加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力
19(1(平行四边形的性质(1)
1、理解并掌握平行四边形的定义
2、掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2 知识与技能 教3、理解两条平行线的距离的概念 学4、培养学生综合运用知识的能力 目过程与方法 经历探索平行四边形的有关概念和性质的过程， 发展学生的探究意识和合情推理的能力。 标
情感态度与价值观 培养学生严谨的思维和勇于探索的思想意识，体会几何知识的内涵与实际应用价值。
重点 平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用(
难点 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算(
教 学 过 程
备 注 教学设计 与 师生互动
第一步:导入课题:
引入:
在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形，如竹篱笆格子、推拉门、汽车
防护链、书本等，都是平行四边形，平行四边形有哪些性质呢,
复习:
1、什么是四边形,四边形的一组对边有怎样的位置关系,
2、一般四边形有哪些性质,
3、平行线的判定和性质有哪些
第二步:探究新知;
【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别
平行外，还有什么特殊的性质呢,
已知:如图ABCD，
求证:AB,CD，CB,AD，?B,?D，?BAD,?BCD(
分析:作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成?ABC和?CDA，证明这
两个三角形全等即可得到结论(
(作对角线是解决四边形问题常用的辅助线～通过作对角线～可以把未知问题转化
为已知的关于三角形的问题()
证明:连接AC，
? AB?CD，AD?BC，
? ?1,?3，?2,?4(
又 AC,CA，
? ?ABC??CDA (ASA)(
? AB,CD，CB,AD，?B,?D(
又 ?1，?4,?2，?3，
? ?BAD,?BCD(
1
加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 总结:
1、平行四边形的定义:
(1)定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 (2)几何语言表述 ? AB?CD AD?BC ?四边形ABCD是平行四边形 (3)定义的双重性 具备“两组对边分别平行”的四边形，才是“平行四边形”，反过来，“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”性质。 (4)平行四边形的表示:用 表示，如 ABCD 2、平行四边形的性质
(1)共性:具有一般四边形的性质
(2)特性:(板书)
角 平行四边形的对角相等
边 平行四边形的对边相等
推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
注意:平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角(而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角(
3、两条平行线的距离(定义略)
注意:
(1)两相交直线无距离可言
(2)与两点的距离、点到直线的距离的区别与联系
第三步:应用举例:
例(补充)如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，
求证:AF=CE(
分析:要证AF=CE，需证?ADF??CBE，由于四边
形ABCD是平行四边形，因此有?D=?B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF(由“边角边”可得出所需要的结论(
证明略( 0例:(1)在平行四边形ABCD中，?A=50，求?B、?C、?D的度数。 (2)在平行四边形ABCD中，?A=?B+240，求?A的邻角的度数。 (3)平行四边形的两邻边的比是2:5，周长为28cm，求四边形的各边的长。 (4)在平行四边形ABCD中，若?A:?B=2:3，求?C、?D的度数。 例:如图(5)，AD?BC，AE?CD，BD平分?ABC，求证AB=CE 如图(6)，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证AF=CE
ADADEF
BCBEC图(5)图(6)第四步:随堂练习
1(填空:
(1)在ABCD中，?A=，则?B= 度，50:
?C= 度，?D= 度(
(2)如果ABCD中，?A—?B=240，则?A=
度，?B= 度，?C= 度，?D= 度(
(3)如果ABCD的周长为28cm，且AB:BC=2?
5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，
CD= cm(
2(如图，在ABCD中，AC为对角线，BE?AC，DF?AC，E、F为垂足，求证:BE,DF(
3、(选择)在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是( )(
2
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(A)对角相等 (B)对角互补 (C)邻角互补 (D)内
角和是 360:
4、如图:在ABCD中，如果EF?AD，GH?CD，EF与
GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有( )(
(A)4个 (B)5个 (C)8个 (D)9个
5、如图，AD?BC，AE?CD，BD平分?ABC，求证AB=CE(
第五步:课后小结 :1、平行四边形的概念。 2、平行四边形的性质定理
及其应用。 3、两条平行线的距离。 4、学法指导:在条件中有“平行四边形”
你应该想到什么,
课后小结与反思 :
19(1(平行四边形的性质(2)
1( 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质(
2( 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明知识与技能 题( 教
3( 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力( 学
目过程与方法 经历探索平行四边形的有关概念和性质的过程， 发展学生的探究意识和合情推理的能力。 标
情感态度与价值观 培养学生严谨的推理能力，和合作交流的习惯，体会平行四边形的实际应用价值。 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质( 重点
1、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题( 难点 2、培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力(
教 学 过 程
备 注 教学设计 与 师生互动
第一步:课堂引入
1(复习提问:
(1)什么样的四边形是平行四
边形,四边形与平行四边形的
关系是:
(2)平行四边形的性质:
?具有一般四边形的性质(内角和是)( 360:
?角:平行四边形的对角相等，邻角互补(
?边:平行四边形的对边相等(
3
加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 第二步:探究新知:
【探究】:
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，
并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点
O(把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图
钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH180:
重合吗,你能从子中看出前面所得到的平行四边形的
边、角关系吗,进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗,
【结论】:
(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心; (2)平行四边形的对角线互相平分(
平行四边形的高:在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高(这里所说的“底”是相对高而言的(
S平行四边形的面积等于它的底和高的积，即,a?h((其中a可以是平行，ABCD四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高) 注意:如图(1)(要避免学生发生如图(2)的错误(为了区别，有时也可以把高记
hh成、，表明它们所对应的底是a或AB( aAB
第二步:应用举例:
例1(补充) 已知:如图ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F(
求证:OE,OF，AE=CF，BE=DF(
证明:在 ABCD中，AB?CD，
? ?1,?2(?3,?4(
又 OA,OC(平行四边形的对角线互相平分)，
? ?AOE??COF(ASA)(
? OE,OF，AE=CF(全等三角形对应边相等)(
? ABCD，? AB=CD(平行四边形对边相等)(
? AB—AE=CD—CF( 即 BE=FD(
※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立,若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图c和图d)，例1的结论是否成立，说明你的理由(
解略
例2(教材P94的例2)已知四边形ABCD是平
行四边形，AB,10cm，AD,8cm，AC?BC，求
BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积(
分析:由平行四边形的对边相等，可得BC、CD
的长，在Rt?ABC中，由勾股定理可得AC的长(再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算
公式
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:平行四边形的面积=底×高(高为此底上的高)，可求得ABCD的面积(,平行四边形的面积
小学
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学过～再次强调“底”是对应着高说的～平行四边形中～任一边都可以作为“底”～“底”确定后～高也就随
4
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之确定了(,3.平行四边形的面积计算
解略(参看教材P94)(
第三步:随堂练习
1(在平行四边形中，周长等于48，
? 已知一边长12，求各边的长
? 已知AB=2BC，求各边的长
? 已知对角线AC、BD交于点O，?AOD与?AOB
的周长的差是10，求各边的长
2(如图，ABCD中，AE?BD，?EAD=60?，AE=2cm，AC+BD=14cm，则?OBC
的周长是____ ___cm(
3(ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成
，的两条线段，则ABCD的周长是__ 5cm7cm
___( cm
第四步:课后练习
1(判断对错
(1)在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD( ( )
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等( ( )
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等( ( )
(4)平行四边形是轴对称图形( ( )
2(在 ABCD中，AC,6、BD,4，则AB的范围是__ ______(
3(在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为(x+3)，(x-4)
和16，则这个四边形的周长是 (
4(公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿
地上要修几条笔直的小路，如图，AB,15cm，AD
,12cm，AC?BC，求小路BC，CD，OC的长，
并算出绿地的面积(
课后小结与反思:
19.1.2 平行四边形的判定(一)
1(在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法( 知识与技能 2(会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题( 教
学 3(培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题(
目过程与方法 经历平行四边形判定条件的探索过程，发展学生的合情推理意识和表述能力。 标
情感态度与价值观 培养学生合情推理能力，经及严谨的书写表达，体会几何思维的真正内涵。
5
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理解和掌握平行四边形的判定定理。 重点
难点 几何推理方法的应用。
教 学 过 程
备 注 教学设计 与 师生互动 第一步:创景引入: 老师提问:
1、平行四边形定义是什么,如何表示,
2、平行四边形性质是什么,如何概括,
演示图片:选择各种四边形图片展示。
提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形,你是怎样判断的, 【探究】:小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平
行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗,
请学生通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨:
(1)你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗, (2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形, (3)你能说出你的做法及其道理吗,
(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法,你能用文字语言表述出来吗,
(5)你还能找出其他方法吗,
总结:
平行四边形判定1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定2 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
第二步:应用举例:
例1(教材P96例3)已知:如图ABCD的
对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两
点，并且AE=CF(
求证:四边形BFDE是平行四边形(
分析:欲证四边形BFDE是平行四边形可以根
据判定方法2来证明(
(证明过程参看教材)
问;你还有其它的证明方法吗,比较一下，哪种证
明方法简单(
例2(补充) 已知:如图，A′B′?BA，B′C′?CB，
C′A′?AC(
求证:(1) ?ABC,?B′，?CAB,?A′，?BCA
,?C′;
(2) ?ABC的顶点分别是?B′C′A′各边的中点(
证明:(1) ? A′B′?BA，C′B′?BC，
? 四边形ABCB′是平行四边形(
? ?ABC,?B′(平行四边形的对角相等)(
同理?CAB,?A′，?BCA,?C′(
(2) 由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形(同理，四边形ABA′C是平行四边
形(
? AB,B′C， AB,A′C(平行四边形的对边相等)(
? B′C,A′C(
同理 B′A,C′A， A′B,C′B(
? ?ABC的顶点A、B、C分别是?B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点(
例3(补充)小明用手中六个全等的正三角形做拼图游
6
加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 戏时，拼成一个六边形(你能在图中找出所有的平行四边形吗,并说说你的理由(
解:有6个平行四边形，分别是ABOF，ABCO， BCDO，CDEO，DEFO，EFAO(
理由是:因为正?ABO?正?AOF，所以AB=BO，OF=FA(根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形(其它五个同理(
第三步:随堂练习
1(如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
(1)若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形;
(2)若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__
_cm时，四边形ABCD为平行四边形(
2(已知:如图，ABCD中，点E、F分别在CD、
AB上，DF?BE，EF交BD于点O(求证:EO=OF(
3(灵活运用课本P89例题，如图:由火柴棒拼出的一列图形，
第n个图形由(n+1)个等边三角形拼成，通过观察，分析发
现:
?第4个图形中平行四边形的个数为___ __( (6个)
?第8个图形中平行四边形的个数为___ __( (20个) 第四步:课后练习:
1、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD是平行四边形。( )
2、在四边形ABCD中，AC交BD 于点O，若OC= 且 ,则四边形ABCD是平行四边形。
3、下列条件中，能够判断一个四边形是平行四边形的是( ) (A)一组对角相等; (B)对角线相等; (c)一组对角相等; (D)对角线相等;
3、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是( )(
A、对角线互相垂直 B、对角线相等 C对角线互相垂直且相等 D对角线互相平分
4、已知，如图，平行四边形ABCD的AC和BD相交于O点，经过O点的直线交BC和AD于E、F，求证:四边形BEDF是平行四边形。(用两种方法) 5、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F。求证:四边形AECF是平行四边形。
6、已知:如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD
相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证:BM?
