D_1维时空中平行板内有限温度Casimir效应

D_1维时空中平行板内有限温度Casimir效应 ol , 40， o, 6 VN第40 卷 第 6 期上海师范大学学报( 自然科学版) 2 0 1 1 Dec ,， 2 0 1 1 1 2 Journal of Shanghai Normal University( Natural Sciences) 年 月 Casimir+ 1 D 维时空中平行板内有限温度效应 ，杨洋翟向华 ( )，200234上海师范大学 天体物理中心上海 +1 Casimir : D 摘 要利用采他函数正则化方法计算 维时空中平行板内电磁场的有限温度 效 ，、Casiir ，, D =3 m应得到自由能熵和 压力的解析 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式并讨论高温和低温情形的极限结果在 ，，, 情况下通过数学变换可回到文献中利用格林函数正则化得到的结果 : Casiir ; ; m关键词效应有限温度采他函数正则化 1000-5137( 2011) 06-0650-: : O 412, 3A: 文章编号中图分类号文献标识码 08 0 引言 ,1, 1948 Casimir ，年 预言了量子场的真空扰动可使两块平行板之间产生力的作用这个效应被称 ,2 , 4,Casimir , ，1997 Casimir , 为 效应由于实验技术的进步在 年以后 效应得到了精确的实验验证之 ，Casimir , ，后对 效应的研究在理论上和实验上都引起人们极大的兴趣理论上人们研究了各种场在 ,5 , 9,,9,Casimir Casimir , 各种不同的几何形状和各种边界条件下的 效应以及真实材料边界的 效应实 ,9,，Casimir Casimir 验上人们对各种材料构成的不同形状的边界进行了 力的测量并考虑 力在纳米技 ,10 ,1 1, ,术中的应用 Casimir ，, ，计算 能量时不可避免地要计算发散的无限求和项对无限发散求和项的正则化常用的方 ,12 , 13,, , 法包括格林函数方法和采他函数方法等其中采他函数正则化方法是一种非常优雅的方法在理 ,9，14，15,，Casiir ，m论研究中有限温度下的 效应是引起人们关注的一个重要研究内容因为典型的量子态 , Casimir ，Matsubara 含有处于热平衡的粒子计算有限温度的 效 应常用的方法是从 形 式 的 量 子 场 ,16 , 17,wick ，，，论出发对闵可夫斯基空间作 转动使之变为欧几里德空间的量子场论写出相应的配分函 ，，，，Casimir ,数计算自由能再用格林函数方法或采他函数方法进行正则化得到有限的结果求出 力 ,9,，、、Casimir , D文献中对平板边界矩形腔球边界和柱边界在有限温度下的 效应都进行过讨论最早对 ,19,,20 ,21, ，，Geyer Casimir ，而针对这个问题等人对矩形腔内有限温度 效应进行了严密的讨论考虑了这个问题,18,p Casiir bjrn olfra, ，Li Teo mAmWmm维空间中 维腔内有限温度 效应进行计算和讨论的是 和 最近和 重 ，，利用采他函数正则化方法得到自由能的有限结果并指出以往文献中存在的一个问题即没有扣除自由空间新 ，, 中黑体辐射的贡献这可以从高温极限时不能回到经典结果而清楚地看出来而对于两无限大平板边界这种 ,22,，Casimir ，更基本的情形很早就有文章讨论过这种边界内有限温度 效应但是多数文章都是利用格林函数 , D Casimir , 方法进行正则化的文献中没有给出对于 维空间中平板边界有限温度 自由能的正确结果本文作者 D asiir ，，Cm计算 维空间中两平行板内电磁场的有限温度 效应用采他函数方法正则化系统的配分函数得到自 0530: 2011--收稿日期 : ( 10671128) ; ( 211059) ; 基金项目国家自然科学基金教育部科学技术研究重点项目上海市教委科研创新重点项目 ( 11ZZ123) : ( 1985 , ) ，，; ( 1969 , ) ，，作者简介杨 洋男上海师范大学天体物理中心硕士研究生翟向华女上海师范大学天体 , 物理中心教授 Casimir ，, D =3 ，，、由能熵和 压力的解析表达式并讨论高温和低温情形的极限结果在 情况下通过数学变换可 , h =c =k =1，回到文献中利用格林函数正则化得到的结果本研究取自然单位制 只在最后画图进行数值计算 B ,时恢复标准单位制 1 astubara M形式和热力学函数 Matsubara ，，t? , i，在 形式人们使用欧几里德场论它通过对时间轴作转动 τ 而得到因此可以看作 , ,，= 1 /( kT) ,0，闵可夫斯基时空场论的延伸欧几里德时间 τ被限制在间 隔 τ?