用复变反三角函数变换求共焦点椭圆柱形电容器的电势及电容

用复变反三角函数变换求共焦点椭圆柱形电容器的电势及电容 用复变反三角函数变换求共焦点椭圆柱形 电容器的电势及电容 第24卷第2期2005年2月大学物理COLLEGEPHYSICSV01.24NO.2 Feb.2005 用复变反三角函数变换求共焦点椭圆柱形 电容器的电势及电容 孙春峰 (考感学院物理系,湖北考感432100) 摘要:利用复变解析函数性质,通过反余弦复变函数变换,在7.O平面上求解二维静电场的边值问题,从而求得共焦点椭圆 柱形电容器内任一点的电势和单位长度的电容,并作了进一步讨论. 关键词:保角变换;拉普拉斯方程;椭圆柱;电势;电容 中图分类号:o411.1文献标识码:A文章编号:1000—0712(2005)02—0013—03 在电磁理论中,保角变换是求解二维静电场边 值问题的灵活 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,它适用性强,计算简便,因而可 用来解决一些实际问题.由于保角变换的变换 函数性质各异,因而对一个具体问题,关键是要找到 一 个合适的变换函数,使得它的实部或者虚部所代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的曲线族中的曲线与所给问题的边界重合.文献 [5]采用的儒阔夫斯基变换求椭圆柱形电容器电容 的方法直截了当,简明有效.该问题还可用另外的变 换方法,不仅可以得到此问题的解,而且可以解决椭 圆或双曲线一类的边值问题.作为对保角变换解法 的探讨,本文通过反余弦复变函数变换(以下简称反 余弦变换)解拉普拉斯方程,从而求得共焦点椭圆柱 形电容器的电势及电容,并对椭圆或双曲线一类的 边值问题作些讨论. 为突出物理意义,先对复变解析函数的性质与 静电场特性作一类比. 1复变解析函数的性质与静电场特性的类比 以z=+iy为变量的复变解析函数叫=厂() :U(,Y)+iv(,Y),其实部变量U=U(,Y)和 虚部变量=(,Y)都满足拉普拉斯方程;在U+ i平面上,U=常数和=常数的曲线彼此正交L4J. 在静电场中,无源区的电势函数满足拉普拉斯方程, 等势线和电场线处处正交.两者类似的特性启发人 们,U或者V都可以充当二维静电场的函数.若用 : 常数的曲线族代表静电场的等势线,则U=常数 的曲线族便与电场线相一致.反之亦然.故U,可 分别代表二维静电场的电势函数和电通量函数.因 此可用复变解析函数描述二维静电场. 容易证明,在z平面(,Y)坐标下,标量函数 (,Y)在区域D中满足拉普拉斯方程,通过保角 变换到叫平面(U,)坐标下的(U,)仍然满足 拉普拉斯方程J,即为 ^'^, +=0(1)1z1z',一 uUuU 相应地,平面的区域D变为平面的区域D,故 可在变换了的边界条件下,解区域D中的拉普拉斯 方程式(1),求出(U,)后,再通过逆变换求出原 问题的解[U(z,Y),(,Y)]. 对反余弦变换] 叫=arccos;(为实数)(2) 将z=+iy,叫=U+iv代入式(2)得: COSUcosh Y=一是sinUsinh (3) (4) 在式(3),(4)中分别消去U和,得到z平面上U= 常数和=常数的曲线方程为: 22 -4-Y一1 五'—k2sin—h2v一 一 1一 (5) (6) 当等于不同的常数时,式(5)表示一族中心在z 平面原点的共焦椭圆,椭圆的半长轴n,半短轴b和 半焦距C分别为: 收稿日期:2004—06—14;修回日期:2004—1003 作者简介:孙春峰(1956一),男,湖北孝感人,孝感学院物理系副教授,主要从事近代 物理学和理论物理的教学与研究 14大学物理第24卷 akcosh,b=ksinh(7) C=a一b=(cosh一sinh7./)=k(8) 当U等于不同的常数时,式(6)表示对称中心在z 平面原点的共焦双曲线族. 由此可见,U等于常数代表一族与7./等于常数 的椭圆有相同焦点的共焦双曲线,如图1所示.换言 之,反余弦变换把W平面上7./等于常数的直线变成 z平面上的椭圆,把W平面上"等于常数的直线变 成z平面上的双曲线. , ,, 图1相互正交的两族曲线 显然,若取作为电势函数,则它可描述两共 焦椭圆柱导体间的电场分布,其等势线与共焦椭圆 族重合,电场线则与共焦双曲线族重合;若取U作 为电势函数,则它可代表两共焦双曲柱面导体间的 电场分布,其等势线与共焦双曲线族重合,电场线则 与共焦椭圆族重合.因此,反余弦变换有助于求解椭 圆或双曲线一类的边值问题. 2电势分布 设共焦椭圆柱形电容器的内,外椭圆半长轴分 别为a,a,半短轴分别为b,b,内外导体间的电 压为U.,为方便起见,让外导体接地,故=0,则内 导体电势=U..采用反余弦变换式(2),令7./=, 则平面上的共焦椭圆边界变为W平面上的矩形 区域D,[7,如图2所示. 如上所述,电势在区域D中满足拉普拉斯方 程式(1).由对称关系,且(",7./)与"无关,故其解 为 (7./):A+B(9) 由:1时,=U.;:7./:时,=0的边界条件 得 A:0_,B: 7./1——7./2 将式(10)代入式(9)得 yJ'z平面 u=3~2 ,,一一一. =o ... 一 }' .