1.2.1任意角的三角函数(第一课时) （教学设计） ——寻甸一中 丁章俊 一 ...

1.2.1任意角的三角函数(第一课时) （ 教学设计 散步教学设计免费下载洗衣歌教学设计免费下载汽车材料教学设计下载爱护水资源教学设计下载一师一优课教学设计下载 ） ——寻甸一中 丁章俊 一 ... 1.2.1任意角的三角函数(第一课时) (教学设计) ——寻甸一中 丁章俊 一(教学内容解析 三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学型(它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 主要是代数中的图象 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和式子变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来(它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础( 00角的概念已经由锐角扩展到内的角，再扩充到任意角，相应地，锐0~360 角三角函数概念也必须有所扩充(任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果( 比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”(正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标(或坐标的比值)来表示任意角的三角函数，这是概念的核心(这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便( 从锐角三角函数到任意角三角函数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”(因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念( 任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义(它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用(解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数(因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数( 任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有定义域，对应法则以及值域(任意角三角函数的定义域是实数集(或它的子集)，这是因为，在建立弧度制以后， 角的集合与实数集合间建立了一一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数(各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域( 任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点(无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义( 在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法( 二、教学问题分析 在概念教学过程注意学生已有知识经验的作用，发挥其正迁移，防止其负迁移。本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角;其研究方法是几何的，没有坐标系的参与;其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。做到:明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣;借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫;由于研究范围的改变，更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。这些都是在本课时的学习之后应该取得的认知方面的进步。 由于学生对角度制的应用已经很熟练，而对弧度制的应用比较陌生，所以在理解函数的定义域是实数集时可能会出现问题，需要教师的引导，同时也需要时间适应。 三、教学支持条件分析 利用几何画板改变角的位置，认识角的终边位于不同象限时如何定义角的三角函数值，充实学生的直观感知材料，帮助学生形成比较全面的认知。 四、教学目标: 1、知识与技能 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号); (2)了解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)掌握并能初步运用公式一; (4)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 引导学生把初中学过的锐角三角函数定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号. 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题. 3、情感、态度与价值观 让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，获得“发现”的经验，培养合情猜测能力. 五、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号); 难点: 用角的终边上的点刻画三角函数. 六、教学过程设计 1、【创设情境】 问题1: 本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系，这在第一节中已经有所感受。现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题:如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢, (设计意图:将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点，扎实的固着点。) 借助下图中的直角三角形，复习回顾. 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合, ,xO 在的终边上任取一点,它与原点的距离那么它的终边在第一象限.Pab(,), 22PMMP.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段xarab,，,0OM MPb的长度为.则; sin,,,bOPr OMaMPb; . cos,,,tan,,,OPrOMa P问题2:对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的,, 改变而改变呢, r,1显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得OP 到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数: MPbMPOM; ; . sin,,,bcos,,,atan,,,OPOPOMa 问题3:上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的, 概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢,本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 2、【探究新知】 问题4:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三, 角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆. O y 问题5:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的 a的终边 定义? P(x,y 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,) ,那么: Pxy(,)O x y(1)叫做的正弦(sine),记做,即; sin,,y,sin, (2)叫做的余弦(cossine),记做,即; x,cos,cos,,x yytan,(3)叫做的正切(tangent),记做,即. ,tan(0),,,xxx :当是锐角时，此定义与初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在);注意, 当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边, 就必然与单位圆有交点，从而就能够最终算出三角函数值. Pxy(,) 问题6:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? P前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大 22rxy,，小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么 yyx,, sin,,cos,,tan,,2222xxy，xy， 所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 实数?角,其弧度数等于这个实数,?三角函数值,实数,,也就是说,三角函数是以角,实数,为自变量,以比值为函数值的函数, 既然是研究函数,那么就要从函数最主要的内容——三要素入手,而其中又以定义域和对应法则更重要,三角函数的对应法则可以由解析式中直接看出,下面我们研究各个函数的定义域, 三角函数 定 义 域 sin ,|?R, ,,, cos ,|?R, ,,, tan , 问题7:我们知道,当角的概念被推广后,我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论,当角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上时,角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限角,现在,我们又学习了三角函数,若一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的,那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号,又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了, 三角函数的函数值在各个象限内的符号如何, (让学生自己探寻，然后教师进行补充) 问题8:现在我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的,显然,当两个角相差360?的整数倍时,它们俩的三角函数值又有什么关系呢, 当两个角相差360?的整数倍时,它们俩的终边相同,所以它们的同一个三 角函数的值相等,由此得到一组公式,公式一,, sin(2)sin,,,，,k (其中) cos(2)cos,,,，,kkZ, tan(2)tan,,,，,k 问题9:这组公式的作用是什么, 作用,这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题,转化为0?,360?,或 0,2π,间的角的三角函数值的问题, 3、【新知演练 及时反馈】 5,例1.求的正弦、余弦和正切值. 3 P(3,4),,例2(已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值. ,,0 教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.也可以尝试 其他方法: 22r,,，,,(3)(4)5如例2:设xy,,,,3,4,则. y4x3y4于是 ,,. ,,,,,,,,,,,sincostanr5r5x3 sin0,,{例3(求证:当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角. ,tan0,, 例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: ,::tan(672),(1); (2); (3); (4) cos250sin(),tan3,4 例5.求下列三角函数值: 9,11,:'(1); (2); (3) sin148010,costan()46 4、提炼总结 分享收获 (1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域; (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 5、巩固练习 P15第1,2,3,4，5题 请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中: 定义域 三角函第一象第二象第三象第四象数 限 限 限 限 角度制 弧度制 sin, cos, tan, 6、布置作业 P20——2,3