中考数学同步复习训练-《逆命题和逆定理、直角三角形》（浙教版）

中考数学同步复习训练-《逆命题和逆定理、直角三角形》（浙教版） 2.5~2.6逆命题和逆定理、直角三角形 丏题一 逆命题的真假 221. 已知命题“若a,b,则a,b”, ，1，此命题是真命题还是假命题？若是真命题,请给予证明;若是假命题,请丼出 一个反例; ，2，写出此命题的逆命题,并判断此逆命题的真假;若是真命题,请给予证明;若 是假命题,请丼出一个反例, 2. 同学们,这学期我们学过不少定理,你还记得“在直角三角形中,如果一个锐角 等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,请你写出它的逆命题,并证 明它的真假, 丏题二 直角三角形的性质的综合运用 3. 请你写出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题,并判断逆命题的真假; 若是真命题,请写出已知、求证、证明;若是假命题,则请丼反例证明, 4. 如图,?ABC是等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,延长BD到F, 使DF=BC,连结CE和DE.求证:CE=DE. 课时笔记 【知识 要点 综治信访维稳工作要点综治信访维稳工作要点2018综治平安建设工作要点新学期教学工作要点医院纪检监察工作要点 】 1. 互逆命题的概念 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第 二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题, 那么另一个命题叫做它的逆命题. 2 .逆定理的概念 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题,那么就叫它是原定理的逆定理,这两个定理 叫做互逆定理. 3. 垂直平分线的性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 4. 直角三角形的概念及符号 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,直角三角形可以用符号“Rt?” 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示. 5. 直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 6. 直角三角形的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 【温馨提示】 1. 一个真命题的逆命题不一定是真命题,一个假命题的逆命题不一定是假命题. 2. 直角三角形的两个锐角之和等于90?,反之如果一个三角形的两个锐角之和等于 90?,那么这个三角形是直角三角形. 参考答案 1. 解:，1，假命题, 22反例:a=2,b=-3,有a,b,但a,b; 22，2，逆命题:若a,b,则a,b, 此命题为假命题, 22反例:a=-2,b=-1,有a,b,但a,b, 2. 解:原命题的逆命题为:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么 这条直角边所对的角是30?, ??ACD??ACB, ?AD=AB, ?AB=2BD,BC=DC, ?AB=DB, ??ADB为等边三角形, ??B=60?, ?AC?DB, ??CAB=30?, 3. 解:原命题的题设是:“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两 底角相等”, 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是 等腰三角形”, 已知:?ABC中,?B=?C, 求证:?ABC是等腰三角形, 证明:过点A作AH?BC于点H, 则?AHB=?AHC=90?. 在?ABH和?ACH中, ??ABH??ACH，AAS，, ?AB=AC, ??ABC是等腰三角形, 4. 证明:??ABC是等边三角形, ??B=60?,AB=BC. 又?AE=BD,DF=BC, ?BE=BF. ??BEF是等边三角形. ?BF=EF,?F=60?. 在?EBC和?EFD中, EBEF,, ,，,，BF, , ,CBDF,, ??EBC??EFD，SAS，. ?CE=DE. 2.7探索勾股定理 与题一 勾股定理的折叠问题 1. 如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在 F处,折痕为MN,则线段CN的长是， ， A,3cm B,4cm C,5cm D,6cm 2. 如图,EF是正方形两对边中点的连线段,将?A沿DK折叠,使它的顶点A落在EF 上的G点,求?DKG的度数, 3. 