β内β 等效于温度倒数 B ，k, :的量纲其中 是玻尔兹曼常数配分函数有如下泛函积分表示 B , S,φ,E = CDe,( 1)Zφ ? S,,, iS, D φ是欧几里德作用量它可以通过把闵可夫斯基时空的作用量替换成 获得对于 维空间中的EE ，有质量玻色子场 β 1 D dd xK， S,, =τφφ ( 2)φ EE ?? 02 其中 2 K= , + m ，( 3)?E E 2 = + , ( 1) ，( + ，x)= ( ，x) ,??是欧几里德波算符在泛函积分中被积的场必须满足周期性条件 φτ βφτ E 2 τ ，, ，由于考虑的是自由场论泛函积分是可直接计算的高斯型积分利用量子场论中的标准计算方法 :获得配分函数的形式如下 1 ,1 /2, Tlog ( K) rE 2 ，Z = C(d etK) = Ce( 4) E Tlog( K)rE etK=e , ，C，:d其中利用了熟知的公式 进一步丢掉不相关的常数 可将配分函数的对数表达为 E 1 log( Z) = , T log( K ) ，( 5) Er 2 ( 1) ，在这个表达式中取迹是在与泛函积分中要积分的场相同的空间中进行的取迹得到的结果将成为K, T ，:对算符 的本征值的对数求和对于温度为 的有限体积热平衡系统热力学函数有如下表达式 E 1 = , log( Z) ，F β = , l og( Z) ， E β F1 2 = , ，β log( Z) S = , ， ，Tβ β ( 6)F ，E ，S ,其中 为自由能为总能量为熵 2 D +1 Casimir 维时空中平行板内电磁场 效应 2, 1 平行板内电磁场自由能 652 上海师范大学学报( 自然科学版)2011 年 '2 D ,1 ? ? dk1 2n n ππ 0 2 D ,1 2 Llog F =++ k ，)( 7) ?? , , ?， ， D ,1， ， 2β n= , n = , ? ? ( 2)aπ0 β n=n =0 , ，, 其中求和号上的撇表示求和不包含 的项上式求和结果为无穷大需要进行正则化利用采他 0 ，:函数正则化方法上式成为 'D ,1, s2 ? ? 2 1n2d kπ n π D ,1 0 2 L ++ k, F( s) = ,lim( 8) ?? , , ?， ， D ,1， ， s?0 2sβ n= , n = , ? ? ( 2)ɑπ 0 β :利用公式 D /2 ? ? 2π D D ,1 f( k)d kkf( k)d k ， =( 9) ?? , ( D /2) 0?Γ :可得到 D ,1 'D ,22 , s? ? 2 ? 2 12n2kπ π nπ D ,1 0 2 L + kdk , F( s)= ,lim+( 10) ?? , , ?， ， D ,1， ， s?0 0 2D , 1 sβ n= , n = , ? ? a( 2) π β 0 Γ， ， 2 k ， 上式对 的积分是收敛的应用积分公式 D , 1 2 s , D + 1 ΓΓ， ，， ， ? D ,2s ,1 1 2 s D ,22 , s 2 ，u,u+ A,du = A( 11) ? 0 2 Γ ( s) 并利用等式 f( s) lim= f(0 ) ，( 12) s?0 s ( s )Γ s =0 ，f( s) s =0 , , :在 时移去正则化其中 在 时为任意正则函数并代入爱泼斯坦 采他函数 ? ? ， s 2 2 , 2 Z( a，…，a; s )… ,( na) + … + (n a) , ，( 13)? p 1 p ? ? 1 1 p p n= , n= , ? ?1 p :得到正则化的自由能 D ,1 2 ? ? ， 2 D ,12 1n 1 ,D n D ,1 ren 0 2 L+ F= ,πΓ = ?? , , ， ， ， ， ， ， 2β 2 n n =, ?= , ?2a β 0 D ,11 1 , ( 14),D 2 ， ， 2β 2 2aβ , :利用爱泼斯坦 采他函数反演公式 s s , p 1 1 2 Z， Γπ ，…， ( 15); p , sppp1 1 p ， ， ， ， 2 2 aa 1 p :得到 D + 1 D ,1 LaΓ， ， 2 ren FZ ( ，2a; D + 1)( 16)= ,β, 2 D +1 2π ,14, , ( z) K( z) ，爱泼斯坦 采他函数可用黎曼采他函数 ζ和第二类修正贝塞尔函数 表示 所以可写出正则 ν :后单位底面积内自由能的表达式 + 1DD ( D + 1)( D) ζΓζΓ D ， ， ，，ren? ? 