PM=，ME=，EQ=5,2×2=1， t2,，,,42，,,42，，，，5555 813MQ=ME，EQ=，+1,55 22613205,,,,22。 PQPMMQ,，,，,,,,,555,,,, 65620513h==，?，?。 ,,PQh=520525205 当时， PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为t2, 6205=,1?29，此时点E到PQ的距离h。 SS?,PQE五形边PQBCD205 【考点】动点问题，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，求二次函数关系式。 【分析】(1)由?PQE??ABC可列式求解。 3 (2)由?PME??ABC可求得，根据可求关系y=SS,PM4t,,，，,PDE梯形DCBE5 式。 1 (3)假设存在，由已知,1?29可得，即SS?S=S,PQE,PQE梯形BCDE五形边PQBCD30 13h可求出，进一步由求出。 t2,,,PQh=25 ky,22. (2012山东济南9分)如图，已知双曲线，经过点D(6，1)，点C是双曲线第x 三象限上的动点，过C作CA?x轴，过D作DB?y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC( (1)求k的值; (2)若?BCD的面积为12，求直线CD的解析式; (3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由( kky,,1【答案】解:(1)?双曲线经过点D(6，1)，?，解得k=6。 x6 (2)设点C到BD的距离为h， 1?点D的坐标为(6，1)，DB?y轴，?BD=6，?S=×6•h=12，解?BCD2 得h=4。 ?点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，?点C的纵坐 标为1,4= ,3。 6,3?，解得x= ,2。?点C的坐标为(,2，,3)。 x 设直线CD的解析式为y=kx，b， 1,,，,,2kb3k,,,则，解得。 2,,6kb1，,,,b2,,, 1yx2,,?直线CD的解析式为。 2 (3)AB?CD。理由如下: ?CA?x轴，DB?y轴，点C的坐标为(,2，,3)，点D的坐标为(6， 1)， ?点A、B的坐标分别为A(,2，0)，B(0，1)。 设直线AB的解析式为y=mx+n， 1,,，,2mn0m,,,则，解得。 2,,n1,,,n1,, 1yx1,，?直线AB的解析式为。 2 1?AB、CD的解析式k都等于相等。 2 AB与CD的位置关系是AB?CD。 ? 【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。 【分析】(1)把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。 (2)先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。 (3)根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式， 可知与直线 CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。 223. (2012浙江嘉兴14分)在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线:y=x上的动点(点在第一象限内)(连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q(连接PQ，交y轴于点M(作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B(设点P的横坐标为m( (1)如图1，当m=时， 2 ?求线段OP的长和tan?POM的值; ?在y轴上找一点C，使?OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标; (2)如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E( ?用含m的代数式表示点Q的坐标; ?求证:四边形ODME是矩形( 2【答案】解:(1)?把x=代入 y=x，得 y=2，?P(，2)，?OP=6。 22 OP2tanPOMtanOPA=，,，,?PA丄x轴，?PA?MO(?。 AP2 2n222=n=,?设 Q(n，n)，?tan?QOB=tan?POM，?(?。 ,n22 213,， ?Q()。?OQ=。 222 33?当 OQ=OC 时，则C(0，)，C(0，,)。 1222 当 OQ=CQ 时，则 C(0，1)。 3 22(2)??点P的横坐标为m，?P(m，m)。设 Q(n，n)， 2BQBO1nn,??APO??BOQ，?。?，得。 n=,==2mmAOAPm 11?Q()。 ,， 2mm 112?设直线PO的解析式为:y=kx+b，把P(m，m)、Q(),， 2mm 代入，得: 2,m=mk+b,，解得b=1。?M(0，1)。 ,11=k+b,,,2m,m QBOB1=,?，?QBO=?MOA=90?，??QBO??MOA。 2MOAPm ??MAO=?QOB，?QO?MA。 同理可证:EM?OD。 又??EOD=90?，?四边形ODME是矩形。