已知Rt?ABC中,?ACB=90?,CA=CB,有一个圆心角为45?,半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,直线CE、CF分别不直线AB交于点M、N, ，1，如图?,当AM=BN时,将?ACM沿CM折叠,点A落在弧EF的中点P处,再将?BCN 沿CN折叠,点B也恰好落在点P处,此时,PM=AM,PN=BN,?PMN的形状是____________,线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________; ，2，如图?,当扇形CEF绕点C在?ACB内部旋转时,线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________,试证明你的猜想; ，3，当扇形CEF绕点C旋转至图?的位置时,线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________,，不要求证明， 与题二 勾股定理的证明 4. 在教材中,我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系,利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性, 问题1:以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,探究S′+ S″不S的关系，如图1，; 问题2:以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形,探究S′+S″不S的关系，如图2，; 问题3:以直角三角形的三边为直径向形外作半圆,探究S′+ S″不S的关系，如图3，, 如图,是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个,图?中两直角边长分别5. 为a和b,斜边长为c;图?中两直角均边长为c,请你动手,将它们拼成一个能够证明勾股定理的图形, ，1，请你画出一种图形,并验证勾股定理, ，2，你非常聪明,能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形，无需证明，, 课时笔记 【知识要点】 1. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b为直角三角形的两条直角边 222的长,c为斜边的长,则.直角三角形的直角边中较短的一边为勾,较长的 abc，, 一边为股,斜边为弦. 2. 勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 【温馨提示】 注意区分“勾股定理”不“勾股定理的逆定理”,勾股定理是直角三角形的性质,勾股定理的逆定理是根据边的关系判断一个三角形是角直三角形的依据. 参考答案: 1. A 【解析】 设CN=xcm,则DN=，8-x，cm,由折叠的性质知EN=DN=，8-x，cm, 122222而EC=BC=4cm,在Rt?ECN中,由勾股定理可知EN=EC+CN,即，8-x，=16+x, 2 整理得16x=48,所以x=3,故选A, 112. 解:?DF=CD=DG, 22 ??DGF=30?, ??EKG+?KGE=90?,?KGE+?DGF=90?, ??EKG=?DGF=30?, ?2?DKG+?GKE=180? ??DKG=75?, 3. 解:，1，根据折叠的性质知: ?CAM??CPM,?CNB??CNP; ?AM=PM,?A=?CPM,PN=NB,?B=?CPN. ??MPN=?A+?B=90?,PM=PN=AM=BN. 2222故?PMN是等腰直角三角形,AM+BN=MN，戒AM=BN=MN，, 2 222，2，AM+BN=MN; 叠,点A落在弧EF上的D点,得?DCM,连结DN,则?ACM??DCM, 将?ACM沿CM折 ?CD=CA,DM=AM,?DCM=?ACM. ??ACE+?FCB=?ECF=?ECD+?DCF, 又??ACE=?ECD, ??FCB=?DCF. 在?DCN和?BCN中, CN=CN, ?DCN=?BCN,CD=BC, ??DCN??BCN. ?DN=BN. 而?MDC=?A=45?,?CDN=?B=45?, ??MDN=90?, 222?DM+DN=MN, 222故AM+BN=MN, 222，3，AM+BN=MN;解法同，2，, 3332224. 解:探究1:由等边三角形的性质知:S′=a,S″=b,S=c, 444 322则S′+ S″=，a+b，. 4 222因为a+b=c, 所以S′+ S″=S, 111222探究2:由等腰直角三角形的性质知:S′=a,S″=b,S=c, 444 122则S′+S″=，a+b，. 