常微分方程课件（可编辑）

常微分方程 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 （可编辑） 300多年前由牛顿Newton1642-1727和莱布尼兹Leibniz1646-1716所创立的微积分学是人类科学史上划时代的重大发现而微积分的产生和发展又与求解微分方程问题密切相关这是因为微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求一般地运动规律很难全靠实验观测认识清楚因为人们不太可能观察到运动的全过程然而运动物体变量与它的瞬时变化率导数之间通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系我们容易捕捉到这种联系而这种联系用数学语言表达出来其结果往往形成一个微分方程一旦求出这个方程的解其运动规律将一目了然下面的例子将会使你看到微分方 程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言 例1 物体下落问题 设质量为m的物体在时间t0时在距地面高度为H处以初始速度v0 v0垂直 地面下落求ss此物体下落时距离与时间的关系 解 如图1-1建立坐标系设为t时刻物体的位置坐标于是物体下落的速度为 加速度为 质量为m的物体在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力当速度不太大时空气阻力可取为与速度成正 比于是根据牛顿第二定律 F ma 力质量×加速度 可以列出方程 11 其中k , 0为阻尼系数g是重力加速度 11式就是一个微分方程这里t是自变量x是未知 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数是未知函数对t导数现在我们还不会求解方程11但是如果考虑k0的情形即自由落体运动此时方程 11可化为 12 在一个常微分方程中未知函数最高阶导数的阶数称为方程的阶这样一阶常微分 方程的一般形式可表为 n 阶隐式方程的一般形式为 111 n 阶显式方程的一般形式为 112 在方程111中如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′y〃yn的全体而言是一次的则称为线性常微分方程否则称它为非线性常微分方程这样一 个以y为未知函数以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式 显然方程14是一阶线性方程方程15是一阶非线性方程方程 16是二阶线性方程方程17是二阶非线性方程 通解与特解 微分方程的解就是满足方程的函数可定义如下 定义1, 设函数 在区间I上连续且有直到n阶的导数如果把 代入方程111得到在区间I上关于x的恒等式 则称 为方程111在区间I上的一个解 这样从定义11可以直接验证 1 函数y x2C是方程14在区间-??上的解其中C是任意的常数 2 函数是方程15在区间-11上的解其中C是任意常数又方程15有两个明显 的常数解y ?,这两个解不包含在上述解中 2 函数 是方程15在区间-11上的解其中C是任意常数又方程15有两个明显的常数解y ?,这两个解不包含在上述解中 3 函数 是方程16在区间-??上的解其中和 是独立的任意常数 4 函数 是方程,,在区间-??上的解其中和 是独立的任意常数 这里我们仅验证3其余留给读者完成事实上在-??上有 事实上在-??上有 所以在,?，?上有 从而该函数是方程16的解 从上面的讨论中可以看到一个重要事实那就是微分方程的解中可以包含任意常数其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等也可以不含任意常数我们把n阶常微分方程111的含有n个独立的任意常数C1C2Cn的解 称为该方程的通解如果方程111的解不包含任意常数则称它为特解由隐式表出的通解称为通 积分而由隐式表出的特解称为特积分 由上面的定义不难看出函数 和 分别是方程1415和16的通解函数 是方程17的通积分而函数y ?,是方程17的特解通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值 确定这种确定过程需要下面介绍的初始值条件或简称初值条件 初值问题 例 1中的函数13显然是方程12的通解由于C_1 和C_2是两个任意常数这 表明方程12有无数个解解的图像见下面的图a和图b所示 而实际经验表明一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹产生这种多解性的原因是因为方程12所表达的是任何一个自由落体在任意瞬时t所满足的关系式并未考虑运动的初始状态因此通过积分求得的其通解13所描述的是任何一个自由落体的运动规律显然在同一初始时刻从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体应有不同的运动轨迹为了求解满足初值条件的解我们可以把例1中给出的 两个初始值条件即 初始位置 x0 H 初始速度 代入到通解中推得 于是得到满足上述初值条件的特解为 114 初值问题也常称为柯西Cauchy问题 对于一阶方程若已求出通解 只要把初值条件 代入通解中得到方程 从中解出C设为C_0代入通解即得满足初值条件的解 对于n 阶方程若已求出通解 后代入初 值条件115得到n个方程式 如果能从117式中确定出 代回通解即得所求初 值问题的 例2 求方程 的满足初值条件 的解 解 方程通解为 求导数后得 将初值条件代入得到方程组 解出C_1和C_2得 故所求特解为 积分曲线 为了便于研究方程解的性质我们常常考虑解的图象一阶方程19的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线称为方程19的积分曲线而通解的图象是平面上的一族曲线称为积分曲线族例如方程14的通解C是xoy平面上的一族抛物曲线而是过点00的一条积分曲线以后为了叙述简便我们对解和积分曲线这两个名词 一般不加以区别对于二阶和二阶以上的方程也有积分曲线和积分曲线族的概念 只不过此时积分曲线所在的空间维数不同我们将在第4章详细讨论 最后我们要指出本书中按习惯用 而 分别代表 第2讲 变量可分离方程 1(什么是变量 可分离方程 com 显式变量可分离方程的解法 1 在方程118中假设gy是常数不妨设gy1此时方程118变为 120 设fx在区间ab上连续那么求方程120的解就成为求fx的原函数不 定积分的问题于是由积分上限所确定的函数 121 就是方程121的通解其中C是一个任意常数是一个固定数是自变量 2假设gy不是常数仍设fx在区间ab上连续而gy在 区间上连续 若 yyx 是方程118的任意一个解且满足yx_0y_0则由解 的定义有恒等式 122 假设gy?0于是可用分离变量法把方程写成 123 将上式两端积分得到恒等式 124 上面的恒等式表明当gy?0时方程118的任意一个解必定满足下面的隐函 数方程 125 com 微分形式变量可分离方程的解法 方程 是变量可分离方程的微分形式表达式这时x和y在方程中的地位是平等的即 x与y都可以被认为是自变量或函数 在求常数解时若 则yy_0为方程119的解同样若 则xx_2也是方程119的解 当时 用它除方程119两端分离变量得 上式两端同时积分得到方程119的通积分 本节要点 1(变量可分离方程的特征( 2(分离变量法的原理微分方程118与分离变量后的积分方程126当 时是同解方程( 3(变量可分离方程一定存在常数解yy_0 并且满足 ( 第3讲 齐次微分方程 1(什么是齐次方程 上一节介绍了变量可分离方程的解法有些方程它们形式上虽然不是变量可分离方程但是经过变量变换之后就能化成变量可分离方程本节介绍两类可化为 变量可分离的方程 如果一阶显式方程 19 的右端函数可以改写为的函数那么称方程19为一阶齐次微分方程 所以它们都是一阶齐次方程(因此一阶齐次微分方程可以写为 127 com 齐次方程的解法 方程127的特点是它的右端是一个以为变元的函数经过如下的变量变换它 能化为变量可分离方程 令 则有 代入方程127得 方程128是一个 变量可分离方程当 时分离变量并积分得到它的通积分 129 或 即 其中 以代入得到原方程127的通积分 在一般情况下如何判断方程19是齐次方程呢 这相当于考虑什么样的二元函数 能化成形状为 的函数下面我们说明零次齐次函数具有此 性质 所谓 对于变元x和y是零次齐次式是指对于任意 的常数有 恒等式 因此令 则有 因此所谓齐次方程实际上就是方程19的右端函数 是一个关于变元xy的零 次齐次式 如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程