(最新)初中数学知识总结

(最新)初中数学知识 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 初中数学知识总结 一 方程 1.一元一次方程: ?知识提要 方程是含有未知数的等式。 ?从算式到方程 (1)一元一次方程 概念:只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。ax+b=0(a?0)是一元一次方程的标准形式( 归纳:实际问题?(设未知数 列方程)? 一元一次方程 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 (2)等式的性质 等式的性质 1 等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式。 如果a=b，那么a?c=b?c 等式的性质 2 等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式。 如果a=b，那么ac=bc 如果a=b(c?0)，那么= 对称性:等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。若a=b，则b=a。 传递性:如果a=b，且b=c，那么a=c，这一性质叫等量代换。 ?解一元一次方程 合并同类项与移项 去括号与去分母 (1)移项的有关概念: 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据。要明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要变号。 (2)解一元一次方程的步骤: 解一元一次方程的步主要依据 注意问题 骤 注意拿这个最小公倍数乘遍方程的每一 项，切记不可漏乘某一项，分母是小数1、去分母 等式的性质2 的，要先利用分数的性质，把分母化为 整数，若分子是代数式，则必加括号。 严格执行去括号的法则，若是数乘括号，去括号法则、乘法分配2、去括号 切记不漏乘括号内的项，减号后去括号，律 括号内各项的符号一定要变号。 越过“=”的叫移项，属移项者必变号; 未移项的项不变号，注意不遗漏,移项时3、移项 等式的性质1 把含未知数的项移在左边，已知数移在 右边，书写时，先写不移动的项，把移 动过来的项改变符号写在后面。 注意在合并时，仅将系数加到了一起，4、合并同类项 合并同类项法则 而字母及其指数均不改变。 两边同除以未知数的系数，记住未知数5、系数化为1 等式的性质2 的系数永远是分母(除数)，切不可分子、 分母颠倒。 6、检验 (3)用一元一次方程分析和解决实际问题的基本过程: 实际问题?(设未知数?列方程)?数学问题(一元一次方程)?(解方程?一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为)?数学问题的解(x=a)?(检验)?实际问题的答案?实际问题 ?实际问题与一元一次方程 列方程解应用题: A.列方程解应用题的一般步骤: (1)将实际问题抽象成数学问题; (2)分析问题中的已知量和未知量，找出等量关系;(审:弄清题意和题目中的数量关系;找:找出能够表示实际问题全部含义的一个相等关系，这是解题的关键) (3)设未知数，列出方程;(设:用字母表示其中适当的未知数;列:对上述相等关系中涉及的量，列出必要的代数式，从而列出方程) (4)解方程;(解:解所列方程，得到未知数的值) (5)检验并作答。(答:检验所求解是否符合题意，写出答案，注意不要忘记些单位。) B.一些实际问题中的规律和等量关系: (1)日历上数字排列的规律是:横行每整行排列7个连续的数，竖列中，下面的数比上面的数大7。日历上的数字范围是在1到31之间，不能超出这个范围。 (2)几种常用的面积公式: 2长方形面积公式:S=ab，a为长，b为宽，S为面积;正方形面积公式:S = a，a为边长，S为面积; 梯形面积公式:S = ，a，b为上下底边长，h为梯形的高，S为梯形面积; 圆形的面积公式: ，r为圆的半径，S为圆的面积; 三角形面积公式: ，a为三角形的一边长，h为这一边上的高，S为三角形的面积。 (3)几种常用的周长公式: 长方形的周长:L=2(a+b)，a，b为长方形的长和宽，L为周长。 正方形的周长:L=4a，a为正方形的边长，L为周长。 圆:L=2πr，r为半径，L为周长。 (4)柱体的体积等于底面积乘以高，当休积不变时，底面越大，高度就越低。所以等积变化的相等关系一般为:变形前的体积=变形后的体积。(体积变化问题:抓住两个关键，一是形变体不变;二是形变体变质量不变。) (5)打折销售这类题型的等量关系是:利润=售价–成本。 利润率=商品利润,商品进价 (6)行程问题中关建的等量关系:路程=速度?时间，以及由此导出的其化关系。 (7)在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关系。 (8)在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达出来，分析问题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方程。 (9)关于储蓄中的一些概念: 本金:顾客存入银行的钱;利息:银行给顾客的酬金;本息:本金与利息的和;期数:存入的时间;利率:每个期数内利息与本金的比;利息=本金?利率?期数;本息=本金+利息。 (10)数学问题:抓住数字间，或新数、原数之间的关系，常需设间接未知数，通常把数abc表示成a?100+b?10+c的形式。 ?经典例题 ?一个三位数，百位上的数字比十位上的数大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2(若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数( 解:设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x-2，百位上的数字为x+1，故 100(x+1)+10x+(3x-2)+100(3x-2)+10x+(x+1)=1171 解得x=3 ?一天卡尔点了两支蜡烛读书，这两支蜡烛的长度相同，但粗细不同。已知粗蜡烛可点5小时，细蜡烛点4小时。临睡时吹灭，这时所剩粗蜡烛长度正好是细蜡烛的四倍，问这两支蜡烛已点了多少小时, 解:设已点x小时，总长为a(辅助元)，可列方程 a-a/5乘x=4(a-a?4乘x) 把a消了，1-0.2x=4-x,所以0.8x=3 x=3.75 2k,1?