三I/u=rid2 w平面 2…一一一一r一一=o I I Dl I l…一一一一1-一: l D?1"2— 02n ()=Uo( 'U--7.32)(11) 由式(5),并注意到sinh=cosh一l可得 : [互巫亚] (12) 利用式(7)的第1式有 =arcOsh睾,=arcosh0"2(13) 将式(12),(13)代入式(11),即得到z平面上电势 与z,Y的函数关系为 (z'):::手-_Uo? {一[丛亚卜 arcosh}定J(14a) 若用反双曲正弦函数表示,则由式(5)和式(7)的第 2式,式(14b)变为 (z,Y)= arsin 唪一arsin唾 {[z)+,了丽 一 1????J 第2期孙春峰:用复变反三角函数变换求共焦点椭圆柱形电容器的电势及电容15 ars ~2/- .nl - Uo ? j[(x2+y2_k2)+q/—(X22k2+y2_—k2)+4k2y2]一 一 b2) arsinh}(14b) 式(14b)中利用了arsinhz=in(z+~/z+1). 3电容器的电容 利用复电势函数计算单位长度电容的公式为] c:!!!!f15) V2一I 将式(13)代入式(15),注意到图2(b)中"一"= 2兀一0=2兀,便得到单位长度共焦椭圆柱形电容器 的电容为 C=2丁cEn一 2丁c0 arc.sh警一arcosharSinh一anh (16) 亦即 7) 根据保角变换前后电容不变的原理,式(17)的结果 也可由叫平面上的平行板电容器公式得到. 4讨论 当n=b=R,n=b=R时,共焦椭圆退 化为同心圆,由式(17)得到同轴圆柱形电容器单位 长度的电容为 c=(18) 1一一' n 当:0时,n=k=c,b=0,即椭圆内导体柱退 化成与外椭圆柱两焦点连线重合的(宽度为2c)薄 导体平板,如图3所示. 图3椭圆一平板导行传输系统横截面 令n:=n,b:=b,则式(16)简化为 c=0|:U^(19) arcosharsinh旦 CC 式(19)即为图3所示的导行传输系统单位长度的电 容[. 令"=,解方程(1)有=("),在给定边界 条件下同样可以得到共焦双曲柱面导体间的电势分 布. 对双曲柱面与自焦点延伸到无穷远的导体平面 间的电场,相隔一定距离的两半无限大共面导体板 间的电场,以及无限大导体平面与相隔一定距离互 相垂直的半无限大导体平面间的电场,均属于椭圆 或双曲线一类的边值问题,容易由反余弦变换求解. 这里不再赘述. 必须说明的是,以上讨论忽略了椭圆柱两端的 边缘效应,即假定它们是无限长,或者说文中所述的 二维场. 综合而言,利用反余弦变换可以求解一类特殊 二维静电场的边值问题,物理意义明确,图像直观, 求解便捷,方法巧妙,相对而言,具有一般性意义. 北京师范大学物理系梁绍荣教授对本文提出了 许多宝贵意见,给予了热情帮助和指导,作者谨致衷 心感谢! 参考文献: [1]梁昆淼.数学物理方法[M].第3版.北京:高等教育出 版社,1998.426,444.. 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AnanalysisofcurvedistortioninHalleffectexperiment usingHL.——5Halleffecttestinginstrument WANGGuang—hui,XUShi—chang,QILi—jie,ZHANGTie—jun (NavySubmarineAcademy,Qingdao266071,China) Abstract:MagneticfieldcurvedistortionisfoundatthepositionofmagneticpoleedgeinHalle ffectexperi— ment,usingHL一 5Halleffecttestinginstrument.Thereasonofthecurvedistortionisanalyzedbymeasurement andcalculationofthemagneticfielddistributionbetweentwomagneticpoles. Keywords:HL——5Halleffecttestinginstrument;magneticfieldcurvedistortion (上接15页) Calculationoftheelectricpotentialandcapacitanceof aconfocalellipticcapacitorbytransformofinverse trigonometricalfunctionofcomplexvariable SUNChun—feng (DepartmentofPhysics,XiaoganUniversity,Xiaogan,Hubel432100,China) Abstract:Byusingpropertiesofanalyticfunctionandanarccos2transform,thesolutionsofbo undaryvalue problemoftwo— dimensionalelectrostaticfieldsonplaneareobtained,theelectricpotentialandthecapacitanc e ofaconfocalelliptic—polecapacitorarecalculated. Keywords:conformalmapping;Laplace'Sequation;electricpotential;capacitance O8642O 1OOOOO ?萄