7
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DN，且BM=DN 。
7(已知:如图，?ABC，BD平分?ABC，DE?BC，EF?BC， 求证:BE=CF 课后小结与反思:
19.1.2 平行四边形的判定(二)
1(掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法(
2(会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题( 知识与技能 3、 使学生熟练掌握平行四边形判定的五种方法，并通过定理，习题的证明提高学生的教逻辑思维能力;进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系。 学
目过程与方法 通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力( 标
情感态度与价值观 培养学生合情推理能力，经及严谨的书写表达，体会几何思维的真正内涵。 重点 平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法( 难点 几何推理方法的应用。平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用(
教 学 过 程
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第一步:课堂引入 1( 平行四边形的性质;
2( 平行四边形的判定方法;
3( 【探究】 取两根等长的木条AB、CD，将它
们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得
8
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到的四边形ABCD是平行四边形吗,
结论:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形( 第二步:应用举例:
例1(补充)已知:如图，ABCD中，E、F
分别是AD、BC的中点，求证:BE=DF(
分析:证明BE=DF，可以证明两个三角形全
等，也可以证明
四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出
第二种方法简单(
证明:? 四边形ABCD是平行四边形，
? AD?CB，AD=CD(
? E、F分别是AD、BC的中点， 11 ? DE?BF，且DE=AD，BF=BC( 22 ? DE=BF(
? 四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形)(
? BE=DF(
此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论;题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应使学生获得清晰的证明思路(
例2(补充)已知:如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE?AC于E，DF?AC于F(求证:四边形BEDF是平行四边形(
分析:因为BE?AC于E，DF?AC于F，所以BE?DF(需再证明BE=DF，这需要证明?ABE与?CDF全等，由角角边即可(
证明:? 四边形ABCD是平行四边形，
? AB=CD，且AB?CD(
? ?BAE=?DCF(
? BE?AC于E，DF?AC于F，
? BE?DF，且?BEA=?
DFC=90?(
? ?ABE??CDF (AAS)(
? BE=DF(
? 四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形平行四边形)(
例3、 已知:如图3，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，且AE,CF。
求证:四边形BFDE是平行四边形。 ADE
OF
CB
图3
分析:已知平行四边形可用平行四边形的性质，求证平行四边形要想判定定理，由于E、F在对角线上，显然用对角线互相平分来判定。
证明:连结BD交AC于O。
？平行四边形ABCD？OA,OC,OB,OD
？AE,CF
？AO,AE,OC,CF即EO,OF
？四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
,ABE,,DFC,,AED,,CFB 这道题，还可以利用用对边相等
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 或平行来判定平行四边形，相比之下使用对角线较简便。
DE,AC,BF,AC,DE,BF。且，ADB,，DBC 例4、 已知:如图
求证:四边形ABCD是平行四边形。
，ADB,，DBC分析:1. 由于，所以AD//BC，只要再证AD,BC即可。
2. 由于DE平行且等于BF，可证DB与EF互相平分，但要使DB与AC互相平分，还需证AE,CF。
经过比较两种证法，第一种较简便。 D ？，1,，2C ？，ADB,，DBC？AD//BC 证明: 2 F ？DE,AC,BF,ACE 1 ？，DEA,，CFB,90:A B
又？DE,BF
？,ADE,,CBF？AD,BC
？四边形ABCD是平行四边形。
第三步:巩固练习:
1(在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边
形的是( )(
(A)AB?CD，AD=BC (B)?A=?B，?C=?D
(C)AB=CD，AD=BC (D)AB=AD，CB=CD
2(已知:如图，AC?ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，
找出图中的平行四边形，并说明理由(
3(已知:如图，在ABCD中，AE、CF分别是?DAB、
?BCD的平分线(
求证:四边形AFCE是平行四边形(
4、. 如图6，平行四边形ABCD中，BE,DF，AG,CH。
求证:四边形GEHF是平行四边形。 A D G 1 F O E 2 H 5(判断题: B C (1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形; (2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形; (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (5)对角线相等的四边形是平行四边形; (6)对角线互相平分的四边形是平行四边形( 6(延长?ABC的中线AD至E使DE=AD(求证:四边形ABEC是平行四边形( 7(在四边形ABCD中，(1)AB?CD;(2)AD?BC;(3)AD,BC;(4)AO,OC;(5)DO,BO;(6)AB,CD(选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对((共有9对)
第四步:课堂小结
我们学习了平行四边形的定义，性质、判定、画法。平行四边形的性质和判定尤为重要，同学们要掌握好。
10
加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力
两组对边分别平行
性 质两组对边分别相等平行四边形一组对边平行且相等判 定两组对角分别相等
对角线互相平分
希望同学们在证明每一道题时，认真分析已知条件，有些题可能是一题多解，
比较一下使用哪种判定方法最简便。往往是已知条件最集中的地方，就是解决问
题的突破口。
学生掌握平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方法是:
从边看:?两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
?两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
?一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(
从对角线看:对角线互相平分的四边形是平行四边形(
(从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边形()
课后反思 :
19.2.1 矩形(二)
1(理解并掌握矩形的判定方法(
知识与技能 2(使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学教生的分析能力 学
目过程与方法 经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识;形成几何分析思路和方法。 标
情感态度与价值观 培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要。
重点 矩形的性质定理1、2及推论。
难点 定理的证明方法及运用。
教 学 过 程
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第一步:课堂引入 1(什么叫做平行四边形,什么叫做矩形,
2(矩形有哪些性质,
3(矩形与平行四边形有什么共同之处,有什么不同之处,
4(事例引入:小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度
11
加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗,看看谁的方法可行,
总结:矩形的判定方法(
矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形(
矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形(
推论:直角三角形斜边的中线是斜边的一半。
,指出:判定一个四边形是矩形～知道三个角是直角～条件就够了(因为由四边形内角和可知～这时第四个角一定是直角(,
反馈归纳
(1)矩形判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形。
已知:在四边形ABCD中，?A=?B=?C=900，
求证:四边形ABCD是矩形。
(方法指导:有一个角是900的平行四边形是矩形。)
(2)矩形判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。
已知:在平行四边形ABCD中，AC=DB，
求证:平行四边形ABCD是矩形。
(方法指导:平行四边形的邻角互补，同时三角形全等，邻角相等)
(3)小结:用定义判定矩形，与定理1、定理2从条件的个数上有何区别,
定义:有一个角是直角平行四边形
定理1:三个角是直角四边形
定理2:对角线相等平行四边形
第二步:应用举例:
例1(补充)下列各句判定矩形的说法是否正确,为什么,
(1)有一个角是直角的四边形是矩形; (×)
(2)有四个角是直角的四边形是矩形; (?)
(3)四个角都相等的四边形是矩形; (?)
(4)对角线相等的四边形是矩形; (×)
(5)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形; (×) (6)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; (?) (7)对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形; (×) (8)一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形;(?)
(9)两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形( (?)