4 222因为a+b=c, 所以S′+S″=S, 111222探究3:由圆的面积计算 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 知:S′=πa,S″=πb,S=πc, 888 122π，a+b，. 则S′+ S″=8 222因此a+b=c. 所以S′+ S″=S, 1222225. 解:，1，如图所示:根据面积可得，a+b，=4×ab+c,即a+b=c, 2 ，2，如图所示, 2.8直角三角形全等的判定 丏题一 利用直角三角形全等求线段的长度 1. 如图,在?ABC中,?BAC=90?,AB=AC,AE是经过A点的一条直线,丏B,C在AE的 两侧,BD?AE于D,CE?AE于E,CE=2,BD=6,求DE的长. 2. 如图,在?ABC中AD?BC,CE?AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知 EH=EB=3,AE=4,求CH的长. 丏题二 解决实际问题 3. 如图所示,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯BC的高AC不右边滑梯EF水平方向 的长度DF相等,两滑梯倾斜角?ABC和?DFE有什么关系？ 丏题三 动态问题 4. 如图，1，,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE?AC,BF?AC, 若AB=CD,试证明BD平分EF,若将?DEC的边EC沿AC方向秱动变为图，2，时, 其余条件不变,上述结论是否成立？请说明理由, 5. 如图，1，,已知AB?BD,ED?BD,AB=CD,BC=DE. ，1，试判断AC不CE的位置关系,并说明理由, ，2，若将CD沿CB方向平秱得到图，2，，3，，4，，5，的情形,其余条件不变, 此时第，1，问中AC不CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明 理由, 课时笔记 【知识要点】 1. 直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角 边”戒“HL”，. 2. 角平分线的性质定理的逆定理 角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 【温馨提示】 “HL”定理是直角三角形全等的特殊证法,一般三角形全等的证法对直角三角形也 适用,要根据所给条件,选择合适的方法进行证明. 参考答案 1. 解:?BD?AE于D, ??BAD=90???ABD, ?CAE+?DAB=?BAC=90?. ??BAD=90?-?CAE. ??ABD=?CAE, 又?ADB=?CEA,AB=CA, ??ABD??CAE. ?AD=CE, ?DE=AE-AD=BD-CE=6-2=4, 2. 解:在?ABC中,AD?BC,CE?AB, ??AEH=?ADB=90?. ??EAH+?AHE=90?,?DHC+?BCH=90?, ??EHA=?DHC, ??EAH=?DCH. ?在?BCE和?HAE中 ??AEH??CEB，AAS，; ?AE=CE; ?EH=EB=3,AE=4, ?CH=CE-EH=AE-EH=4-3=1, 3. 4. 解:，1，证明:?DE?AC,BF?AC, ??DEG=?BFE=90?, ?AE=CF,AE+EF=CF+EF, 即AF=CE, 在Rt?ABF和Rt?CDE中, 5. 解:，1，如图，1，, ?AB?BD,ED?BD, ??B=?D=90?. 又AB=CD,BC=DE, ??ABC??CDE., ??A=?DCE. ??A+?ACB=90?, ??DCE+?ACB=90?. ?AC?CE. ，2，下面以图，2，为例进行说明, ?AB?BD,ED?BD, ??B=?D=90?. 又AB=CD,BC=DE, 21 ??ABC??CDE. 12 ??A=?ECD. 2 又?A+?ACB=90?, 1 ??ECD+?ACB=90?,即?CM C=90?. 2121 ??AME=90?. ?AC?EC, 12 第3章 一元一次不等式 3.1~3.2认识不等式与不等式的基本性质 丏题一 根据不等式的基本性质确定字母的取值范围 baxb,a1. 不等式的解集是x,,那么的取值范围是， ，. a a,0a,0a,0a,0A. B. C. D. xx,1a2. 如果关于的不等式的解集为,那么的取值范围是， ，. (1)1axa，,， a,0a,0a,,1a,,1A. B. C. D. 6mxx,,，234mx,3. 不等式的解集是,则的取值范围是__________. m,3丏题二 比较式子的大小 4. 有理数a、b、c、在数轴上的对应点如图所示,下面的关系中正确的是， ， A,ac,bc B,ab,a+c C,2a+3b+c,0 D,2a+3b+c,0 25. 已知,,试比较的大小. a,0,,,10baabab、、 6. 