高考递推数列题的求解策略

高考递推数列题的求解策略 数列是一种特殊函数,在高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 中,数列 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 题 型新颖,综合性较强,往往与函数,方程,不等式,几何等 知识综合,常以中档和高档题出现.特别是递推数列在 近几年高考 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 试题中已形成新的热点,不仅考查学生 分析推理的能力,而且加大了对理性思维和直觉思维能 力考察,体现了新课标,新高考的新理念,注重能力为立 意的命题思想,所以研究递推数列的求解策略显得十分 重要. 策略一迭加法(或迭乘法) 一df(")) 当递推关系为a一一a+_厂(")(或. 时,要求通项公式,我们通常通过a一(nLa)+(n 一n!)+…+(a2---aI)+n(或n一…a2n)的 变形来求出a这种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 叫做迭加法(或迭乘法). 例1(2004年高考全国卷I)已知数列{a}中,a 一 1且a2女一"2女l+(一1),a2l—d2+3,其中是一1,2, 3,…. (I)求a3,aj: (II)求{a}的通项公式. 分析给出了奇数项与偶数项的两种递推关系式, 利用建立a与a.的直接递推关系,先求出a: 的通项,再求出. 解(I)a3—3,aj一13. (II)"2l—d2+3=d2l+(一1)+3, 所以a21--a2l=3+(一1). 令是=1,2,3,…得a3--al一3+(一1),"j—a3—3. +(一1).,?--a5—3.+(一1).,…,"2l一"23—3+ (一1). 相加得:a2l—al一3+3.+3.+…+3+ [(一1)+(一1)z+…+(一1]一+ 一下 3k--3+二 , 所以a2k——卞二一一—十—一I以 3一(一1),—— n1, 王思俭江苏苏州特级教师 所以a2k—d+(一1)一一1. 故通项公式为:当,为奇数时,一二 一 1;当行为偶数时以一一1. 解题回顾本题合理的思维起点是用迭加法求其通 项公式,这需要学生具有较强的思维能力及运算能力,即在 具体运算中需要有过硬的基础知识,以及分析归纳推理的 能力.2004年天津卷第21题也是用这种方法求解. 策略二迭代法(下标递降法) 当数列{}的递推关系为一一舰+_厂(")(_厂(")可以 是常数,也可以是关于"的函数式),通过q---~a一一 …一n的一步步迭代可求得{}的通项公式. 具体做法为:a一pa+/'(,z一1)一[+_厂( 一 2)]+_厂("一1)一Paz+/("一2)+,("一1)一…一 Pa+,(1)+.,(2)+…+pf("一2)+,("一 1).则问题转化为求和问题. 例2(2004年高考全国卷?)已知数列{a}的前" 项和S,满足S一2a+(一1)"("?1). (I)写出数列{a}的前三项a,",".; (II)求数列{a}的通项公式. 分析递推关系中含s先用a一S一S将其化 归为"与a的直接递推关系,再用迭代法求解. 解(I)al一1,a2—0."3—2. (II)因为S一2a+(一1)?, 所以S=2a.r+(一1)?, ?一?得:a一Sl—S一2al一2d,+(一1) 一 (一1),所以"一2a+2?(一1). 所以a一2a一l+2(一1)" 一 2r2",,+2(一1)]+2?(一1)一 一 2"一,+2(一1)+2?(一1) 一 2一al+2(一1)+2.(一1).+…+ 2(一1)".+2?(一1) === 2一+2(一1)+2.(一1)2+…+ 2(一1).+2?(,1)一 2[一(一]91———————— -_————————二_——— 1一(一1) 一 2一{?2"+?(一1)一 一-S-r2+(1)]. 解题回顾利用迭代法求a,实际上被转化为求和 问题,但要观察出各项的变化规律.如2002年全国卷压 轴题,2002年天津卷压轴题都是这种方法. 策略三用a一S--S(?2)求解 数列{n}前7"1项和S与a的隐含关系为a===— S(?2),利用这个关系揭示a与a的关系或S与 S.厂的关系,使数列化归为两个基本数列来求解. 例3(2004年高考全国卷?)数列{口}的前7"1项和 为S,已知口1,+一S(一1,2,3,…). 求证:(I)数列{}是等比数列. (?)S+一4a 分析将已知递推关系中的a用S一S 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示, 将其化为含有S与S的关系式来求解. 证明(I)因为一s一S,":s, 所以S一S一S,整理得nS一2(+1) s,所以一2鲁,所以{鲁}是以1为首项2为公比 的等比数列. (?)由(I)一1?2,所以一.2", 所以1一?