指出:
(l)所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形;
(2)所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论(
例2 (补充)已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，?AOB是等边
三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积(
分析:首先根据?AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值(
解:? 四边形ABCD是平行四边形，
12
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11AC，BO=BD( ? AO=22
? AO=BO，
? AC=BD(
? ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)(
在Rt?ABC中，
? AB=4cm，AC=2AO=8cm，
22? BC=(cm)( 8,4,43
例3 (补充) 已知:如图(1)，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H(求证:四边形EFGH是矩形(
分析:要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图(2)，因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明(
证明:? 四边形ABCD是平行四边形，
? AD?BC(
? ?DAB，?ABC=180?(
又 AE平分?DAB，BG平分?ABC ，
1? ?EAB，?ABG=×180?=90?( 2
? ?AFB=90?(
同理可证 ?AED=?BGC=?CHD=90?(
? 四边形EFGH是平行四边形(有三个角是直角的四边形是矩形)( 第三步:随堂练习:
1((选择)下列说法正确的是( )(
(A)有一组对角是直角的四边形一定是矩形(B)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
(C)对角线互相平分的四边形是矩形 (D)对角互补的平行四边形是矩形 2(已知:如图 ，在?ABC中，?C,90?， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE,CD(连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形(
3、(1)有一组对角是直角的四边形一定是矩形。( )
(2)有一组邻角是直角的四边形一定是矩形。( )
(3)对角线互相平分的四边形是矩形。( )
(4)对角互补的平行四边形是矩形。( )
(5)有三个角是 是矩形，有一个角是 是矩形。
(6)两组对边分别平行，且对角线 的四边形是矩形。 创新练习题
(1)满足下列条件( )的四边形是矩形。
(A)有三个角相等 (B)有一个角是直角
(C)对角线相等且互相垂直 (D)对角线相等且互相平分 达标练习题
(1)已知:如图，在平行四边形ABCD中，E为CD中点，三角形ABE是等边三角形，求证:四边形ABCD是矩形。
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(2)回答:怎样用刻度尺，检查一个四边形是不是矩形。
综合应用练习
已知:如图，平行四边形ABCD的内角平分线交于点P、Q、M、N，求证:
四边形PQMN是矩形。
第四步:课后练习
1(工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
? 先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图?)，使AB,CD，EF,GH;
? 摆放成如图?的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理
是: ;
? 将直角尺靠紧窗框的一个角(如图?)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角
边与窗框无缝隙时(如图?)，说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学
道理是: ;
2(在Rt?ABC中，?C=90?，AB=2AC，求?A、?B的度数(
第五步:小结
矩形的判定方法分两类:从四边形来判定和从平行四边形来判定(
常用的判定方法有三种:定义和两个判定定理(遇到具体题目，可根据条
件灵活选用恰当的方法(
课后反思 :
19.2.1 矩形(一)
1、 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系( 教知识与技能 2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题( 学
目
经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识;掌握几何思维方法。并 渗标 过程与方法 透运动联系、从量变到质变的观点(
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情感态度与价值观 培养严谨的推理能力，以及自主合的精神，体会逻辑推理的思维价值。
重点 矩形的性质(
难点 矩形的性质的灵活应用(
教 学 过 程
备 注 教学设计 与 师生互动
第一步:课堂引入 1(展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门，活动衣架，篱笆、井
架等)，想一想:这里面应用了平行四边形的什么性质,
2(思考:拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，
它还是一个平行四边形吗,为什么,(动画演示拉动过程如图)
3(再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观
察这是什么图形,(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义(
矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫
长方形)(
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象(
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点
上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状(
? 随着?α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的,
? 当?α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角,
它的两条对角线的长度有什么关系,
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质(
矩形性质1 矩形的四个角都是直角(
矩形性质2 矩形的对角线相等(
如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，
11由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD( 22
因此可以得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(
第二步:应用举例:
例1 (教材P104例1)已知:如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
?AOB=60?，AB=4cm，求矩形对角线的长(
分析:因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的
特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得?OAB是等边三角形，因此对角
线的长度可求(
解:? 四边形ABCD是矩形，
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? AC与BD相等且互相平分(
? OA=OB(
又 ?AOB=60?，
? ?OAB是等边三角形(
? 矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8(cm)(
例2(补充)已知:如图 ，矩形 ABCD，AB
长8 cm ，对角线比AD边长4 cm(求AD的长及
点A到BD的距离AE的长(
分析:(1)因为矩形四个角都是直角，因此矩
形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题
利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是
几何计算题中常用的方法(
略解:设AD=xcm，则对角线长(x+4)cm，在Rt?ABD中，由勾股定理:222，解得x=6( 则 AD=6cm( x，8,(x，4)
(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式: AE×DB, AD×AB，解得 AE, 4.8cm(
例3(补充) 已知:如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF?AE于F，若AE=BC( 求证:CE,EF(
分析:CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AF,BE，则问题解决，而证明AF,BE，只要证明?ABE??DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形(
证明:? 四边形ABCD是矩形，
? ?B=90?，且AD?BC( ? ?1=?
2(
? DF?AE， ? ?AFD=90?(
? ?B=?AFD(又 AD=AE，
? ?ABE??DFA(AAS)(
? AF=BE(
? EF=EC(
此题还可以连接DE，证明?DEF??DEC，
得到EF,EC(
，DAE,3，BAEAE,BD例2 已知:如图3，矩形ABCD中，于E，且。
，CAE 求:的度数。
，DAE,3，BAE 分析:由已知可得，BAE,22.5:,，DAE,67.5:，CAE，EAD。而所求是的一部分，
，OAD，OAD，ADB就要研究与其它角的关系。因为OA,OD，所以,。
，BAD,90:AE,BD把题目中的已知条件，与矩形的性质结合起来，得到
，BAE,，ADB基本图形直角三角形斜边上的高的形式，可以推出，于是得，OAD,，BAE,22.5:，CAE到，求的度数也就显然了。
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AD
O
E
BC
图3
？矩形ABCD？，BAD,90: 解: ？AE,BD？，BAE，，EAD,，EAD，，ADB,90:
？，BAE,，ADB
11？AC,BD,OA,AC,OD,BD22
？OA,OD？，OAD,，ADO
？，BAE,，OAD
？，DAE,3，BAE，BAD,90:
？，DAE,67.5:，BAE,22.5:
？，OAD,22.5:？，EAC,，DAE,，OAD,45:
例3 已知:如图4，矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过O点交AD于E，交BC于F，且EF,BF，。求证:CF,OF。 EF,BD
ADE13
O
42
FBC
图4
，FCO,，FOC 分析:欲证CF,OF，只要，由矩形可知，FCO,，FBORt,BOF,Rt,DOE。由，可得到OE,OF，又因为
1OF,BF，FBO,30:,进一2EF,BDEF,BF，有，由于，于是步，BOC,120:，BOF,90:，又有， ？，FOC,，FCO,30:
证明:？矩形ABCD，？OB,OD
？AD//BC？，1,，2,，3,，4
1？,EOD,,FOB？OE,OF,EF 2
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1？EF,BF？OF,BF2
又？EF,BD？，FBO,30:
11？BD,AC,OB,BD,OC,AC22
？OB,OC？，OCB,，OBF,30:
？，BOC,180:,，OBF,，OCB,120:
？，COF,，BOC,，FOC,120:,90:,30:
？，COF,，OCF？CF,OF
第三步:随堂练习
1((填空)
(1)矩形的定义中有两个条件:一是 ，二是 ( (2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30?，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ( (3)已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120?，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm( 2((选择)
(1)下列说法错误的是( )(
(A)矩形的对角线互相平分 (B)矩形的对角线相等步为营 (C)有一个角是直角的四边形是矩形 (D)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有( )( (A)2对 (B)4对 (C)6对 (D)8对
3(已知:如图，O是矩形ABCD对角线的交点，
AE平分?BAD，?AOD=120?，求?AEO的度数(
3. 如图5，在矩形ABCD中，
DE,CE,，ADE,30:,DE,4，求这个
43矩形的周长。(答案:16，)
ADCD
O
ABEEBC
图5 图6
在矩形中若存在矩形对角线，那就一定要利用矩形对角线的性质，即相等又平分，转化成等腰三角形，利用等边对等角的性质。
，BAD 4、 已知:如图6，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，若，CAE,15:
，BOERt,ABE,AOB求:的度数。(提示:要充分利用等腰，等边的性质)
，BAD？ 解:矩形ABCD，AE平分
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1？，BAE,，BAD,45:2
？，CAE,15:？，BAC,60:
？OA,OB
？,AOB是等边三角形
？AB,OB,，ABO,60:
？，ABC,90:？AEB,90:,，BAE,45:
？AB,BE？OB,BE
？，OBE,，ABE,，ABO,30:
1？，BOE,(180:,30:),75: 2
第四步:课后练习
1((选择)矩形的两条对角线的夹角为60?，对角线长为15cm，较短边的长为
( )(
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2(在直角三角形ABC中，?C=90?，AB=2AC，
求?A、?B的度数(
3(已知:矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的
中点，求证:EA?ED(
4(如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，
求证:?CBE的度数(
课后小结与反思:
今天我们主要学习了矩形的定义及性质，矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等。由于矩形的对角
线把矩形分割成直角三角形，等腰三角形，所以我们还要把直角三角形，等腰三角形，等边三角形的性质、判定好好复习一下，这对
于解决矩形问题是大有好处的。
19.2.2 菱形(二)
理解并掌握菱形的定义及两个判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算; 知识与技能
教经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想过程与方法 学和说理的基本方法。 目
标 培养良好的思维意识以及合情推理的能力 ，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、情感态度与价值观
