2007年安徽高考数学理科试卷及答案

2007年安徽高考数学理科试卷及答案 2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(理科) 参考公式: 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 2 P(A+B)=PA(+PB( S=4лR 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)=PA(+PB( 球的体积公式 n(n，1)431+2+„+n V= ,R23 n(n，1)(2n，1)2221+2+„+n= 其中R表示球的半径 6 22nn，(1)3331+2++n= 4 第?卷(选择题 共55分) 一、选择题:本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1(下列 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 中，反函数是其自身的函数为 33A( B( ，,f(x),x,x,0,，,，f(x),x,x,,,,,，, 1xf(x),,x,(0,，,)C( D( f(x),e,x,(,,,，,)x 2(设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内,，“l,”是lm且“ln”的 ,,, A(充分不必要条件 B(必要不充分条件 C(充分必要条件 D(既不充分也不必要条件 x3(若对任意Rx,,不等式?ax恒成立，则实数a的取值范围是 aaA(a,-1 B(?1 C( ,1 D(a?1 2，ai24(若a为实数，,-i，则a等于 1，2i 2222A( B(— C(2 D(—2 2,x5(若，，则的元素个数为 ,,B,x,Rlogx,1,,A,x,,2,2,8A,(CB)2R A(0 B(1 C(2 D(3 π6(函数的图象为C， f(x),3sin(2x,)3 11C?图象关于直线对称; x,,12 π5π?函灶在区间内是增函数; (,,)f(x)1212 π?由的图象向右平移个单位长度可以得y,3sin2x3C到图象. 以上三个论断中，正确论断的个数是 A(0 B(1 C(2 D(3 2x,y，2,0, ,x,2y，1,07(如果点在平面区域上，点在曲线上P, ,x，y,2,0, 22，那么PQ 的最小值为 Qx，(y，2),1 45,122,12,1A( B( C( D( ,1 5 8(半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离A,B,C,DAB 为 63arccos(,)arccos(,)A( B( 33 11arccos(,)arccos(,) C( D( 34 22xrO,,1(a,0,b,0)FF9(如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆AB1222ab OFFAB心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且?是等边三角形，则双曲线12 的离心率为 5351，3A( B( C( D( 2 10(以表示 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态总体在区间()内取值的概率，若随机变量服从正态分,,,x,,(x) 2布，则概率等于 P(,,,,,)N(,,,) A(- B( ,(,，,),(,,,),(1),,(,1) ,1,,C( D( ()2,(,，,), 11(定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在f(x)T 闭区间上的根的个数记为，则可能为 ,,nn,T,Tf(x),0 A(0 B(1 C(3 D(5 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。 13n的展开式12(若(2x+)中含有常数项，则最小的正整数n等于 。 x (在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，13AB,a,OB,b,OC,c,D 则= (用a，b，c表示)。 OE 214(如图，抛物线y=--x+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P，„，P，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为，QQ，„，2n-112Q，从而得到n-1个直角三角形?Q1OP1， ?Q2P1P，„， ?QPP，当n??时，n-12n-1n-1n-1这些三角形的面积之和的极限为 。 15(在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 (写出所有正确结论的编)。号 ( ?矩形; ?不是矩形的平行四边形; ?有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体; ?每个面都是等边三角形的四面体; ?每个面都是直角三角形的四面体。 三、解答题:本大题共6小题，共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16((本小题满分12分) 1,,已知0,a,的最小正周期，b=(cos a,(tan(a，,),,1),,为f(x),cos(2x，),484 2,,,2cos，sin2(，)a，2)，且a?b=m。求的值。 