数值计算方法期末考试题.doc

    一、单项选择题（每小题分共分）  和分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字A．和         B．和C．和         D．和已知求积公式则＝（）A．     B．     C．    D．通过点的拉格朗日插值基函数满足（   ）A．＝       B．＝    C．＝        D．＝设求方程的根的牛顿法收敛则它具有（   ）敛速。A．超线性    B．平方      C．线性          D．三次用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第个方程（  ）A．               B．C．                D．　 单项选择题答案A　D　D　C　B     二、填空题（每小题分共分） 设,则一阶均差已知时科茨系数那么因为方程在区间上满足所以在区间内有根。取步长用欧拉法解初值问题的计算公式　   填空题答案和     三、计算题（每题分共分） 已知函数的一组数据：　求分段线性插值函数并计算的近似值   计算题答案解所以分段线性插值函数为 已知线性方程组  （）      写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式（）      对于初始值应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字） 计算题答案解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得 用牛顿法求方程在之间的近似根（）请指出为什么初值应取？（）请用牛顿法求出近似根精确到 计算题答案解故取作初始值迭代公式为方程的根 写出梯形公式和辛卜生公式并用来分别计算积分　 计算题答案解梯形公式应用梯形公式得辛卜生公式为应用辛卜生公式得       四、证明题（本题分） 确定下列求积公式中的待定系数并证明确定后的求积公式具有次代数精确度  证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数即将分别代入求积公式并令其左右相等得得。所求公式至少有两次代数精确度。又由于故具有三次代数精确度。 一、         填空（共分每题分）   设取位有效数字则所得的近似值x=设一阶差商则二阶差商设,则。．求方程的近似根用迭代公式取初始值那么．解初始值问题近似解的梯形公式是、则A的谱半径＝。、设则和。、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵则雅可比迭代和高斯塞德尔迭代都。、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。 填空题答案、、、和、、、、、收敛、、  二、计算题（共分每题分） ．设（）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足以升幂形式给出。（）写出余项的表达式 计算题答案、（）（） ．已知的满足试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数使…收敛？　 计算题答案、由可得 ．试确定常数ABC和a使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？ 计算题答案、该数值求积公式具有次代数精确度它是Gauss型的 ．推导常微分方程的初值问题的数值解公式：（提示：利用Simpson求积公式。） 计算题答案、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分得记步长为h,对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式： ．利用矩阵的LU分解法解方程组 计算题答案、解：   三、证明题（分） ．设证明解的Newton迭代公式是线性收敛的。 证明题答案、 一、填空题（分） ()设是真值的近似值则有位有效数字。()对,差商()。()设,则。()牛顿柯特斯求积公式的系数和。填空题答案（）（）（）（） 二、计算题 )（分）用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（）（）（）。 计算题答案）　 )（分）用二分法求方程区间内的一个根误差限。计算题答案) )（分）用高斯塞德尔方法解方程组取迭代三次(要求按五位有效数字计算)。 计算题答案）迭代公式 )（分）求系数。 计算题答案） )(分)对方程组试建立一种收敛的Seidel迭代公式说明理由 计算题答案)解：调整方程组的位置使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯塞德尔迭代法收敛迭代格式为取,经步迭代可得：  三、简答题 )（分）在你学过的线性方程组的解法中,你最喜欢那一种方法,为什么)（分）先叙述Gauss求积公式,再阐述为什么要引入它。 简答题答案）凭你的理解去叙述。）参看书本页。一、填空题（分） 若a=是的近似值则a有()位有效数字是以为插值节点的Lagrange插值基函数则()设f(x)可微则求方程的牛顿迭代格式是()迭代公式收敛的充要条件是。解线性方程组Ax=b(其中A非奇异b不为)的迭代格式中的B称为()给定方程组解此方程组的雅可比迭代格式为()。填空题答案．