动手能力及逻辑思维能力(
重点 菱形的两个判定方法(
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难点 判定方法的证明方法及运用(
教学过程
备 注 教学设计 与 师生互动 第一步:课堂引入 1(复习
(1)菱形的定义:一组邻边相等的平行四边形;
(2)菱形的性质1 菱形的四条边都相等;
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角; (3)运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件,(判定:2个条件) 2(【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗,
3(【探究】(教材P109的探究)用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形(转动木条，这个四边形什么时候变成菱形,
通过演示，容易得到:
菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形( 注意此方法包括两个条件:(1)是一个平行四边形;(2)两条对角线互相垂直(
通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法:
菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形( 注意:应用判定方法1时，
要注意其性质包括两个条件:
(1)是一个平行四边形;(2)
两条对角线互相垂直(如对角
线互相垂直的四边形是菱形
吗,为什么,同时可用图来证
实，虽然对角线AC?BD，但它们都不是菱形(
菱形常用的判定方法归纳为(让学生讨论归纳后，并板书):
第二步:应用举例:
例1 (教材P109的例3)略
例2(补充)已知:如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F(求证:四边形AFCE是菱形(
证明:? 四边形ABCD是平行四边形，
? AE?FC(
? ?1=?2(
又 ?AOE=?COF，AO=CO，
? ?AOE??COF(
? EO=FO(
? 四边形AFCE是平行四边形(
又 EF?AC，
20
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? AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)(
※例3(选讲) 已知:如图，?ABC中， ?ACB=90?，BE平分?ABC，CD?AB与D，EH?AB于H，CD交BE于F(
求证:四边形CEHF为菱形(
略证:易证CF?EH，CE=EH，在Rt?BCE中，?CBE+?CEB=90?，在Rt?BDF中，?DBF+?DFB=90?，因为?CBE=?DBF，?CFE=?DFB，所以?CEB=?CFE，所以CE=CF(
所以，CF=CE=EH，CF?EH，所以四边形CEHF为菱形(
第三步:随堂练习
1(填空:
(1)对角线互相平分的四边形是 ; (2)对角线互相垂直平分的四边形是________;
(3)对角线相等且互相平分的四边形是________;
(4)两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形( 2(画一个菱形，使它的两条对角线长分别为
6cm、8cm(
3(如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE
?AC，CE?BD，DE和CE相交于E，求证:
四边形OCED是菱形。
第四步:课后练习
1(下列条件中，能判定四边形是菱形的是 ( )(
(A)两条对角线相等 (B)两条对角线互相垂直 (C)两条对角线相等且互相垂直 (D)两条对角线互相垂直平分
2(已知:如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM?AB，EF?AB，ME?AC，DG?AC(求证:四边形
MEND是菱形(
3(做一做:
设计一个由菱形组成的花边图案(花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点(画出花边图形(
21
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第五步:课堂小结:
菱形可根据哪些进行判定,填写下表、填图:
应具备两个条件
菱形的判定
菱形的定义
判定定理1
判定定理2
课后反思:
19.2.2 菱形
1、理解并掌握菱形的定义及性质定理1、2;会用这些定理进行有关的论证和计算;
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力; 知识与技能 3(通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力( 教
学4(根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想( 目经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，过程与方法 标 体会几何说理的基本方法。
培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审判观、价值观。并在教学中渗透事物情感态度与价值观 总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
重点 菱形的性质定理1、2。
难点 定理的证明方法及运用。
教学过程
备 注 教学设计 与 师生互动
第一步:创情导入 1((复习)什么叫做平行四边形,什么叫矩形,平行四边形和矩形之间的关系是
什么,
2((引入)我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的
特殊平行四边形，请看演示:(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进
行演示)如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念(
菱形定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(
22
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相等(
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例
子(
探究:将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开，你发现这是一个什么样的图形呢,
第二步:探究新知:
探究:菱形的性质，让学生动手利用折纸、剪切的方法，探究、归纳(
方法一:将一张长方形的纸横对折，再竖对折(如教材P107的探究)，然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形纸片;
方法二:如图1，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD就是菱形;
图1 图2
方法三:将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形(如图2) (
总结:菱形的性质:
?菱形的四条边都相等。
?菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 探索:
菱形的面积公式是什么,如何证明这个公式,(提示:四个全等的直角三角形。)
第三步:应用举例:
23
加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 例1 (补充) 已知:如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E(
求证:?AFD=?CBE(
证明:? 四边形ABCD是菱形，
? CB=CD， CA平分?BCD(
? ?BCE=?DCE(又 CE=CE，
? ?BCE??COB(SAS)(
? ?CBE=?CDE(
? 在菱形ABCD中，AB?CD， ??
AFD=?FDC
? ?AFD=?CBE(
例2、已知:如图，AD是三角形ABC的角平分
线，DE?AC交AB于E，DF?AB交AC于F，求证:四边形AEDF是菱形。(提示:运用定义判定。)
例3(教材P108例2)略
例4、如图是菱形花坛ABCD，它的边长为20m，?ABC=60?，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积(分别精确到0.01m
2和0.01m). A D
O C A B D O
H
B C
例5、如图，四边形ABCD是菱形. 对角线AC=8?，DB=6?，DH?AB与H.求DH的长.
【能力提高】
1、如图AD是?ABC的角平分线，DE?AC，DF?AB，求证:四边形AEDF是菱形。
A D
E
O F
A C
B C D B 2、已知如图，菱形ABCD中，?ADC=120?，AC=?， 123(1)求BD的长;(2)求菱形ABCD的面积，
(3)写出A、B、C、D的坐标.
第四步、随堂练习
1(若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 (
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力
2(已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积(
3(已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是
1?2，求菱形的对角线的长和面积(
4(已知:如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD
上的点，且BE=DF(求证:?AEF=?AFE(
第五步:课后练习
1(菱形ABCD中，?D??A=3?1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高(
2(如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求(1)
对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积(
第六步:课后小结
矩形、菱形各具有哪些性质,填写下表、填图:
矩 形 菱 形
性 质
判 定
课后反思:
《正方形》说课稿
娄底?涟源?古塘中心学校 周细英
各位评委、各位老师:
大家好!
今天我跟大家说一说九年义务教育湘教版数学教材八
年级
六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件
下册第三章第四节《正方
25
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形》的教学。下面，我将从教材分析，目标分析，过程分析，评价分析和教学反思这五
个方面进行阐述。
一、教材分析
1、教材的地位和作用
正方形在小学学生已经接触过。在现实生活中随处可见，应用非常广泛，它是学生
非常熟悉的一种图形。《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、菱形、
矩形等有关知识及轴对称图形和中心对称图形等平面几何知识，并且具备有初步的观
察、操作、推理和证明等活动经验的基础上出现的。目的在于让学生通过探索正方形的
性质，进一步学习、掌握说理、证明的数学方法。这一节课是前面所学知识的延伸和概
括，充分体现了平行四边形、菱形、矩形、正方形这些概念之间的联系、区别和从属关
系，同时又是高中阶段继续学习正方体、正六面体必备的知识。
2、教学重点难点
教学重点:正方形的概念和性质。
教学难点:理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及正方形的性质
和应用。
3、学生情况分析
我是一所山区中学的数学教师，我任教的班级学生基础一般，但学生学习积极性高，
求知欲、表现欲强，具有一定的独立思考和探究的能力。但该班的学生在口头表达能力
方面稍有欠缺，所以在本节课的教学过程中，我注重学生的说理能力、口头表达能力以
及推理能力的培养。
4、教材的处理
在本节课前，学生已经学习了平行四边形，菱形，矩形，他们已经掌握了这些图形的意义、性质及其应用。因此，我对教材进行了如下处理:首先展示现实生活中的一组图片，让学生感知正方形，引入课题;通过观赏一室内装饰图案，运用多媒体课件呈现出图中的平行四边形、菱形、矩形、正方形，唤起学生的有意记忆和联想，在学生已有知识的基础上，自主探索新知识;通过运用多媒体演示图形的变化，让学生通过观察探索、归纳总结出正方形的意义、性质;最后应用正方形的意义和性质解决问题，使所学知识得以掌握。 二、目标分析
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(一)知识与技能
1、理解正方形的概念，掌握正方形性质以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系。
2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证。
(二)过程与方法
1、通过本节课的学习培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力。
2、培养学生的合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握证明的方法。
、渗透从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想方法。 3
(三)情感态度与价值观
1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。
2、培养学生相互讨论、相互帮助、团结协作的团队精神。
三、过程分析
课堂教学是学生数学知识的获得、技能技巧的形成、智力、能力的发展以及思想品德的养成的主要途径。根据本节的教学内容，新课程
标准
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的要求，学生的实际情况，我设计了以下五个主要的教学环节。
(一)、创设情境、引入课题
前苏联著名数学家辛钦指出:“我想尽力做到在引进新概念、新理论时，学生先有准备，能尽可能地看到这些新概念、新理论的引进是很自然的，甚至是不可避免的。我认为只有利用这种方法，在学生方面才能非形式化地理解并掌握所学到的东西。”这段话很精辟道出了引入新知识的一个重要原则??由自然到必然，就是说，在引进概念前，要让学生感到这是很自然的而且是不可避免的。
因此，本节课我创设以下情景，引入课题。
观察1:正方形的地板砖、印章、钟表、包装盒等
提问:你发现了什么,
(这些物品的表面都是正方形，利用正方形可以制作许多漂亮的图案。)
这节课我们一起来研究正方形。
板书课题————正方形。
观察2:一室内装饰图案，里面有平行四边形，菱形，矩形、正方形。
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提问:前面我们学习了平行四边形、菱形、矩形，那么正方形与平行四边形、菱形、矩形之间有什么关系,
学生充分欣赏、观察第一组图片，真切地感受现实生活中存在的一种图形——正方形，让学生深刻体会到数学源于生活的真谛，揭示这节课的课题——正方形。通过观赏一室内装饰图案，运用多媒体课件呈现出图中的平行四边形、菱形、矩形、正方形，而平行四边形、菱形、矩形是学生已经学过的知识，非常熟悉，新课程标准指出教学过程的设计要从学生已有的认知结构出发，注重新旧知识的联系。这样使学生自然联想到:正方形与平行四边形、菱形、矩形之间有什么关系,激起学生思维的火花。
(二)、探究新知，形成概念
、 复习回顾、开启思维 1
(1)想一想:矩形、菱形与平行四边形之间的边与角有什么关系,
(学生思考回答后课件展示图形的变化过程??，使学生在图形的动画变化过程中了解由边、角的变化可使图形发生变化)
有一个角是直角 有一组邻边相等 菱形 ? ?
正方有一个角是直角? 平行四边形 形 有一组邻边相等
有一个角是直角 有一组邻边相等 矩形 ? ?