cos,,sin, 17((本小题满分14分) 如图，在六面体ABCD,A1B1CD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形11 A1B1C1D1的正方形，DD?平面A1B，DD?平面ABCD，DD,2。 是边长为‎‎111C1D111 (?)求证:A1C1与AC共面，B1D1与BD共面; (?)求证:平面A1ACC?平面B1BDD; 11 (?)求二面角A,BB,C的大小(用反三角函数值圾示)。 1 18((本小题满分14分) 2 设a?0，f (x)=x,1,lnx，2a ln x(x>0)。 (?)令F(x),xf,(x)，讨论F(x)在(0，，?)内的单调性并求极值; 2(?)求证:当x>1时，恒有x>lnx,2a ln x，1。 19((本小题满分12分) 2如图，曲线G的方程为y=2x(y?0)。以原点为圆心，以t(t >0)为半径的圆分别与 曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B。直线AB与x轴相交于点C。 (?)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式; (?)设曲线G上点D的横坐标为a，2，求证:直线CD的斜率为定值。 20((本小题满分13分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔。以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数。 ( (?)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程); (?)求数学期望Eξ; (?)求概率P(ξ?Eξ)。 21((本小题满分14分) 某国采用养老储备金 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储务金数，a，„是一目a12个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备 n,1n,2金就变为a1(1，r)，第二年所交纳的储备金就变为a2(1，r)，„„，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。 (?)写出Tn与T(n?2)的递推关系式; n-1 (?)求证:T,A，B，其中,A,是一个等比数列，,B,是一个等差数列。 nnnnn 2007年安徽高考数学(理科)参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分55分。 1(D 2(A 3(B 4(B 5(C 6(C 7(A 8(C 9(D 10(B 11(D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 111112(7 13( 14( 15(???? a，b，c3244 三、解答题 16((本小题满分12分) 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和 推理能力.本小题满分12分。 πf(x),cos(2x，)解:因为为的最小正周期，故 ,,,π8 1cosatan(a，,),2因a?b=m，又a?b,， 4 1cosatan(a，,),m，2. 故4 π0,a,由于，所以 4 22,,,,2cos，sin2(a，)2cos，sin(2，2π), cos,，sin,cos,,sin, 2,,,,,2cos，sin22cos(cos，sin),= cos,,sin,cos,,sin, 1tan，,π2cos2costan()2(2),，,，m= ,,,1tan4,, 17((本小题满分14分) 解法1(向量法): 以D为原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D,xyz1 如图，则有 A(1,0,2),B(1,1,2),C(0,1,2),D(0,0,2).A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)， 1111 (?)证明: ？AC,(,1,1,0),AC,(,2,2,0),11 DB,(1,1,0),DB,(2,2,0),11 ？AC,2AC,DB,2DB.1111 ？AC与AC平行，DB与DB平行，1111 于是与AC共面，与BD共面. ACBD1111 (?)证明: DD,AC,(0，0，2),(,2，2，0),0，1 DB,AC,(2，2，0),(,2，2，0),0， ？DD,AC，DB,AC.1 内的两条相交直线， DD与DB是平面BBDD，111 ？AC,平面BBDD.11 又平面 AACC过AC，11 ？平面AACC,平面BBDD.1111 (?)解: AA,(,1，0，2)，BB,(,1，,1，2)，CC,(0，,1，2).111 设 n,(x,y,z)为平面AABB的法向量，11111 n,AA,,x，2z,0,n,BB,,x,y,2z,0,1111111于是y,0,取z,1,则z,2,n,(2,0,1). 111 m,(x,y,z)为平面BBCC的法向量，设 22211 m,BB,,x,y，2z,0,m,CC,,y，2z,0.1222122 x,0,取z,1,则y,2,m,(0,2,1).于是 222 mn,1 cos,mn,,mn5 1 ？,,,二面角的大小为ABBCπarccos15 解法2(综合法): (?)证明: ？DD,平面ABCD,DD,平面ABCD，111111 ?平面ABCD. ？