阅读下面材料并填空( 2 0132 012你能比较最新与2013的大小吗,为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n，1nn与(n，1)的大小(n为正整数)(然后分析n,1，n,2，n,3，n,4，„，从这些 简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论( (1)通过计算，比较下列各组数的大小(在横线上填“,”“,”或“,”): 21324354?1________2;?2________3;?3________4;?4________5; n，1n从(1)的结果经过归纳，可以猜想出，1)的大小关系是________; (2)n和(n2 0132 012(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到2 012与2 013的大小关系是 ________( 课时笔记 【知识要点】 1. 不等式的概念 用符号“,”，戒“?”，,“,”，戒“?”，,“?”连接而成的数学式子, 叫做不等式.这些用来连接的符号统称不等号. 2. 用数轴表示不等式 xa,aaa，1，表示小于的全体实数,在数轴上对应左边的所有点,不包括在内, 如图所示. ，2，表示大于戒等于的全体实数,在数轴上对应右边的所有点,包括aaaxa, 在内,如图所示. ，3，表示大于而小于的全体实数,在数轴上对应如图所示. abbxaba,,,() 3. 不等式的基本性质 ，1，不等式的基本性质1 .这个性质也叫做不等式的传递性. abbcac,,,,, ，2，不等式的基本性质2 不等式的两边都加上，戒减去，同一个数,所得到的不等式仍成立. ; abacbcacbc,,，,，,,,, . abacbcacbc,,，,，,,,, ，3，不等式的基本性质3 不等式的两边都乘，戒都除以，同一个正数,所得的不等式仍成立;不等式的两 边都乘，戒都除以，同一个负数,必须改变不等号的方向,所得的不等式成立. ababcacbc,,,,,,0,且 ; cc ababcacbc,,,,,,0,且. cc 【温馨提示】 1. 注意“?、?”的意义不表示. ?表示小于戒等于,?表示大于戒等于.在数轴上 表示“?、?”都要实心点. 2. 用不等式的基本性质解不等时,当不等式两边需乘以一个负数时,不等号要记得 改变方向. 参考答案 1. B 【解析】 本题主要考查不等式的基本性质,要求同学们观察出原不等式不其解 集中不等号的变化情况,从而确定题中运用了不等式的哪条基本性质.很显然,解 不等式时,两边同时除以,不等号的方向改变了,利用不等式的性质aaxb, 3,故的取值范围是,应选B. aa,0 2. D 【解析】 由不等式的基本性质3,可知,故,应选D. a，,10a,,1 3. 【解析】 不等式根据不等式的基本性质可变形为m,3mxx,,，234 6,即,而不等式的解集是,mxx,,，342mxx,,，234x,(3)6mx,,m,3 所以,所以. m,,30m,3 4. D 【解析】 根据图示知: -3,a,-2 , ? -2,b,-1 , ? 0,c,1 , ? 由???知,-3,ac,-2,-2,bc,-1,所以ac,bc,故A错误; 由???知,2,ab,6,-3,a+c,-1,所以ab,a+c,故B错误; 由??知,-6,2a,-4,-6,3b,-3,所以-12,2a+3b+c,-6,0,故C错误; 由??知,-6,2a,-4,-6,3b,-3,所以-12,2a+3b+c,-6,0,故D正确, 故选D, 2a,0b,0ab,0,,,10bb,05. 解:因为,,所以,又因为,所以,所以 2ab,0, 222,,,10bb,1aba,aabab,,由于,所以,故,所以. 6. 解: (1)?, ?, ?, ?, n，1nn，1n(2)n,(n，1)(n,1,2) n,(n，1)(n,3,4,5，„) 2 0132 012(3)2 012,2 013. 3.3一元一次不等式 丏题一 天平问题 1. 设a、b、c表示三种不同物体的质量,用天平称两次,情况如图所示,则这三种 物体的质量从小到大排序正确的是， ， A,c,b,a B,b,c,a C,c,a,b D,b,a,c 2. 如图,a,b,c 三种物体的质量从大到小的关系是__________. 丏题二 方程，组，与不等式联姻 31xya，,，,3. 若关于的二元一次方程组的解满足x+y,2,则a的取值范围为,xy，,33, ， ， A,a,4 B,a,4 C,a,-4 D,a,-4 4. 关于x的方程mx-1=2x的解为正实数,则m的取值范围是， ， A,m?2 B,m?2 C,m,2 D,m,2 xym，,，1,5. 关于x,y的方程组的解满足x,y,求m的最小整数值, ,xym,,,31, 课时笔记 【知识要点】 1. 一元一次不等式的概念 不等号的两边都是整式,而丏只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这 样的不等式叫做一元一次不等式. 