(2)量一量:正方形与菱形、正方形与矩形及平行四边形之间的边、角又有什么关系,
(3)说一说:正方形的概念。
(4)议一议:正方形与平行四边形、菱形、矩形之间有什么关系,
(学生合作交流，讨论探究正方形与平行四边形、菱形、矩形的边、角变化关系，然后课件展示图形的变化过程???，使学生在图形的动画变化过程中再一次了解由边、角的变化可使图形发生变化)
让学生回顾矩形、菱形与平行四边形的关系，既复习了已有的知识，又使学生产生联想:正方形与它们有什么关系，哪些东西发生了变化，从而激起学生强烈的求知欲望，迫切希望知道正方形与平行四边形、菱形、矩形之间哪些东西变化了，让学生动手量，分组讨论、探
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 究正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的由边、角变化而使图形之间发生了变化，揭示它们之间的内在规律，激励学生主动探索、大胆想象，体现了新课程理念:让学生经历数学知识的形成与应用的过程，使学生在认识事物时有了从“一般到特殊”的解决问题的思路，引导学生初步掌握“观察、分析、总结”的学习方法，从而有效地攻克了本节课的难点。
2、 共同探讨，类比归纳
(1)比一比:看谁填得又快又好:平行四边形、矩形、菱形的性质。(教师将事先准备好的表格在上课之前发给学生，让学生填完表格的前三列，教师检查，表扬填得好的同学)，你知道正方形的性质吗,(学生讨论完成第四列)提问:你是怎样确定正方形的对称轴的,
平行四边形 菱形 矩形 正方形
边
角
对角线
轴对称图形
对称轴(条数)
中心对称图形
对称中心
(2)讲一讲:你是怎样得出正方形的性质的。
新课程的基本理念讲到:教学活动必须尊重学生已有的知识与经验。而平行四边形、菱形、矩形的性质，学生已经很熟悉。教学中我首先印好上面的表格，设计比一比，看谁填得又快又好，意在让全体学生参与到教学中来，回顾了所学知识，，同时开启学生联想的大门:正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形和矩形，那么它就同时具有平行四边形、菱形和矩形的性质。然后学生类比归纳出正方形的性质，体现了“把所学知识建构在已学知识的基础上”的新课程理念，培养学生主动探索的习惯和创新意识。
(3)平行四边形有一个角是直角且邻边相等时变成了正方形，矩形的邻边相等时是正方形。想一想:你能否利用对角线的变化来判断一个四边形是正方形呢,试试看。
(教师在学生分组讨论、答辩后，再借助课件展示学生讨论的由对角线变化判定一个四边形为正方形的方法。)
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对角线相等 对角线互相垂直 菱形
正方对角线垂直且相等 平行四边形 形
对角线相等 对角线互相垂直 矩形
利用对角线的变化，判断图形之间的变化，培养学生类比归纳的能力，学生在合作探讨
中，培养学生的团结协作、共同探索的习惯，同时训练了学生的发现、归纳、总结的能力。
(三)、具体应用，形成技能
1、讲练结合、促进迁移
练习1、已知:如图1，正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O ，AC=4
求:?、图中?BAC= , ?AOB .
?、与OA相等的线段有 ，AB= 。
?、正方形的周长是 ，面积是 。
A B
O
C D
图1
练习2、抢答:下列说法是否正确，错误的请说明理由。
?正方形一定是矩形。 ( ) ?四条边都相等的四边形是正方形。 ( ) ?有一个角是直角的平行四边形是正方形。 ( ) ?两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 ( ) ?两条对角线相等的菱形是正方形。 ( )
?菱形的对角线互相垂直且相等。 ( )
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心理学研究表明:八年级学生集中注意力的时间约为25——35分钟，此时设计抢答题可以活跃课堂气氛，消除疲劳，充分调动学生学习的积极性。共同辨析正误，多问几个为什么，使平行四边形、菱形、矩形、正方形这几个概念越辩越清晰，同时培养了学生善于思考，勤于探索的好习惯。
、已知:如图1，正方形ABCD被它的两条对角线AC、BD分成四个小三角形， 例1
求证:?AOB、?BOC、?COD、?DOA是全等的等腰直角三角形。
(引导学生用多种方法加以证明:如利用三角形全等;利用正方形的两条对角线是它的对称轴证明;画正方形沿对角线剪开证明等。)
例题1是证明题，意在培养学生的逻辑思维能力、推理能力、书写及语言表达能力，教师要引导学生用多种方法加以证明，鼓励学生从不同的角度解决同一问题，培养学生的发散思维能力。
2、动手操作、解释原理
例2、把一张长方形的纸片如图2那样折一下，可以截出正方形纸片，这是为什么呢, 如果是长方形木板，又怎样从中截出面积最大的正方形木板呢,
图2
例3、现学校有一正方形的花园，为方便游客观赏，要修两条直的小道通过花园(道路宽度忽略不计)，把花园分成面积相等的四个部分，请你设计出尽可能多的修路
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
，画出草图(不写画法、证明)
第2题引导学生利用所学知识联系生活实际解决问题，让数学贴近生活，达到生活材料数学化，数学教学生活化。把数学学习的内容与生活实际有机结合起来，使学生感受数学与生活的密切联系，增强学生学习数学的驱动力，激发学生学习数学的浓厚兴趣。
第3题让学生设计尽可能多的修路方案，既培养学生的创造性思维能力、发散思维能力，又揭示了正方形的本质，只要是通过正方形的中心且互相垂直的两条直线，就可将正方形分成面积相等的四部分。
3、深化目标、拓展延伸
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例4、如图3，边长是1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30?得到正方形AB?C?D?，
求图中阴影部分的面积。
C
CEB
B
D
o30
DA
图3
利用多媒体的动画功能，使正方形ABCD绕点A顺时针旋转30?得到正方形AB?C?D?，让学生仔细观察得出?AD?E??ABE,再利用?DAD?=30?,正方形边长为1，求得?ABE的面积，从而得出阴影部分的面积，学生积极参与到探索活动之中，去寻找知识在应用中的衔接点，形成正确的应用观，培养学生选择适当的数学方法解决问题的能力。
(四)、归纳小结、深化新知
请同学们回答以下三个问题
1、本节课你学到了那些数学知识,你还有什么疑惑,
2、展示平行四边形、菱形、矩形、正方形四种图形的包含关系图，引导学生回顾正方形的定义和性质，并说出这几种图形之间的联系与区别。
平行四边形
矩形 菱形 正方形
3、 你对老师有何建议和看法，欢迎课后和老师交流。
(全班学生积极思考，相互讨论，然后自由发言。)
让学生小结，不仅回顾了所学知识，而且培养了学生归纳、概括的能力。通过小结，学生的发散思维能力和创新能力得到了加强，并向学生展示了人类认识世界的规律是由特殊到一般、由具体到抽象，使学生站在一个新的高度来认识所学内容。新课后的总结能起到画龙点睛的作用，同时有利于帮助学生理清知识的脉络，形成完整认知结构。
(五)、布置作业，提高能力
1、必做题
(1)已知正方形的一条边长为1cm，求它的对角线长。
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 (2)已知正方形的一条对角线长为4cm,求它的边长和面积。
2、选做题
(2)如图5，正方形ABCD的对角线BD上有一动点P，PE?AB,PF?AD,垂足分别为E、F，试指出?EOF的形状,说说你的理由。
图5
原苏联心理学家维果茨基研究指出:“学生的发展有两种水平，第一种称为现有发展水平，表现为学生运用已有知识经验独立完成任务;第二种称为最近发展区，是一种准备水平，表现为学生还不能自行完成任务，需要教师的帮助，但是经过启发也许他就能独立完成任务。”教学就是要把最近发展区水平转化为现有水平。根据学生不同层次的知识水平，为了使学生巩固所学知识，我安排了难度不一的课外题。第一题为必作题，设计了有关正方形的周长、面积、对角线、边长的计算，目的是进一步理解正方形的性质，并考察学生掌握的情况。第二题是选作题，供学有余力的学生完成，体现分层教学，增加有能力的学生学习数学的兴趣和欲望。从而使不同的学生学到了不同的数学，每一个学生都得到了充分的发展。
四、教学评价
前面分析，正方形的概念和性质是本节课的重点，而正方形的有关知识对后续的学习又显得尤为重要，因此本节课中教师的课前准备与课堂组织显得非常重要。在教学过程中，通过创设问题情境，积极引导、启发学生探索思考，使学生学会学习、学会探索、学会研究。同时，借助设计制作的多媒体课件辅助手段，极大地提高了课堂教学效益。因此，在本节课中，教师作为学习活动的组织者、引导者、参与者的身份得到了很好的体现。
学生是课堂的主人，本节课中，学生在教师创设的情境下，自主探索，合作交流，积极参与课堂教学，主动构建新的认知结构，他们学习的积极性得到充分发挥，因此学生的主体地位也得到很好地保证。
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由于学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异，所以在整个教学过程中，都应尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，尽可能地让所有学生都能主动参与，并引导学生在与他人的交流中提高思维水平。在学生回答时，通过语言、目光、动作给予鼓励与赞许，发挥评价的积极功能。尤其注意鼓励学有困难的学生主动参与学习活动，发表自己的看法，肯定他们的点滴进步。对出现的错误耐心引导他们分析其产生的原因，鼓励他们改进;对学生思维的闪光点予以肯定鼓励;对学有余力并对数学有浓厚兴趣的同学，通过布置选做题去发展他们的数学才能。
五、 教学反思
数学教学由于数学学科的特点，使得数学教学要突出数学的特点，在展示数学知识的过程中，要把数学思维的教学展示出来，使学生在学习数学的结论性知识的同时获得大量的过程性知识。同时，让学生经历对数学知识归纳总结的全过程。本节课的教学设计具有以下特点:?突出知识的纵横特点;?展示思维的“形”美“神”奇;?体现数学的学用结合;?重视学法的潜移默化。
以上就是我对本节课的教学设计，不足之处恳请各位专家赐教。最后祝大家生活愉快，事业有成。
19.2.3 正方形
1(掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算( 知识与技能
2(理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别 教
经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程。在观察中寻求新知，在探索中发展推理学过程与方法 目能力，逐步掌握说理的基本方法。 标 通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，情感态度与价值观
提高学生的逻辑思维能力(
重点 正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系(
难点 正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用(
教学过程
备 注 教学设计 与 师生互动
第一步:课堂引入
1(做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个
正方形(
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学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系(问题:什么样的四边形是正方形,