2 2F2 1 nn βπ n 0 D= ,,,K F，( 17)? ，a ? ? β D DD +1 D D， ， D ,1， ， 2 DD D,2n = 1 n = 1 Ln a 0 2 2 2 2 2 0 2 a 2 πaπ ββ K( z) ,a ，,a ，，，随宗量增大迅速衰减所以上式可较好地表示 β 的情形而当 β 时更适用的表达式为 ν D D + 1 ( D)( D + 1) a2ΓζΓζ D ， ， ， ， ? ? 2 2 2 1 n4n naπ 0 0 D F= ,,,K, ( 18) ，a ? ? β DD +1D D D，， ， ， 2 D ,1 D ,1 D +1,3 ,1 +1 n= 1 n = 10 nβ 2 2 2 2 2 2a2 a π βπ ββ 2, 2 Casimir 平行板内电磁场含温度 效应 Casiir ，，，m在任何边界的 效应的计算中都需要通过各种正则化方法减去自由空间的贡献得到正则 ,16,Casimir , Geyer Casimir ，，化的 能量等人在文献中对于有限温度 效应的计算将零温部分的贡献和含 ，，，，温度部分的贡献分开讨论对于零温部分可根据常用的正则化方法处理而对于含温度部分的贡献需 ，Casimir , 要减去自由空间中黑体辐射的贡献才能得到有物理意义的 能量他们用这种方法讨论了三维 Casimir ，，空间中平板内电磁场的 效应得到了与用格林函数方法正则化相同的结果同时表明了有些文 , ，D 1 +献由于没有减去黑体辐射贡献而导致了错误结果在这里本文作者考虑 维时空中平板边界有限 Casimir ，，，温度 效应将零温部分和含温度部分合在一起考虑经过采他函数正则化步骤后零温部分可自 ，，,动正则化而对于含温度部分必须再减去黑体辐射的贡献 ,16,D : 维空间中标量场黑体辐射的自由能密度为 D + 1 ( D + 1)Γζ， ， ? kT2 B D, kβ d k log( 1 ,e ) = ,f=,( 19) bb ?D +1D , ?D +1( 2) π2 π β ( 9) , 2，, 上式中积分的计算需要用到公式以上结果乘以 才是电磁场的自由能密度要考虑的是限制在体D , 1 V =L a ，( 17) ( 18) 2af ，积 内的自由能所以在式和式中需要减去的黑体辐射贡献是 最终得到有物理 bb Casiir :m意义的单位底面积内 自由能为 DD + 1D + 1 ) ( D)) ( D + 1)) ( D + 1) a( ζ( ζ( ζ2ΓΓΓ 2 2 2 physF = ,,+, ，a β DD +1D +1 D DD +1D2 2 2 2a π βπ π β D ? ? 2 1 n nβπn 0 D K ( 20)? ? D D D ， ， ， ， 2 ,2 n= 1 n = 1 na0 2 2 2 02 a β 和 D ( D)Γζ D ， ， ? ? 2 2 1 n4n nβπ phys0 0 D F K= ,,( 21), ，a ? ? β DD D D ， ， ， ， 2 D ,1 D ,1 ,3 ,1 +1 n= 1 n = 10 nβ 2 2 2 2 2aa 2 π ββ Casiir m单位底面积上 压力为 phys F P = , ,( 22)a 1 ，T= , ( 20) ，( k( z) ) ，在自然单位下定义有效温度为 由式略去指数衰减项即含 项可得到低温极限eff ν 2a a 、asiir Cmβ下单位底面积内的自由能压力和单位底面积内的熵的渐进表达式分别为 654 上海师范大学学报( 自然科学版)2011 年 1 D + 1 D ， ，2 ( D + 1) Γζ( D)π Γζ， ， ， ， DD +1 , ,2 2 T T phys ， F = , 1 +, a, , β D +1 ， ， ， ， D D+ 1D TT 2 , 2aeffeff, π ( D + 1)Γζ， ， ， ， 2 D + 1 D() ( D + 1)Γζ D +1 2 1 T ，P= ,+1 a β, ,D +1 ， ， D D +1DT 2 eff 2aπ DD + 1 D( ) ( D)( D + 1) a() ( D + 1)2ΓζΓζ 2 2 D ,1D ( 23)S=,,T