(2004，黄冈市)关于x的一元一次方程(k,1)x+(k,1)x,8=0的解为_____( 【分析】由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，则有两种情况，•?当k 2,1=1，即k=2时，原方程3x+x,8=0，解之得x=2 ?当k,1=0且k,1?0时，也就是当k=,1时，原方程化为,2x,8=0，解之得x=,4，所以原方程的解为x=2或x=,4，•故答案为x=2或x=,4( 2.二元一次方程: ?知识提要 ?二元一次方程的解是无数个; 一元一次方程的解只有一个。 问题要求的是两个未知数，如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数。 ?二元一次方程组 (1)概念:含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。(含有两个未知数的方程叫做二元方程,如果二元方程中含有未知数的项的次数都是一次的,那么这个方程就叫做二元一次方程.)其一般形式是ax+by=c(a、b、c都是常数，且a?0，b?0)。 说明:a.二元一次方程中的每一项都应是整式;b.二元一次方程中的“一次”是指含未知数的项的次数,而不是未知数的次数,如xy中未知数x、y都是一次的,但xy这一项是二次的. 重点提示:一个方程是二元一次方程的条件有三个，即: A.必须含有两个未知数; B.所含未知数的项的次数都是1; C.必须是整式方程。 (2)二元一次方程组: 两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 说明:a.二元一次方程组要求方程组里各个方程一共含有两个未知数,不能多于两个,也不一定要求每个方程都含有两个未知数,比如, 两个方程共含有三个未知数就不是二元一次方程组;b.二元一次方程组中的每个方程都是一次方程. 重点提示:事实上，若含有两个未知数的n个一次方程组成的一组方程，都是二元一次方程组，如{x+y=3，y=2x，x=1 是一个二元一次方程组。 (3)二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 说明:a.一般情况下,一个二元一次方程有无数多个解,但如果对其未知数的取值附加某些限制条件,那么也可能只有有限个解;b.二元一次方程的每一个解,都是一对数值. 重点提示:二元一次方程的解有无穷多个。 (4)二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 重点提示:判断一组数是不是一个二元一次方程组的解，就是看这组数是否适合每个方程，若适合每个方程就是方程的解，否则就不是方程组的解。 ?消元 (1)消元:将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 (2)一般解法 消元的解法有两种: A.代入消元法(简称代入法):通过“代入(把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元)”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法。 B.加减消元法(简称加减法):两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法。 (3)二元一次方程组的解有三种情况: a.有一组解 如方程组x+y=5? 6x+13y=89? x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 b.有无数组解 如方程组x+y=6? 2x+2y=12? 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 c.无解 如方程组x+y=4? 2x+2y=10?， 因为方程?化简后为 x+y=5 这与方程?相矛盾，所以此类方程组无解。 (4)教科书中没有的几种解法 a.加减-代入混合使用的方法. 例1 3x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得 x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得 13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得 x=1 所以:x=1,y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. b.换元法 例2 (x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为 m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1,y=6 特点:两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。 c.另类换元 例3 x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t,y=4t 方程2可写为:5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 ?再深实际问题与二元一次方程组 列二元一次方程组解应用题的分析方法: (1)审题 (2)设未知数，其方法通常有两种:一是设直接未知数;二是设间接未知数 (3)列方程组 (4)解方程组 (5)检验并作答，所求方程组的解在正确的基础上还要符合实际意义。 ?【知识梳理】 (1)(二元一次方程(组)及解的应用: 注意:方程(组)的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。 (2)(解二元一次方程组:解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，转化思想和整体思想也是本章考查重点。 (3)(二元一次方程组的应用:列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。 ?经典例题 ?丽丽和家家去书店买书，他们同时喜欢上了一本书，最后丽丽用自己的钱的5分之3，家家用自己的钱的3分之2各买了一本，丽丽剩下的钱比家家剩下的钱多5块。