正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行(((((((((((((((四边形叫做正方形( (((
指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意:
(1)有一组邻边相等的平行四边形 (菱形)
(2)有一个角是直角的平行四边形 (矩形)
2(【问题】正方形有什么性质,
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形(
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质(
归纳、总结正方形的性质:
因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，引导学生从角、边、对角线上归纳总结。 正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
第二步:应用举例:
例1(教材P111的例4) 求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形(
已知:四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点
O(如图)(求证:?ABO、?BCO、?CDO、?DAO是全等的
等腰直角三角形(
证明:? 四边形ABCD是正方形，
? AC=BD， AC?BD，
AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等，并且
互相垂直平分)(
? ?ABO、?BCO、?CDO、?DAO都是等腰直角三角形，
并且 ?ABO ??BCO??CDO??DAO(
例2 (补充)已知:如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG?AE于G，DG交OA于F(求证:OE=OF(
分析:要证明OE=OF，只需证明?AEO??DFO，
由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到?AOE=
?DOF=90?，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以
得到?EAO=?FDO，根据ASA可以得到这两个三角形
全等，故结论可得(
证明:? 四边形ABCD是正方形，
? ?AOE=?DOF=90?，AO=DO(正方形的对角
线垂直平分且相等)(
又 DG?AE， ? ?EAO+?AEO=?EDG+?AEO=90?(
? ?EAO=?FDO(
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? ?AEO ??DFO(
? OE=OF(
例3 (补充)已知:如图，四边形ABCD是正方形，
?l，作BM?l于M，DN?l分别过点A、C两点作l1211于N，直线MB、DN分别交l于Q、P点( 2
求证:四边形PQMN是正方形(
分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证?ABM??DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP(即可证出MN=NP(从而得出结论(
证明:? PN?l，QM?l， 11
? PN?QM，?PNM=90?(
? PQ?NM，
? 四边形PQMN是矩形(
? 四边形ABCD是正方形
? ?BAD=?ADC=90?，AB=AD=DC(正方形的四条边都相等，四个角都
是直角)(
? ?1+?2=90?(
又 ?3+?2=90?， ? ?1=?3(
? ?ABM??DAN(
? AM=DN( 同理 AN=DP(
? AM+AN=DN+DP
即 MN=PN(
? 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)(
例4:已知:分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO ，使AO=OC，
BO=OD，求证:四边形ABCD是正方形。
例5:已知:点A,、B,、C,、D,分别是正方形 ABCD四条边上的 点，并且
AA,=BB,=CC,=DD。求证:四边形A,B,C,D,是正方形。
第三步:、随堂练习
1(正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____(
2(下列说法是否正确，并说明理由(
?对角线相等的菱形是正方形;( ) F
?对角线互相垂直的矩形是正方形;( )
?对角线垂直且相等的四边形是正方形;( ) A B ?四条边都相等的四边形是正方形;( )
?四个角相等的四边形是正方形(( ) D E C 1( 已知:如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别 为CD、CB延长线上的点，且DE,BF(求证:?AFE,?AEF( 4(如图，E为正方形ABCD内一点，且?EBC是等边三角形，求?EAD与?ECD的度数(
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第四步:课后反思:
1(已知:如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF(
求证:EA?AF(
2(已知:如图，?ABC中，?C=90?，CD平分?ACB，DE?BC于E，DF?AC于F(求证:四边形CFDE是正方形(
3(已知:如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分?DAE交CD于F，求证:AE=BE+DF(
第五步:反馈归纳
(1)正方形是怎样的平行四边形,，有一组邻边相等，且有一个角是直角的
平行四边形;
(2)正方形是怎样的矩形,有一组邻边相等的矩形;
(3)正方形是怎样的菱形,有一个角是直角的菱形;
(4)明确四者之间的关系～～～～
(5)判定一个平行四边形是正方形，还应具备什么条件,方法1
(6)判定一个矩形是正方形还应具备什么条件,方法2;
(7)判定一个菱形是正方形还应具备什么条件,方法3;
(8)小结:判定正方形的方法有三种。
知识再现:
? 对边平行 边
? 四边相等
? 四个角都是直角 角
正方形 ? 对角线相等
互相垂直 对角线
互相平分
平分一组对角
课后反思 :
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19.4 课题学习 重心(二) 三维目标
一、 知识与技能
1. 进一步认识规则几何图形的重心就是它的几何中心.
2. 探究不规则几何图形的重心.
二、 过程与方法
1. 通过悬挂法探究三角形的重心.
2. 讨论特殊三角形的重心.
3. 进一步探究任意多边行的重心.
三、情感态度与价值观
在进行探索的活动中培养学生合作交流的意识与合情的推理能力.
教学重点: 用悬挂法探究不规则几何图形的重心.重点是让学生在动手操作的同时,认真思考.
教学难点:用悬挂法探究不规则几何图形的重心的过程.
教学过程
一、 创设问题情境,搭建研究平台
在上一节课我们探索研究了一些几何图形的重心,现在请同学们回顾一下上节课学习的内容.我们采用了什么样的方法来探究几何图形的重心?我们得到的结论是什么?
在上一节课,我们主要是通过实际操作,用手指顶举使物体平衡的方法来寻找几何图形的重心,我们得到的结论是:
(1) 线段的重心是线段的中点.
(2) 平行四边形的重心,是它的两条对角线的交点.
现在回过头来我们再想想,我们上节研究的几何图形有什么特点?(我们上节课研究的几何图形都是规则的几何体).
我们上节课研究的几何图形都是中心对称图形,所以这些几何图形的重心正好是它们的中心。下面,同学们再想一想:其他的几何图形,如三角形,其他任意的多边形有没有重心?如果有,它们的重心又如何找?这些也就是我们这节课要解决的主要问题了. 二、 讲授新课
我们这一节内容,和物理之间有着很密切的联系.在物理学的力学部分有一个很重要的力,叫做重力.重力很重要,可以说离开重力,我们的世界就没有了规则,没有了界限,就会一片混乱.而重力的着力点就叫做物体的重心.
我们在这儿介绍这个力,就是引导同学们试着从力学的角度入手,来探究一些不规则几何图形的重心.
探究三: 三角形的重心.
活动过程:
先分组,然后各种对不同形状的三角形进行研究.
1. 在三角形薄板的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点;
2. 用下端系有小重物的细线缠绕在一个小钉上,吊起薄板,记下铅垂线的“痕迹”;
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3. 在另一个小钉上重复(2)的活动,找到两条铅垂线的交点.
上面的操作同学们都完成了吧?下面我们先来思考一个问题:如果在第三个小钉上重复上述活动中的(2),那么第三铅垂线会经过前两条铅垂线的交点吗?
同学们想得很正确,这一点确实是这个三角板的重心.前面的学习中我们就知道,用手指顶住物体的重心位置,物体会保持平衡.同样的道理,将物体悬挂后,物体保持平衡时,说明物体所受的力处于平衡状态,即每次所保留下来的铅垂线都要经过薄板的重心,那么两条铅垂线的交点就理所当然是薄板的重心了.
对于一个任意的三角形来说,我们要找它的重心,不可能每次都把它做成薄板去悬挂,所以我们有必要对上面操作的结果做进一步的分析,得到三角形重心的确切位置.
同学们找一下三条铅垂线与三角形三边的交点,看看交点的位置.
这三条铅垂线与对边的交点好像是对边的中点.
同学们想办法来证明一下,看是不是边的中点.
用刻度尺量一量,确实是三角形边上的中点.
我们数学还要有充分的理论依据,请大家认真思考,可以采用逆向思维:如果是中点,会有什么结果,也就是找找该点为边的中点的理论依据.
(思考、讨论)我觉得三角形薄板悬挂后,薄板处于平衡状态,那么说明铅垂线两侧的两部分一样重.这个薄板很均匀,使用我觉得铅垂线是将三角形薄板分成面积相等的两部分了,根据三角形面积公式,只能是所分得的两个小三角形的底边相等,所以说铅垂线肯定过了对边的中点.
这位同学分析得太精彩了,有理有据,思路条理、清楚,这说明三角形的重心是三条中线的交点.(播放课件)
结论:三角形的三条中线交于一点.这一点就是三角形的重心.
不同形状、不同类型的三角形的重心又会有什么不同,它们是否都在三角形内部,如下图所示.
第一组:我们组是找的锐角三角形的重心,它就在三角形内部.(如图a)
第二组:我们的研究的直角三角形,我们发现直角三角形的重心也在三角形内部(如图b)
第三组:我们研究的是钝角三角形,钝角三角形,钝角三角形的重心仍在三角形上,而且在三角形的内部.
很好可以看出,三角形的重心全在三角形的内部，并且是三条中线的交点. 有了上面的内容做依据,我们可以很轻松地来完成下面的探究:
探究四:任意多边形的重心.
活动过程:
将任意多边形的薄板分发给每组同学,由学生仿照探究三中的方法,找到任意多边形的重心.
如图为任意五边形的重心.
在探究的过程中我们发现正五边形,正六边形等图形的重心也是它们的中心. 这样我们就可以得出这样的结论:规则几何图形的重心就是该图形的几何中心,而不规则的几何图形的重心需通过悬挂法来找.同学们请看大屏幕(播放课件).
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 课题总结:
通过这个课题学习活动,可以得出如下结论:
(1) 对于线段、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形等规则的
几何图形,它们的重心就是该图形的几何中心.
(2) 对于任何的多边形这些不规则的几何图形,它们的重心就需要采用悬
挂法来找.
在得到这些结论的过程中,同学们能够互相配合,充分发挥自己的才智,积极主动地参与到我们的探索中来,我相信每个同学对这两节课探究都会有很深切的体会.