DD,DA，DD,DC,平面ABCD111111于是?CD，?DA. CDDA1111 设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF， AE,CF,11有?? AEDD,CFDD,DE,1,DF,1.1111 ?? AECF,11 EF.于是? AC11 由DE=DF=1,得EF?AC， 故? ACAC,11 与AC共面. AC11 B作BO,平面ABCD于点O，则BO // AE,BO // CF.连结OE，OF，过点 111111 OE // BA，OF // BC，？OE,OF.于是 1111 ？BA,AD,？OE,AD. 1111 ？BC,CD,？OF,CD. 1111 DB与DB共面.所以点O在BD上，故 11 ？DD,平面ABCD，？DD,AC,(?)证明: 11 又BD?AC(正方形的对角线互相垂直)， 内的两条相交直线， DD与BD是平面BBDD111 ？AC,平面BBDD.11 又平面 AACC过AC，？平面AACC,平面BBDD,111111 (?)解:?直线DB是直线 BB在平面ABCD上的射影，AC,DB,1 根据三垂线定理，有AC? BB.1 过点A在平面 ABBA内作AM,BB于M，连结MC,MO,111则 BB,平面AMC，1 于是 BB,MC，BB,MO，11 所以，?AMC是二面角 A,BB,C的一个平面角.1 根据勾股定理，有 AA,5,CC,5,BB,6.111 ？OM,BB,有1 BO,OB2210101 OM,,,BM,,AM,,CM,,BB33331 222AM，CM,AC1cos，AMC,,,, 2AM,CM5 1，AMC,π,arccos, 5 1ABBC,,,的大小为πarccos二面角 15 18((本小题满分14分) 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不 等式的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，考查综合运用有关知识解决问题的能力，本小题满分14分. 2Inx2a(?)解:根据求导法则得 f,(x),1,，,x,0.xx 故 F(x),xf,(x),x,2Inx，2a,x,0, 2x,2于是 F,(x),1,,,x,0.xx 列表如下: (0,2) (2,+?) x 2 F′(x) - 0 + F(x) ? 极小值F(2) ? 故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，+?)内是增函数，所以，在x,2处取得极小值F(2),2-2In2+2a. (?)证明:由 a,0知，F(x)的极小值F(2),2,In2，2a,0. 于是由上表知，对一切 x,(0,，,),恒有F(x),xf,(x),0. 从而当 x,0时，恒有f,(x),0,故f(x)在(0,，,)内单调增加. 2所以当 x,1时，f(x),f(1),0,即x,1,Inx，2aInx,0. 2x,1时，恒有x,Inx,2aInx，1.故当 19((本小题满分12分) 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、 直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分 析问题的能力.本小题满分12分. 解: (?)由题意知，A() a,2a 22OAtaat,，,,2所以因为 2由于 t,0,故有t,a，2a.(1) 由点B(0，t)C(c,0)的坐标知，直线BC的 方程为 xy ，,1.ct 又因点A在直线BC上，故有 a2a ，,1,ct 将(1)代入上式，得 a2a ，,1,ca(a，2) 解得 c,a，2，2(a，2). (?)因为 D(a，2,2(a，2)),所以直线CD的斜率为 2(a，2)2(a，2)2(a，2) k,,,,,1,CDa，2,ca，2,(a，2，2(a，2))2(a，2) 所以直线CD的斜率为定值. 20((本小题满分13分) 本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期 望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分. 解: (1)的分布列为 , 2(1，6，2，5，3，4),2.?)数学期望为E(,, 28 (?)所求的概率 5，4，3，2，115P(,,E,),P(,,2),,. 2828 21((本小题满分14分) 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提 取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分 14分. 解: (?)我们有 T,T(1，r)，a(n,2).nn,1n (?) T,a,对n,2反复使用上述关系式，得11 2 T,T(1，r)，a,T(1，r)，a(1，r)，a,？nn,1nn,2a,1n a,1a,2, ? a(1，r)，a(1，r)，？，a(1，r)，a.12n,1n在?式两端同乘1+r，得 an,12 ? (1，r)T,a(1，r)，a(1，r)，？，a(1，r)，a(1，r).nn,n121?-?，得 nnn,1,2 ,,rT,a(1，r)，d(1，r)，(1，r)，？，(1，r),ann1 dnn,,(1，r),1,r，a(1，r),a,, 1nr ardard，，dn11(1)即 Trn,，,,n22rrr ar，dar，ddn11A,(1，r),B,,,n,如果记 nn22rrr则T,A，B, nnn ar，d1,,,,A是以(1，r)为首项，以1，r(r,0)为公比的等比数列;B是以其中 nn2r ard，dd1,,,为首项，为公差的等差数列。 2rrr