T a βD+1D 22π π ( 21) a 、Casiir ，m类似地由式可写出高温极限 β下单位底面积内的自由能压力和单位底面积内的熵的 :渐进表达式 D ( ) ( D)Γζ 2 phys F ，= , aβ D D ,1 D ,1 2 2aπ β D ( D ,1 ) ( ) ( D)Γζ 2 P= ,，( 24) a β D D ,1 D 2 2aπ β D ( ) ( D)Γζ 2 S=, a βD D ,1 D ,12 2aπ 3 Casimir 三维空间金属平行板内有限温度 效应 Casiir , a , a ( 20) ( 21) , m三维空间中平板内电磁场的 自由能可分别在 β 和 β 时由式和式得到在 , a( 20) :，β 时由式得到 1 3 2 n2 ? 2 2 nn a2 ( 3) πβ π ζπn 0 phys 3 F = ,,,K,( 25)+ ，a ，D = 3? ? β 3 3 ， ， 3， ， 342 n = 1 n = 1720a2 n45 πβ β a 2 2 0 0 a β T1 π eff ,14，20，22,,z 3 = ( 25) :，K ( z)e ( 1 + ) ，t式得到文献中大家所熟知的结果 则可从利用 并令 ? 2 2zzT 槡 2 ? 45 1 π coth( nt) ππ physF = ,1 +,,( 26)+ ，a ，D = 3β ? , , 3, 4 , 3 3 2 2 2 3 720an = 1tnsinh( tn)ttn ππ ，,a ，( 21) :类似地在 β 时可从式得到自由能的另一种表达方式 ? coth( n / t) 1 π π physF ( 27)= ,+, ，a ，D = 3? β , , 3 2 2 3 16an = 1tnsinh( n / t)πtnπ ，,a ，Casimir :恢复标准单位制在 β 情形下写出两板之间的 压力 1 1 1 3 2 42? ? 22 2 ( kT) ( c) 2 ( kT) π π 2 c cnnππBB n 0 1 nn PK = ,,+( 28) ，a ，D = 3 β ? ? 0 7 ， ， 34， ， 2 45( c) n = 1 n = 1240an ak T 0 2 0 Ba 和单位底面积内的熵 1 1 1 3 3 2 2 4 3? ? 2 2 23( 3) kT4akT2 ( c) k πζπ2 cnnπBBB n 0 5 nn K S=,+，( 29) ，a ，D = 3 ? ? 0 β 5 1 ， ， 2 3， ， 2 n = 1 n = 1 2( c) 45( c) nπ ak T 0 2 2 0 Ba T ,a Casimir ,，类似地可写出 β 情形下的 压力和单位底面积内的熵 a ，asiir :Cm在 β的低温极限情形单位底面积内的 自由能和压力的渐进表达式为 2c45 T T π 3 4 ，F= ,+ ( ) , ( )1 a，D = 3 β, , 33TT720a πeffeff ( 30)2cπ 1 T 4 P= , ,)1 + ( a，D = 3 β, , 4240a3 T eff a ，Casimir :在 β的高温极限情形单位底面积内的 自由能和压力的渐进表达式为 kTB F，= ,( 3) ζ a，D = 3 β 28aπ ( 31)kT B P= ,,( 3) ζ a，D = 3 β34aπ ,可见在三维空间中本研究得到了大家熟知的经典极限结果 ( 28) ( 29) Casimir a T 1 , 利用式及式将 压力和单位底面积内的熵随距离 和温度 的变化表示在图 4 , 1 2 Casiir , 1 ，， mm图 中图 是当板间距离为 μ时 压力随温度的变化关系从图 中可见当温度趋于零时 Casimir ，，Casimir ，( 30) ( 31) ,压力趋于零温结果而在高温极限压力与温度成正比这与和的结果一致2T = 0 K T = 300 K Casimir ，Casimir 图 是温度分别为 和 时 压力与板间距离的关系可见两板之间的 压 ，，，T = 300 = 0 , 3 K T K 力为吸引力随板间距离增大而减小在相同的距离上时的力比 时的力大图 和 图 4, ，，描述了单位底面积内的熵与温度和板间距离的关系可见熵随温度的升高而增加温度趋于零时 k( 3)ζ B , ，，,，，同时可见熵随距离增大而减小距离趋于无穷大时熵趋于零熵为零高温极限下熵趋于28aπ =0 K，300 K Casimir 2 T =2 ，asiir 