三、课时小结
在前一节课的探索基础上,我们进一步对、任意多边形等一些不规则几何图形的重心进行了探究.在实际操作过程中,同学们充分发挥自己的主动性,积极思考、大胆设想,体现了我们探究性学习的主旨,可以说,我们在这节课中收获是很大的.
四、课后作业
1. 复习总结两节课的探究结论,并作进一步的思考与认识.
2. 将对本课题的探究体验写成一个学习报告,与同学交流..
活动与探究
如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要做60?、30?、15?等大小的角,可以采用下面的方法(如下图). (1)对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重和,得到折痕EF,把纸片展平. (2)再一次折叠纸片,使点A落在EF上,并使折痕过点B,得到折痕BM,同时得到了线段BN.
观察所得的?ABM、?MBN和?NBC,在三个角有什么关系?你能证明吗?
通过证明可知,简单而准确.由此,15?、60?、120?、150?等角,就都容易得到了.
已知:矩形ABCD,E、F分别为边AB、CD的中点,N在EF上,且MN=AM,(如
图),BN=AB.
求;?ABM、?MBN和?NBC的大小
解:如右图延长MN交BC于点P
?AM=MN,AB=NB,BM=BM,
??ABM??NBM(SSS)??ABM=?MBN.
又?EF为矩形ABCD的中位线,
?MN=NP.
又?BN=BN,?BNM=?BNP=Rt?.
??BMN??BPN.
??MBN=?NBP.
??ABM=?MBN=?NBP=30?.
19、4 课题学习 重心(一) 三维目标
一、 知识与技能
1、 认识几何图形的重心。
2、 探究规则几何图形的重心。
40
加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 3、 探究不规则几何图形的重心。
二、 过程与方法
1、 通过手指顶举的方法探求规则几何图形的重心。
2、 通过悬挂的方法探求不规则几何图形的重心。
3、 经历探索各种几何图形的重心的过程，使学生认识各种几何图形的重心。
三、 情感态度与价值观
在进行活动探究的过程中培养学生积极动手，合作交流的意识与合情的归纳推理。
教学重点:各种几何图形重心的探究。
教学难点:各种几何图形重心的探究。
教学过程
一、创设问题情景，搭建探究平台
杂技演员用竹竿顶碗，碗从竿上掉不下来是由于碗保持一种平衡，这种平衡需要什么条件呢,大家可以拿自己的一个笔记本，用笔来顶，看看笔顶的位置对平衡有什么影响,
笔顶的位置对平衡有很大的影响，笔如果顶在笔记本的边缘上，笔记本就保持不了平衡，笔尖如果顶在本的中心，笔记本就可以保持平衡。
经过一番思考与观察后，我们拿出一块均匀的木板，用指头来顶它，总可以找到一个点让木板保持平衡，这个平衡点就是木板的重心，
二、 讲授新课
现在请同学们拿出准备好的木条,来探究下面的问题.
探究一:线段的重心.
活动过程:
1. 学生分组活动,用手指顶住一根均匀的木条,来找木条的平衡点;
2. 用刻度尺量出平衡点的位置;
3. 再用另外一根木条重复上面的活动.
木条的重心在木条的哪个位置上呢,在木条的中点上。
现在我请一个同学来总结一下线段的重心在哪儿?线段的重心就是线段的中心。
同学们做得很好.下面我们来探究第二个会问题.
探究二:平行四边形的重心。
从前面的探究过程我们可以受到一定的启发,同学们现在还按照刚才分开的组,各组设计自己的探究方案,来得到平行四边形的重心.
(学生分组讨论探究,教师听取学生意见,并且做出指点)
第一组:我们组设计的方案是,用五个手指叉开撑住平行四边形薄板,然后慢慢将五指并拢,做时要尽量使薄板保持平衡,不掉地上,当五指并拢的近似一点时,而且薄板仍保持平衡,那么就找到薄板的重心了.我们每个同学都是过,差不多了.
第二组:我们组是用正方形薄板来探究的,由于前面的探究一中,我们得知:线段的重心是线段的中心,而正方形的四条边是相等的线段,所以,我们的探究结论是正方形的重心在它两对对边中点连线的交界处.
第三组:我们组是把一个平行四边形薄板放在桌子上的一支铅笔上,慢慢移动薄板让它平衡,然后再换个角度,前后两次铅笔所在位置的交点就该是平行四边形的重心.
现在让我们来概括一下.同学们将自己找到重心的平行四边形薄板拿出来,用铅笔将薄板相对的顶点连接起来,也就是画出薄板的对角线,看看会出现什么结论?
我们找到的重心离对角线的交点很近,它们是不是同一个点呢?
你可以用手指顶住对角线的交点将薄板慢慢托起,看能否保持平衡.
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大家看大屏幕,演示课件)
结论:1.线段的重心是线段的中点.
2.平行四边形的重心,是它的两条对角线的交点.
三、课时小结
本节课我们分组探究了线段、平行四边形的重心,在这节课里同学们充分发挥自
己的想像力,设计探究方案,进一步强化了我们探索性学习,并且的出了两个结论:
(1) 线段的重心是线段的中点.
(2) 平行四边形的重心是它的对角线的交点.
四、课后作业
1. 阅读教材P124,125,
2. 思考:如何寻找不规则几何体的重心.
板书设计
19.4 课题学习 重心
1. 课题学习目的:通过寻找几何图形的重心,了解规则的几何图形的重心就是它的
几何中心.
2. 工具准备
3. 集体活动
4. 课时小结
19(3 梯形(一)
1、知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念;能说出并证明等腰梯形的两个性质;等
腰梯形同一底上的两个角相等;两条对角线相等(
知识与技能 2、会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算(
教3、通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变学换的方法和转化的思想( 目
经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体标 过程与方法 会平移，轴对称的有关知识在梯形中应用。
增强主动探索意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值。 情感态度与价值观
重点 等腰梯形的性质及其应用(
难点 解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线)，及梯形有关知识的应用(
教学过程
备 注 教学设计 与 师生互动
第一步:复习引导 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
边 角 对角线
平行四边形
矩形
菱形
正方形
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
第二步:课堂引入
1(创设问题情境——引出梯形概念(
【观察】(教材P117中的观察)右图中，有你
熟悉的图形吗,它们有什么共同的特点,
2(画一画:在下列所给图中的每个三角形中画
一条线段，
【思考】(1)怎样画才能得到一个梯形,
(2)在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形,
梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形( (强调:?梯形与平行四边形的区别和联系;?上、下底的概念是由底的长短来
定义的，而并不是指位置来说的()
(1)一些基本概念(如图):底、腰、高(
底:平行的一组对边叫做梯形的底。(较短的底叫做上底，较长的底叫做下
底)
腰:不平行的一组对边叫做梯形的腰。
高:两底间的距离叫做梯形的高。
直角梯形:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯
形。
等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
(2)等腰梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形( (3)直角梯形:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形(
3(做—做——探索等腰梯形的性质(引入用轴对称解决问题的思想)(
在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线( 【问题一】 图中有哪些相等的线段,有哪些相等的
43
加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 角,这个图形是轴对称图形吗,学生画图并通过观察猜想; 【问题二】 这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系, 结论:
?等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴( ?等腰梯形同一底上的两个角相等(
?等腰梯形的两条对角线相等(
解决梯形问题常用的方法:
(1)“平移腰”:把梯形分成一个平行四边形和一个三角形(图1);
(2)“作高”:使两腰在两个直角三角形中(图2);
(3)“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中(图3);
(4)“延腰”:构造具有公共角的两个等腰三角形(图4);
(5)“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形(图5)(
图1 图2 图3 图4 图5
综上所述:解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决(
44
加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 第三步;应用举例:
例1(教材P118的例1)略(
(延长两腰 梯形辅助线添加方法三)
例2(补充)如图，梯形ABCD中，AD?BC，
?B=70?，?C=40?，AD=6cm，BC=15cm(
求CD的长(
分析:设法把已知中所给的条件都移到一
个三角形中，便可以解决问题(其方法是:平
移一腰，过点A作AE?DC交BC于E，因此
四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得
到?ABE是等腰三角形(EA=EB)，因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm(
解(略)(
例3 (补充) 已知:如图，在梯形ABCD中，AD?BC，
?D,90?，?CAB,?ABC， BE?AC于E(求证:BE
,CD(
分析:要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是:平移一腰，过点D作DF?AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出?DFC=?BAE，因此Rt?ABE?Rt?FDC(AAS)，故可得出BE=CD(
证明(略)
另证:如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，
证明?ABE??FDC即可(
例4:求证:等腰梯形的两条对角线相等
已知: 求证:
例5:如图4.9-4，梯形ABCD中，AD?BC，?B=70?，?C=40?，AD=6cm，
BC=15cm,求CD的长。
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力
例6:已知等腰梯形的锐角等于60?它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长。
已知: 求证:
例4:已知:如图4.9-5，梯形ABCD中，AD?BC，E是AB的中点，DE?CE，求证:AD+BC=DC。
第四步:课堂练习
1、填空
(1)在梯形ABCD中，已知AD?BC，?B=50?，?C=80?，AD=a，BC=b，,则DC= 。
(2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30?，则这个梯形的两腰分别是 和 。
(3)等腰梯形 ABCD中，AB?DC，A C平分?DAB，?DAB=60?，若梯形周长为8cm，则AD= 。
2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分?DAB，AB,，43(1)求梯形的各角。(2)求梯形的面积。
3、(1)在梯形ABCD中，已知AD?BC，?B=50?，?C=80?，AD=a，BC=b，,则DC= (
(2)直角梯形的高为6cm，有一个角是30?，则这个梯形的两腰分别是 和 (
(3)等腰梯形 ABCD中，AB?DC，A C平分?DAB，?DAB=60?，若梯形周长为8cm，则AD= (
4(已知:如图，在等腰梯形ABCD中，AB?CD，AB
,CD，AD=BC，BD平分?ABC，?A=60?，梯形周长
是20cm，求梯形的各边的长( (AD=DC=BC=4，AB=8)
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第五步:课后练习
1(填空:已知直角梯形的两腰之比是1?2，那么该梯
形的最大角为 ，最小角为 (