迭代矩阵     二、判断题（共分） 若则在内一定有根。()区间a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。()若方阵A的谱半径则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛。()若f(x)与g(x)都是n次多项式且在n个互异点上则。()用近似表示产生舍入误差。() 判断题答案×××√×     三、计算题（分）   （分）已知f()＝f()＝f()＝求过这三点的二次插值基函数l(x)=()=(),插值多项式P(x)=(),用三点式求得()计算题答案． （分）已知一元方程。）求方程的一个含正根的区间）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)）给出在有根区间的Newton迭代法公式。 计算题答案（）（）（） （分）确定求积公式的待定参数使其代数精度尽量高并确定其代数精度 计算题答案 （分）设初值问题()写出用Euler方法、步长h=解上述初值问题数值解的公式()写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=解上述初值问题数值解的公式并求解保留两位小数。 计算题答案 （分）取节点求函数在区间上的二次插值多项式并估计误差。 计算题答案．=(      一、填空题(每题分共分) 、数值计算中主要研究的误差有和。、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数则。、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为插值型求积公式中求积系数且。、辛普生求积公式具有次代数精度其余项表达式为。、则。填空题答案相对误差绝对误差至少是nba 二、计算题 、已知函数的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式并计算的近似值。 计算题答案解：差商表由牛顿插值公式： 、（分）利用尤拉公式求解初值问题其中步长。计算题答案解： 、（分）确定求积公式。中待定参数的值使求积公式的代数精度尽量高并指出此时求积公式的代数精度。 计算题答案解：分别将代入求积公式可得。令时求积公式成立而时公式不成立从而精度为。 、（分）已知一组试验数据如下：求它的拟合曲线（直线）。 计算题答案解：设则可得于是即。 、（分）用二分法求方程在区间内的根时若要求精确到小数点后二位()需要二分几次()给出满足要求的近似根。 计算题答案解：次。 、（分）用列主元消去法解线性方程组 计算题答案解：即 一、填空题（分） )设x*=是真值x=的近似值则x*有位有效数字。)。)求方程根的牛顿迭代格式是。)已知,则,。)方程求根的二分法的局限性是。填空题答案））））,）收敛速度慢不能求偶重根。 二、计算题 )（分）已知()用拉格朗日插法求的三次插值多项式()求使。 计算题答案解： )（分）试求使求积公式的代数精度尽量高并求其代数精度。计算题答案解：由等式对精确成立得：,解此方程组得又当时左边右边此公式的代数精度为 )（分）取步长h=,用梯形法解常微分方程初值问题 计算题答案）梯形法为即迭代得 )（分）用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值 计算题答案解：先选列主元行与行交换得消元行与行交换消元回代得解行列式得 )（分）用牛顿(切线)法求的近似值。取x=,计算三次保留五位小数。 计算题答案)解：是的正根牛顿迭代公式为即取x=,列表如下：   一、填空题(每题分共分) 、辛普生求积公式具有次代数精度其余项表达式为。、则。、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为插值型求积公式中求积系数且。、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数则。、按四舍五入原则数与具有五位有效数字的近似值分别为和。填空题答案、、、、至少是n、 二、计算题 、（分）已知数据如下：求形如拟合函数。 计算题答案解： 、（分）用二次拉格朗日插值多项式计算。插值节点和相应的函数值如下表。计算题答案解：过点的二次拉格朗日插值多项式为代值并计算得。　 、（分）利用改进的尤拉方法求解初值问题其中步长。 计算题答案解： 、（分）已知()推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式()指明求积公式所具有的代数精度()用所求公式计算。 计算题（）答案计算题（）（）答案（）所求的求积公式是插值型故至少具有次代数精度再将代入上述公式可得故代数精度是次。（）由（）可得：。 ()所求插值型的求积公式形如：。 、（分）讨论用Jacobi和GaussSeidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性如果收敛比较哪种方法收敛快。其中 计算题答案解：  三、简述题（本题分） 叙述在数值运算中误差分析的方法与原则是什么？ 简述题答案解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。误差分析的原则有：）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法）要避免两近数相减）要防止大数吃掉小数：）注意简化计算步骤减少运算次数。  一、          填空（共分每题分）