两人原来各有多少钱,书多少钱, 解:设丽丽有x元钱 家家有y元钱 得出: 3/5x=2/3y 2/5x=1/3y+5 (丽丽剩下2/5 家家剩下1/3) 解2元一次方程得x=50 y=45 即丽丽50元 家家45元 书30元一本 3.分式方程 ?知识提要 ?概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 ?解分式方程的基本思想: 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程。 ?解分式方程的基本方法: (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: a.去分母,将分式方程转化为整式方程; b.解所得的整式方程; c.验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: a.设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式; b.解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; c.把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; d.检验做答. ?注意: (1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程. (2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法. (3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤. ?列分式方程解应用题 步骤:审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答。 列分式方程解应用题常见误区: (1)单位不统一; (2)解完分式方程后忽略“双检”. ?经典例题 ?某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天，求改进设备后平均每天耗煤多少吨, 解:改进设备后平均每天耗煤x吨,原来2x (45/2x +10-5)*x+5*2x=45 (45/2x+5)x+10x=45 45/2+5x+10x=45 15x=45/2 x=3/2 4.一元二次方程: ?知识提要(略) ?一元二次方程 ?降次——解一元二次方程 ?实际问题与一元二次方程 ?经典例题 ?一果园种植苹果，总产量是2000千克，价格是0.6元千克。采用新技术后，苹果共卖得1386元，价格增长率是总产量增长率的2倍，求果园总产量的增长率 解:设总产量增长率为x，则价格增长率为2x 2000*(1+x)*0.6*(1+2x)=1386 1200(1+x)(1+2x)=1386 600(1+x)(1+2x)=693 600(2x^2+3x+1)=693 1200x^2+1800x-93=0 400x^2+600x-31=0 解得: x=0.05=5% 或x=-1.55(舍去) 所以总产量增长率为5% ?在解一元二次方程时，粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题，甲同学抄错常数项，得到的两个根分别是8和2，乙同学抄错一次项，得到的两个根分别是-9和-1，你能找出正确的方程吗,若能，请你求出这个方程的根。 解:甲解得的方程可以化成(x-8)(x-2)=0。即x^2-10x+16=0 乙解得的方程可以化成(x+9)(x+1)=0.即x^2+9x+9=0 显而易见，原方程式应该为:x^2-10x+9=0 解得两解为9和1 二 函数 Section A:平面直角坐标系 ?知识提要 ?平面直角坐标系 A.有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有叙数对，记作(a，b)。 B. 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。 C. 平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为X轴，取向右方向为正方向;纵轴为Y轴，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。X轴和Y轴把坐标平面分成四个象限，右上面的叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不属于任何象限。一般情况下，x轴和y轴取相同的单位长度(也可取不同的单位长度)。 D.特殊位置的点的坐标的特点: (1).x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。 (2).第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 (3).在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。 (4).点到轴及原点的距离 点到x轴的距离为|y|; 点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号; E.在平面直角坐标系中对称点的特点: (1).关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。(横同纵反) (2).关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。(横反纵同) (3).关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反) F.各象限内和坐标轴上的点和坐标的规律: 第一象限:(+，+)正正 第二象限:(-，+)负正 第三象限:(-，-)负负 第四象限:(+，-)正负 x轴正方向:(+，0) x轴负方向:(-，0) y轴正方向:(0，+) y轴负方向:(0，-) x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。 注:以数对形式(x，y)表示的坐标系中的点(如2，-4)，“2”是x轴坐标，“-4”是y轴坐标。 G.建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 ?