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的 判定和性质，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判 定。 【分析】(1)?已知m的值，代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长，通过解直角三角形易得出结论。 ?题目要求?OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，所以分QO=OC、QC=QO两种情况来判断: QO=QC时，Q在线段OC的垂直平分线上，Q、O的纵坐标已知，C点坐标即可确定; QO=OC时，先求出OQ的长，那么C点坐标可确定。 (2)?由?QOP=90?，易求得?QBO??MOA，通过相关的比例线段来表示出点Q的坐标。 在四边形ODME中，已知了一个直角，只需判定该四边形是平行四边形即可，? 那么可通过证明两组对边平行来得证。 24. (2012浙江绍兴14分)如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线 2经过A，B两点。 yxx,,,42 (1)求A点坐标及线段AB的长; (2)若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。 ?当PQ?AC时，求t的值; ?当PQ?AC时，对于抛物线对称轴上一点H，?HOQ,?POQ，求点H的纵坐标的取值范围。 2【答案】解:(1)由抛物线知:当x=0时，y=,2，?A(0，,2)。 yx4x2,,, ?四边形OABC是矩形，?AB?x轴，即A、B的纵坐标相同。 2当y=,2时，，解得。?B(4，,2)。 ,,,,2x4x2x0x4,,，12?AB=4。 (2)?由题意知:A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为7(t,1)=7 t ,7。 91t,,当Q点在OA上时，即，时， 07t72,,,7 ，若PQ?AC，则有Rt?QAP?Rt?ABC。 如图1 QAAP7t7t,7=,t,?，即，解得。 ABBC542 79,?，?此时t值不合题意。 57 913,,t当Q点在OC上时，即，时， 27t76,,,77如图2，过Q点作QD?AB。?AD=OQ=7(t,1),2=7t,9。 ?DP=t,(7t,9)=9,6t。 若PQ?AC，则有Rt?QDP?Rt?ABC， QADP296t,4=,t,?，即，解得。 ABBC344 94134,,t,?，?符合题意。 7373 1315,,t当Q点在BC上时，即，时， 67t78,,,77如图3，若PQ?AC，过Q点作QG?AC， 则QG?PG，即?GQP=90?。 ??QPB,90?，这与?QPB的内角和为180?矛盾， 此时PQ不与AC垂直。 4t,综上所述，当时，有PQ?AC。 3 BPBQ=?当PQ?AC时，如图4，?BPQ??BAC，?， BABC4t87(t1),,,,?，解得t=2。 42 即当t=2时，PQ?AC。此时AP=2，BQ=CQ=1。 ?P(2，,2)，Q(4，,1)。 抛物线对称轴的解析式为x=2， 当H为对称轴与OP的交点时，有?HOQ=?POQ， 11 ?当y,,2时，?HOQ,?POQ。 H 作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′， OCQ中，?OC=4，CQ=1。?OQ=， 在Rt?17 1?S=S,S,S,S=3=OQ×PM， ?四边形???OPQABCDAOPCOQQBP2 6171217?PM=。?PP′=2PM=。 1717 ?NPP′=?COQ。?Rt?COQ??Rt?NPP′。 1174CQOQOC12'PN,====?，即，解得 ，'''17NPPPPNPNPN1217 17 48PN,。 17 46147，yx,?P′()。?直线OP′的解析式为。 171723 14?OP′与NP的交点H(2，)。 223 14y,?当时，?HOP,?POQ。 H23 14y,综上所述，当或时，?HOQ,?POQ。 y2,,HH23 【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。 【分析】(1)已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标;由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求。 (2)?Q点的位置可分:在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ?AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形(或构建相似三角形)，利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去。 ?当PQ?AC时，?BPQ??BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H重合，此时有?HOQ=?POQ。若作P11 点关于OQ的对称点P′，OP′与NP的交点H，亦可得到?HOQ=?POQ，而题目要求的是22 ?HOQ,?POQ，那么H点以下、H点以上的H点都是符合要求的。 12