一(+2)2(?N 所以当7"1?2时,口一(7"1+1)?2一.又S一 (+1)?2一4?(+1)2.,所以S1—4a(?2). 当:1时,口2—3,S2一口l+口2—4.所以S2—4口1. 所以对于任意?N都有S=4a. 解题回顾本题求证结论含有S,一般先用一 S一S公式把题中所给的关系式化为含S的递推关 系式,这是本题的一个灵活之处,考查了同学们的灵活 运用所学知识的能力,而第(2)题又考查了分析推理能 力.如2004年全国卷I第15题也是用这种方法求解. 策略四构造新数列 如数列{}的递推关系为一般的a一_厂(),往往 可将其化归为一个新的等差数列或等比数列.然后再依 次求出有关通项公式. 例4(2003年高考天津卷)设是常数.且"一 3一2a(?N).证明:对任意?N,一?[3" +(一1)?2"](一1)…2口 分析本题的递推关系中含有变数3一,直接构造 比较困难,我们先将其变形,化归为常系数的递推数列 问题,再构造新数列求解. 证明由a一31—2a,得===一号+, 令鲁一6所以6一一2b+专(?1),6n—d.. 令b一一一号(6一)P为常数, 所以6一一/6+号,比较系数得:号一专,所 以p—i1, 所以数列{6I一}是以,_善_为公比,a.一为首项 的等比数列(a.?). 所以一?=(一i1)?(一号),对一吉. 所以一?(一1);,(1)i1?2n十,1b,所以一口)?(一1),(1)?十, 所以an一?(一1);+(1)115?2n十,i1, 所以"一口?(一1)…2+?[(一1)2+3]. 解题回顾本题将递推关系化归成a一pa+q 的形式(,q为非零常数,p=/-1),再构造新数列. 设递推关系为a,r+一p(a+).比较系数得X一-- ,从而数列{+}是等比数列,从而求出?如2004 年北京卷第14题,2004年湖南卷第8题,都是这类问题. 下面来看2003年的一道高考题: 例5设">O如图,已知直线l:y=ax(x?O)及曲 线f:一(?O),f上的点Q的横坐标为口(O<口< a)从C上的点Q(?1)作直线平行于轴,交直线l于 点P,再从点P作直线平行于.),轴,交曲线r于点 Q,Q(一1,2,3,…)的横坐标构成数列{a}.求数 列与"之间的关系,并求{a}的通项公式. 分析从,P,的坐标人手,由题意可知,Q 与P的纵坐标相同,P与Q的横坐标相同,抓住点 P在直线z上,点Q在曲线c.上,其坐标应满足方程, 于是与的递推关系为n=?n:,再两边同时取 对数转化为一+q形式,构造新数列,求出n. 解设点的坐标为(n,n:),因为PQ?轴, 所以P,与Q的纵坐标相同,所以P的纵坐标为n:,那 么横坐标为1n即P的坐标为(n2,n:),又因为 上轴,所以P与Q的横坐标相同,所以n PQ J_ n:9,两边取对数得:lgn一21gn一lgn?, 令lgl+p:2(1gan+),即lgan+一21gn+,所 以一--lgn,所以?式化为lg1--lga:2(1gan—n), 因为lgn一lgn—lg?o,所以数列{lgn一lgn} 是以lg为首项,以2为公比的等比数列. 所以lgan一(1ga--~)2"..,所以lg一lg()., ,,2 即一n(). 策略五试验一归纳一猜想一证明 由一般的递推关系n一/(一),可先计算出n,n, n一,再根据这几项的规律归纳猜想出n的通项公式 再进行严格证明. 例6(2004年高考北京理科卷)fCr)是定义在[O, lib的增函数,满足/(z)=2f(吾)且/(1)一1,在每个 区间(古,I(1,2,…)上,j,一fCr)的图像都是斜 率为同一常数志的直线的一部分. (I)求/(o)及f(1),f(1)的值,并归纳出 /(素)(1,2,…)的表达式; o代人可得/(o)一1,把一1代人得/()一一 1 , 把—1, {等代人可得/({),/(吉),于是可猜 出/()的表达式. (?)解决此类问题的关键是:?写出函数/()的 表达式:当吉<?[hff()一+志(一); ?利用梯形面积公式求n再化为求和问题. /(O)一2/(O),得/(O)一O,由/(1)= 解(I)由 2/(丢)及/(1)一1得/(吉)一1,同理/({)一 1 八1/一1. 归纳得/(吉)一吉(=1,2,…). (?)当<?时,由题意可设/()=+ 志(一),则 [++叱1一1)](一) 一 (1一鲁)(1.2,3,…), 所以{n}是首项为1i-鲁),公比为{的等比 数列,所以志一— 1 _ (1— -- 丁 k 一 )2一 _;I(一鲁). 4 /'()定义在Eo,1]上,(志)的定义域为(0,1],又 厂()为增函数,则志?1,所以当志一1时(志)取最小值 1 ?n — ? 解题回顾数列是一种特殊的函数,数列本身就是 难点,再加上函数,就难上加难.虽然此题细细读来感觉 并不很难,但学生可能会因为题干语言丰富,包含的信 息量大而放弃,或者出现理解上的失误.此题凸显了对 能力考察的力度.如2004年全国卷?理科22题,2004 年浙江高考题等都是这种类型问题.