坐标方法的简单应用 A.用直角坐标原理在投影面上确定地面点平面位置的坐标系: 与数学上的直角坐标系不同的是，它的横轴为X轴，纵轴为Y轴。在投影面上，由投影带中央经线的投影为调轴、赤道投影为横轴(Y轴)以及它们的交点为原点的直角坐标系称为国家坐标系，否则称为独立坐标系。 B.坐标方法的简单应用: (1).用坐标表示地理位置 (2).用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y),或(x-a，y),;将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b),或(x，y-b),。 『 【在测量学中使用的平面直角坐标系统:rectangular plane coordinate system】 包括高斯平面直角坐标系和独立平面直角坐标系。通常选择:高斯投影平面(在高斯投影时)或测区内平均水准面的切平面(在独立地区测量时)作为坐标平面;纵坐标轴为y轴，向上(向北)为正;横坐标轴为x轴，向右(向东)为正;角度(方位角)从x轴正向开始按顺时针方向量取，象限也按顺时针方向编号。 』 ?经典例题 ?在平面直角坐标系中，若点p(m-3，m+1)在第二象限，则m的取值范围是(A)。 A.-1,m,3 B.m,3 C.m,-1 D.m,-1 解析:p(m-3，m+1) m-3,0 m+1,0 m,3 m,-1 Section B:函数 函数 一般形式 图像 一次函数 y=kx+b 直线 待定系数法 一元一次方程 (k?0) y=kx 正比例函数 (k?0) 反比例函数 y=k,x 双曲线 分式方程 (k?0，x?0) 二次函数 y=ax?+bx+c 抛物线 一元二次方程 (a?0) 1.一次函数 ?知识提要 ?变量与函数 (1)概念:A.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。有一些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量。 B.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。 C.如果当x=a是y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 D.表示y与x的函数关系的式子，这样的式子叫做函数解析式。 (2)归纳:A.确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义。 B.自变量的取值不能使函数解析式的分母为零(指反比例函数)。 C. 表示函数的方法:列表法、解析式法、图像法(函数的不同表示方法之间可以转化)。 (3)函数的图象: 把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象( 画函数图象一般分为三步:列表、描点、连线( ?一次函数 (1)概念:A.一般地，形如y=kx(k是常数，k?0)的函数，叫做正比例函数(斜率)，其中k叫做比例系数。(正比例函数的图像时一条过原点的直线，称为直线y=kx。) B. 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k?0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量);特别地，当b=0时，即y=kx，称y是x的正比例函数.例如:y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函数，y=x，y=-x都是正比例函数.(正比例函数是一种 特殊的一次函数。) 说明: I.一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. II.一次函数y=kx+b(k，b为常数，b?0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数. III.当b=0，k?0时，y=b仍是一次函数. VI.当b=0，k=0时，它不是一次函数. (2)确定一次函数的关系式 根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方 程，再用含x的代数式表示y( (3)一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b(k，b为常数，k?0)的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b( 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点:直线与y轴的交点(0，b)，直线与x轴的交点(-，0). 但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点(0，0)，(1，k)即可. (4)一次函数y=kx+b(k，b为常数，k?0)的性质: A.k的正负决定直线的倾斜方向; ?k,0时，y的值随x值的增大而增大; ?k，O时，y的值随x值的增大而减小( B.|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大(直线陡)，|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小(直线缓); C.b的正、负决定直线与y轴交点的位置; ?当b,0时，直线与y轴交于正半轴上; ?当b,0时，直线与y轴交于负半轴上; ?当b=0时，直线经过原点，是正比例函数( D.由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同; ?当k,0，b,0时，直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限); ?当k,0，b，O时，直线经过第一、三、四象限(直线不经过第二象限); ?当k，O，b,0时，直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限); ?当k，O，b，O时，直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限)( E.