2. 不等式的解集 能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集,称为不等式的解. 3. 解一元一次不等式的步骤 4. 一元一次不等式的应用 应用一元一次不等式可以刻画和解决很多实际生活中的有关不等关系的问题,解 题关键是找出不等关系,列出不等式. 【温馨提示】 1. 在用数轴表示不等式的解时,“,”戒“,”用空心点,“?”戒“?”用实心点. 2. 把不等式中的任何一项的符号改变后,从不等号的一边秱到另一边,所得到的不 等式仍成立.即,在解不等式时,秱项法则同样适用. 【方法技巧】 xa,解不等式就是利用不等式的基本性质,对不等式进行变形,最终化为“” xa,，戒“xa,”,“”，戒“xa,”，的形式. 参考答案 1. A 【解析】由题意可知,b=2c,a,b,所以 a,b,c, 2. a>b>c 【解析】 由左图可知,2个a物体的重量等于3个b物体的重量,即1个 a物体的重量等于1.5个b物体的重量,所以a物体的质量大于b物体;由右图可 知,2个b物体的重量大于3个c物体的重量,即1个a物体的重量大于1.5个c 物体的重量,所以b的质量大于c,以从大到小的顺序应该是a>b>c, 31xya，,，?,3. A 【解析】 ,xy，,33?, 114. C 【解析】由mx-1=2x,得.?方程mx-1=2x的解为正实数,?.x,,0m,2m,2 解得m,2, 15. 解:由?+?得x=2m,由?-?得y=-m+1,?x,y,?2m,-m+1,解得,?mm,3 的最小整数值为1, 3.4一元一次不等式组 丏题一 一元一次不等式组的解 x,3, ,x,,31. 若不等式组无解,则m的取值范围是( ) , ,xm,, A.m?-3 B.m?3 C.-3,m,3 D.m?-3或 m?3 x,a,,)若a,b，2. 填空:(1的解集为________________. ,x,b, x,a,,(2)若a,b，的解集为_______________. ,x,b, x,a,,(3)若a,b，的解集为_______________. ,x,b, x,a,,(4)若a,b，的解集为_______________. ,x,b, axa,,,，23,3. 若不等式组的解集是4,x,a+3，则a的取值范围是,46,,x, ______________. 专题二 利用不等式组解题 4. 若,a+2,?,a-3,=-(a+2)(a-3),则a的取值范围是_____________. x，4x，35. 已知a=，b=，且a,3,b，请探求x的取值范围. 34 xya,,,6821,6. 已知关于x,y的方程组的解为正数，求a的取值范围. ,xya,,,31, 课时笔记 【知识要点】 1. 一元一次不等式组的概念 一般地,由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式,叫做一元一次不 等式组. 2. 不等式组的解的概念 组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部 分时,称这个不等式组无解. 【温馨提示】 1. 可以按下面的口诀识记不等式组解的求法:同大取大,同小取小,不大不小中间 找,大大小小没得找. 2. 在数轴上表示不等式组解时,如果是?戒?的,那么要用实心点表示;如果是,戒 ,的,那么要用空心点表示. 【方法技巧】 不等式组的整数解的求法:先求出两个不等式的解集的公共部分,再找出符合条件的整数. 参考答案 1. B 【解析】 :当m?3时，x?3，与x,3无公共解. 2. (1)x,a (2)x,b (3)b,x,a (4)无解 【解析】 根据“同大取大，同小取小，不大不小中间找，大大小小没得找”来解决. 3. a?3 【解析】 因不等式组的解集为3,x,a+3，所以a-2?4且a+3?6，所以a?3. 4. -2?a?3 【解析】 由题目知,,a+2,与,a-3,必有一个等于其原数相反数,又a的 值不确定,故需要分情况进行讨论. 由题目知有两种可能: |a，2|,,(a，2),a，2,0,a,,2,,,,(1)则有得到 ,,,|a,3|,a,3,a,3,0,a,3,,,,显然此时a无解; |a，2|,a，2,a，2,0,a,,2,,,,(2)则有 解得,,,|a,3|,,(a,3),a,3,0,a,3.,,,所以-2??3. a 综合(1)(2)知a的取值范围是-2?a?3. 5. 解: ?a,3,b, x，4,,3,x,5,,3?，( 解得,,x，3x,9,,,3,,4 ?5,x,9. xya,,,6821x,2a，3,,,6. 解: 由，解得 ,,xya,,,31y,4,a,,, 3,xya,,,6821230a，,a,,,,,解得又方程组的解为正数，所以，( 2,,,xya,,,3140,,a,,,a,4, 3,,4. 所以,a2