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关于三角形中线与内角平线的两个不等式

关于三角形中线与内角平线的两个不等式关于三角形中线与内角平线的两个不等式关于三角形内角平分线的两个新不等式蒋玉清 (南昌市三中 330077 ) 刘健 (华东交通大学初等数学研究所 330013) 内容摘要: 有关三角形内角平线与边长的不等式是一类有趣的三角形几何不等式, 专著[1]、[2] 收录了这方面的一些结果, 但不够丰富. 近些年来，国内一些作者陆续得出了许多新的结果。本文中，我们将建立两个有关三角形内角平分线立方和与四方和的两个新不等式。定理设的边长分别为，相应边上的内角平BCCAAB,,abc,,,ABC 分线为，则有...

关于三角形中线与内角平线的两个不等式关于三角形内角平分线的两个新不等式蒋玉清 (南昌市三中 330077 ) 刘健 (华东交通大学初等数学研究所 330013) 内容摘要: 有关三角形内角平线与边长的不等式是一类有趣的三角形几何不等式, 专著[1]、[2] 收录了这方面的一些结果, 但不够丰富. 近些年来，国内一些作者陆续得出了许多新的结果。本文中，我们将建立两个有关三角形内角平分线立方和与四方和的两个新不等式。定理设的边长分别为，相应边上的内角平BCCAAB,,abc,,,ABC 分线为，则有 www,,abc 14444(?) ， (1) wwwabc，，,，，()abc12 83333333(?) , (2) wwwabc，，,，，()abc3 等号仅当为正三角形时成立. ,ABC 1 关于三角形内角平分线的两个不等式蒋玉清 (南昌市三中 330077 ) 刘健 (华东交通大学初等数学研究所 330013) 有关三角形内角平线与边长的不等式是一类有趣的三角形几何不等式, 专著[1]、[2] 收录了这方面的一些结果, 但不够丰富. 近些年来，国内一些作者陆续得出了许多新的结果。本文中，我们将建立两个有关内角平分线立方和与四方和的两个不等式。定理设的边长分别为，相应边上的内角平分线为，则有 BCCAAB,,abc,,www,,,ABCabc 14444(?) ， (1) wwwabc，，,，，()abc12 83333333(?) , (2) wwwabc，，,，，()abc3 等号仅当为正三角形时成立. ,ABC 为证定理，先给出几个引理。 1 引理1 设的外接圆半径、内切圆半径与半周长分别为，以表示循环和，则有 Rrs,,,,ABC 22(?) acaab()()，，, 422223，，,,，，，42(36)4ssRrrsRrRr， (3) ，， 22(?) bcbcabcacaab(22)()()()，,，,，，, 2642222,,,,，,8[3()(28143)ssRrrsRRrrrs 224 (45)] (4)，，，RRrrr 证明 (?)易知 22 acaab()()，，, 523,，，aabcbca()2, (5) ,,,,, 22再将与已知恒等式: , (6) as,2bcsRrr,，，4,, 322assRrr,,,2(63), (7) , 542222assRrrsRRrrr,,，，，，2[10()5(86)] (8) , 2 代入(5)式，计算后即得(3)式. (?) 由于有 222222，， bcbcabcacaab(22)()()()，,，,，，,，，，,，，bccaabbcabca()()2()3(),,，， 222 ,，，，2()()()bccaabbc, ,，，，，，3()()()()()abcbccaabcaab, 22, ，，，abcacaab()(), 再将(3), (6)两式与已知等式: , (9) abcRrs,4 22, (10) ()()()2(2)bccaabssRrr，，，,，， 22 (11) ()()54caabsRrr，，,，，, 代入计算后就得等式(4). 引理2 在中有 ,ABC 22, (12) sRrr,,165 不等式(5)即为著名的Gerretsen不等式, 参见[1]、[2]. 引理3 在中有 ,ABC . (13) 2()23bcaw，,,a 上面的这个半对称不等式是刘保乾发现的(见[9]), 其证明是很容易的(从略)。我们只在(2)式的证明中用到它. 定理的证明 (i) 由角平分线公式: 2()bcsas, (14) w,abc，可知不等式(1)约简后等价于 222()1sabc,2, (15) ,s,4()48bc，按Cauchy不等式有 2222()sabc,4，，, ()()sabcbc,,，,,,4，，()bc，因此要证(15)式只要证: 224，，48()()sabcsbc,,，. (16) ,,，，由已知的恒等式: 22()(8)sabcssRrr,,,，, (17) , 3 4 ()bc，, 42222，，, (18) ,,，，，29(566)(4)sRrrsRrr，，可知(16)式等价于 22224(8)sRrr,， 42222,,，，，9(566)(4),sRrrsRrr 整理即 422222 , (19) 15(32854)sRrrs,,，,，,(152039223)0RRrrr这可等价变形为 222222, (20) 15(165)8(1912)(16sRrrrRrsRr,，，,,，，,,,5)16(2)(74)0rRrRrr 由Euler不等式与引理2的Gerretsen不等式可知上式成立,从而不等式(1)获证. Rr,2 (ii) 由引理3知,欲证不等式(2)只要证: 923, (21) bcawa，,,(22),,a4 由公式(14)知上式等价于 (22)()bcabcsa，,,3， 169sa,,,2()bc，即 2223 9()()()bccaaba，，，, 22 (22) ,，,，,，，8(22)()()()sbcbcabcacaab, 由(7)式与已知恒等式: 22, (23) ()()()2(2)bccaabssRrr，，，,，，可得 2223 ()()()bccaaba，，，, 3624222232233, (24) ,,，,，，8[(2)5(44)ssRrrsRRrrrs,，，，3(8126)]RRrRrrr 再由恒等式(4)就知,欲证不等式(22)只要证: 6242222 9[(2)5(44)sRrrsRRrrrs,，,，， 32233 ,，，，3(8126)]RRrRrrr 642222 ,,,,，,8[3()(28143)sRrrsRRrrrs 224，，，，(45)]RRrrr 4 简化后为 6242234232233(25) sRrrsRrRrrs，,，,,(633)(446869),，，，,(21635620235)0,RRrRrrr这式等价于 22422 (165)[(2238)sRrrsRrrs,，，, 222 ，,，，,(396786121)](2)RRrrrRr 223. (26) ,,，,(61202672320)0RRrrr 由Euler不等式与Gerretsen不等式(12)即易见上式成立, 从而不等式(2)获证. Rr,2 参考文献 [1] [荷兰]O.Bottema等著, 单墫译, 几何不等式[M], 北京大学出版社, 1990,9. [2] D.S.Mitrinovic,J.E.Pecaric and V.Volenec, Recent Asvances in Geometric Inequalities, Kluwer Academic Publishers,1989. 5 6

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