1 a mCm图 时 压力与距离的关系图 μ时压力与温度的关系 4 总结 +1 Casimir ，D 讨论了 维时空中两平行板内电磁场的有限温度 效应用采他函数方法对系统的配分 ，，，函 数进行正则化零温部分的贡献自动得到正则化而对于含温度部分必须减去自由空间中黑体辐射 656 上海师范大学学报( 自然科学版)2011 年 =30 0，500，1000 K 3 T 图 时候熵与距离的关系=2 m 4 a 图 μ时熵与温度的关系 Casimir 、Casimir ，，的贡献最后得到有物理意义的 自由能熵和 压力的解析表达式并讨论高温和低温情 , D =3 ，，, 形的极限结果在 情况下通过数学变换可回到文献中利用格林函数正则化得到的结果 :参考文献 ,1,CASIMIR H B G, On the attraction between two perfectly conducting plates,J,, Proc K Ned Akad Wet，1948，51( 7) : 793 , 795, ,2, LAMOREAUX S K, Demonstration of the Casimir force in the 0, 6 to 6 mm range,J,, Phys Rev Lett，1997，78( 1) : 5 , ,3, MOHIDEEN U，ROY A, Precision Measurement of the Casimir Force from 0, 1 to 0, 9 m,J,, Phys Rev Lett，8, μ1998，81 ( 21) : 4549 , 4552, ,4, BRESSI G，CARUGNO G，ONOFRIO R，et al, Measurement of the Casimir Force between Parallel Metallic ,5,LI X Z，CHENG H B，LI J M，et al, Aractive orr epulsive nature of the Casimir force in recangular cavity,J,, Phys Rev D，Surfaces,J,,Ph ys Rev Lett，2002，88( 4) : 041804 , 1 , 4, 1997，56( 4) : 2155 , 2162, ZI ，LI Z, Casiir piston with hybrid boundary conditons,J,, Phys ev ，2007，76( 4) : 047704 , 1 , 4, HAX HX mRD ,6, ,7, ZHAI X H，LI X Z，FENG C J, The Casimir force of Quantum Spring in the( D + 1) , dimensional spacetime,J,, od M ,8,Phys Lett A，2011，26( 9) : 669 , 679, ZI ，LI X ZFENG C J, Ferionic Casiir effect with helix boundary condition,J,, Eur Phys J C，2011，71( 5) : HAX H，mm ,9,1654 , 1 , 5, BORDAG M，KLIMCHITSKAYA G L，MOHIDEEN U，et al, Advances in the Casimir effect,M,, New ,10,York: Oxford Uni- versity Press，2009, SERRY F M，WALLISER D，MACLAY G J, The role of the Casimir effect in the static deflection and stiction of ,11, membrane strips in microelectromechanical systems( MEMS) ,J,, J Appl Phys，1998，84( 5) : 2501 , 2506, BATRA R C，PORFIRI ，SPINELLO D, Effects of Casiir force on pull , in instability in icroebranesMmmmm,12, ,J,, Europhys Lett，2007，77( 2) : 20010 , 1 , 6, ,13, LI X Z，SHI X，ZHANG J, Generalized Riemann