2(已知等腰梯形的锐角等于60?它的两底分别为
15cm和49cm，求它的腰长和面积(
,,，,A40，,B703(已知:如图，梯形ABCD中，CD//AB，，(求证:AD=AB
—DC(
4(已知，如图，梯形ABCD中，AD?BC，E是AB的中点，
DE?CE，求证:AD+BC=DC((延长DE交CB延长线于点F，
由全等可得结论)
第六步:课堂小结
1、梯形的定义及分类
2、等腰梯形的性质:
(1)具有一般梯形的性质:AD?BC。
(2)两腰相等:AB=CD。
(3)两底角相等:?B=?C，?A=?D。
(4)是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线。
(5)两条对角线相等:AC=BD。
两条对角线的交点在对称轴上。
两腰延长线的交点在对称轴上。
课后反思 :
19(3 梯形(二)
1、通过探究教学，使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，
及其此判定方法的证明(
2(能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学知识与技能 建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力( 教
3(通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变学
换的方法和转化的思想( 目
标 过程与方法 经历探索梯形的判定条件的过程，发展学生合情推理能力。 增强主动探索意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值。 情感态度与价值观
重点 掌握等腰梯形的判定方法并能运用(
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难点 等腰梯形判定方法的运用
教学过程
备 注 教学过程 与 师生互动
第一步:温习故知
第二步:学习新知:
【提出问题】:前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题(等腰梯形同一底
上两个角相等的逆命题是什么,
命题:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
问:这个命题是否成立,能否加以证明，引导学生写出已知、求证(
启发:能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证(
已知:如图，在梯形ABCD中，AD?BC，?B=?C(
求证:AB=CD(
分析:我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等(”因此，
我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证
明了( 图一
证明方法一:过点D作DE?AB交BC于点F，得到?DEC(
?AB?DE， ??B=?1，
??B=?C， ??1=?C( ?DE,DC(
又?AD?BC， ?DE,AB=DC(
证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE(
证明方法二:用常见的梯形辅助线方法:过点A作AE?BC， 过D作DF?BC，
垂足分别为E、F(见图一)(
图二
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力 证明方法三:延长BA、CD相交于点E(见图二)
通过证明:验证了命题的正确性，从而得到:等腰梯形判定方法
等腰梯形判定方法 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(
几何表达式:梯形ABCD中，若?B=?C，则AB=DC(
【注意】等腰梯形的判定方法:
? 先判定它是梯二 形，
?再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰
梯形(
第三步:应用举例:
例1(教材P119的例2)
例2(补充) 证明:对角线相等的梯形是等腰梯
形(
已知:如图，梯形ABCD中，对角线
AC=BD(求证:梯形ABCD是等腰梯形(
分析:证明本题的关键是如何利用对角线相
等的条件来构造等腰三角形(在ΔABC和ΔDCB
中，已有两边对应相等，要能证?1=?2，就可通
过证ΔABC ?ΔDCB得到AB=DC(
证明:过点D作DE?AC，交BC的延长线于点E， 又 AD?BC，? 四边形ACED为平行四边形， ? DE=AC (
? AC=BD ， ? DE=BD ? ?1=?E
? ?2=?E ， ? ?1=?2
又 AC=DB，BC=CE， ? ΔABC?ΔDCB( ? AB=CD( ? 梯形ABCD是等腰梯形(
说明:如果AC、BD交于点O，那么由?1=?2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯
形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路(
问:能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE?BC，DF?BC，可证 RtΔABC?RtΔCAE，得?1=?2(
例3(补充) 已知:如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF?BE交BD于G，F是垂足(求证:四边形ABGE是等腰梯形(
分析:先证明OE,OG，从而说明?OEG,45?，得出EG?AB，由AE，BG延长交于O，显然EG?AB(得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形(
例4 (补充)画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积(
分析:梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形(
如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成 AECD的画图(
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力
画法:?画ΔABE，使BE=12—4=8cm(
.
?延长BE到C使EC=4cm.
?分别过A、C作AD?BC ，CD?AE，AD、CD交于点D(
四边形ABCD就是所求的等腰梯形(
解:梯形ABCD周长,4，12，5×2,26cm (
12 S,，(4，12)，3,24cm(梯形ABCD2
2cm 答:梯形周长为26cm，面积为24(
例5:.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD的腰长为5cm，上、下底长分别是6cm和12cm，求梯形的面积。 (方法一，过点C作CE?AD，再作等腰三角形BCE的高CF，可知CF=4cm。然后用梯形面积公式求解;方法二，过点C和D分别作高CF、DG，可知，从而在Rt?AGD中求出高DG=4cm。 )
第四步:随堂练习
1(下列说法中正确的是( )(
(A)等腰梯形两底角相等
(B)等腰梯形的一组对边相等且平行
(C)等腰梯形同一底上的两个角都等于90度
(D)等腰梯形的四个内角中不可能有直角
2(已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm、8cm，则腰长为_______cm( 3(已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数(
4(已知，如图，在四边形ABCD中，AB,DC，?1=?2，
AC=BD，求证:四边形ABCD是等腰梯形(
(略证 ，AD=BC， ,ADC,,BDC,，ADC,，BCD
,ADB,,ACB,，DAB,，CBA，? AB?DC)
5(已知，如图，E、F分别是梯形ABCD的两底AD、BC的
中点，且EF?BC，求证:梯形ABCD是等腰梯形(
第五步:课后练习 ,601(等腰梯形一底角，上、下底分别为8，18，则它的腰
长为______，高为______，面积是_________(
2(梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积
为_________(
3(已知:如图，在四边形ABCD中，?B=?C，AB与CD
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不平行，且AB=CD(求证:四边形ABCD是等腰梯形(
4(如图4.9-9，梯形ABCD中，AB?CD，AD=BC，CE?AB
1(AB+CD)( 于E，若AC?BD于G(求证:CE=2
第六步:课堂小结
等腰梯形的判定方法:
一般是先判定一个四边形是梯形，然后再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”
来判定它是等腰梯形(判定一个四边形是梯形时，根据梯形定义，判定另两边不平行比
较困难，可以通过判定平行的两边不相等来说明(
梯形的画图:一般先画出有关的三角形，在此基础上再画出有关的平行四边形，
最后得到所求图形((三角形奠基法)
课后反思 :
19(3 梯形(三)
使学生掌握梯形中位线定理，并能熟练地用它进行有关的论证和计算，进一步提高学
知识与技能 生分析问题、解决问题的能力，培养学生具有“类比”和“转化”的数学思想和应用意识。 教 学
过程与方法 经历探索会运用梯形的中位线和性质进行有关问题的论证和计算。 目
标 通过探索梯形的中位线的性质，提升学生的对知识的横向联系的素质 情感态度与价值观
重点 梯形中位线性质及其证明(
难点 任意多边形面积的计算(
教学过程
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力
备 注 教学设计 与 师生互动 第一步:复习提问
1(什么叫做三角形的中位线,它有什么性质,
2(等边三角形各边中点的连线形成什么图形,
，
3、梯形也有中位线(那么梯形的中位线及性质是什么,
第二步:讲授新课:
1(梯形中位线:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线( 强调:梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段( 2(梯形中位线定理 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半( 该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线( 设法把梯形中位线转化为三角形中位线(
3. 等腰梯形的常用辅助线的添加方法
作法一:过点C作CF?AD交AB延长线于F
作法二:过A作AF?DC于F，BE?DC于E
作法三:延长DA、CB交于点O
作法四: 过点B作 BE?AD，交DC于点
作法五:过点B作BE?AC交DC延长线于点E
作法一 作法二 O
DA
作法三 C 作法四 B
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加强教学研究 促进对话交流 拓展专业视野 《全效学习》让课堂教学焕发出生命的活力
作法五
4(梯形、多边形面积的计算
小学学过的梯形面积S=(a，b)h?2 ，而l=(a，b)?2，推出S=lh(l为梯形中位线长，h为梯形高)(
多边形面积的求法，任意多边形面积可以通过辅助线，把它分割成三角形、平行四边形、梯形，就可以利用这些图形的面积公式计算任意多边形面积( 第三步:应用举例:
例1:课本P121习题第9题(让学生思考
DA并寻求证明方法，教师加以巡视及点拨。)
MN分析:如图，连AN并延长交BC延长线于E，
这样可证?ADN??ECN,得AD=CE，MN变成?ABEBCE的中位线，可得
111,且有MN?BC?AD MN,BE,(BC，CE),(AD，BC)222
小结:1.梯形中位线性质:梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半(该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线( 例2 有一块四边形的地ABCD， 测得AB=26m，BBC=10m，CD=5m，顶点B、C到AD的距离分别
为10m、4m，求这块地的面积( C分析:解题的关键是通过辅助线把多边
形分割成面积可以计算的常见图形(三角形、ADN平行四边形、梯形等)，至于解答程序可不作Q限制(可以先列出所求面积公式，再求公式
中的未知项，最后代入公式求出结果;也可以先列出已知项，求出有关的未知项，再列出公式，将数值代入求出结果(
第四步:课堂小结
本节课主要讲了梯形中位线性质定理和证明，推出了梯形面积的又一计算公式(介绍了多边形面积计算原则(分割成四边形与三角形)，要求牢牢掌握。 对三角形、梯形中位线知识进行归纳:
1(三角形中位线定义、性质与判定(
2(梯形中位线的定义、性质与判定(
3(多边形面积的计算原则(分割)
课后反思:
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浙公网安备 33021202002483