function regularization and Casimir energy for a piecewise uniform , ζ ,14,MILTON K A, The Casimir effect: Physical manifestations of zeto , point energy,M,, Singapore: orld Scientific，2001,W,15, KIRSTEN K, Casimir effect at finite temperature,J,, J Phys A: Math Gen，1991，24( 14) : 3281 , ,16, 3297,DA S A, Finite Temperature Field Theory,M,, Singapore: orld Scientific，1997, W ,17, ZEE A, Quantum Field Theory in a nutshel,lM,, Princeton: Princeton University Press，2003, ,18, BJ J，LF S, Properties of the vacuu, I, echanical and therodynaic,J,, Ann Physics，AMORNWORAMmMmm 1983，147 ,19,( 1) : 1 , 32, LIM S C，TEO L P, Finite temperature Casimir energy in closed rectangular cavities: a rigorous derication basedo n a zeta ,20,function technique,J,, J Phys A: Math Theor，2007，40( 38) : 11645 , 11674, GEYER B，KLIMCHITSKAYA G L，MOSTEPANENKO V M, Thermal Casimir effect in ideal metal ,21, rectangular boxes,J,,Eu r Phys，2008，57( 4) : 823 , 834, ,22,STEPE , Experient，theory and the Casiir effect,J,, Journal of Physics，2009，Conference MOANNKOV Mmm Series: 161 ( 1) : 012003, BROWN L S，MACLAY G J, Vacuum Stress Between Conducting Plate: An Image Solution,J,, Phys Rev， 1969，184( 5) : Finite tempeatue Casimi effect betweenp aallelrrrr 1272 , 1279, paes in (D + 1)-dmensona spaceme ltiilti YANG Yang，ZHAI Xiang- hua ( Shanghai United Center for Astrophysics，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China) Abstact: e study the finite teperature Casiir effect between parallel plates in D + 1 , diensional spacetie by using zeta-rWmmmm function regularization technique, e get the analytical results for free energy，entropy and Casimir pressure and give the asymp-W totic expressions for low and high temperature limits, In the case of D = 3，we recover the result in the literature which iso btained by using Green function regularization technique, Key words: Casimir effect; finite temperature; zeta-function regularization ( : )责任编辑顾浩然