由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的(另外，从平移的角度也可以分析，例如:直线y=x，1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的( (5)正比例函数y=kx(k?0)的性质 A.正比例函数y=kx的图象必经过原点; B.当k,0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大; C.当k,0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小( (6)点P(x，y)与直线y=kx+b的图象的关系 00 A.如果点P(x，y)在直线y=kx+b的图象上，那么x,y的值必满足解析式y=kx+b; 0000 B.如果x，y是满足函数解析式的一对对应值，那么以x，y为坐标的点P(1，2)必在函0000 数的图象上( 如点P(1，2)满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P(1，2)在直线y=x+l的图象上;点P′(2，1)不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′(2，1)不在直线y=x+l的图象上( (7)确定正比例函数及一次函数表达式的条件 A.由于正比例函数y=kx(k?0)中只有一个待定系数k，故只需一个条件(如一对x，y的值或一个点)就可求得k的值( B.由于一次函数y=kx+b(k?0)中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值( (8)待定系数法 先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程(或方程组)，求出未 知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法(其中未知系数也叫待定系数(例如:函数y=kx+b中，k，b就是待定系数( (9)用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 A.设函数表达式为y=kx+b; B.将已知点的坐标代入函数表达式，解方程(组); C.求出k与b的值，得到函数表达式( (10)思想方法 (1) A.函数方法: 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法(函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题( B.数形结合法: 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用( ?用函数观点看方程(组)与不等式 (1)由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a?0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。 (2)由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b,0或ax+b,0(a，b为常数，a?0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围。 (3)由于任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线。 (4)解二元一次方程组可以看作求两个一次函数图像的交点坐标，因此我们可以用画图像的方法解二元一次方程组。 ?经典例题 ?一次函数的图象与y轴的交点为(0，,3)，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式. 分析:一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是,3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定. ?y=kx+b的图像过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k经过第( )象限。 直线y=-bx+k经过第2.3.4.象限 2. 反比例函数 ?知识提要 ?反比例函数 kky,y,k,okxx(1)定义:一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数。还可 ,1y,kx以写成 重点提示:比例系数“k?0”是反比例函数的一个必要组成部分。 (2)反比例函数解析式的特征: ykkA.等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫做比例系数)， x分母中含有自变量，且指数为1. k,0B.比例系数 xC.自变量的取值为一切非零实数。 y的取值是一切非零实数。 D.函数 (3)反比例函数的图像 A.图像的画法:描点法 ?列表(应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数) ?描点(有小到大的顺序) ?连线(从左到右光滑的曲线) ky,y,0k,0x,0kxB.反比例函数的图像是双曲线，(为常数，)中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 y,xy,,x或)。 D.反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是 kky,y,k,0k,0kxxE.反比例函数()中比例系数的几何意义是:过双曲线 ()上 kyx任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。 (4)反比例函数性质如下表: 图像所在象限 函数的增减性 k的取值 一、三象限 k,o yx在每个象限内，值随的增大而减小 二、四象限 k,o yx在每个象限内，值随的增大而增大 (5)反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个点的坐标 k即可求出) (6)“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例 ky,x函数中的两个变量必成反比例关系。 (7)反比例函数的应用 A.图形中的反比例函数 ?一般地，当三角形、平行四边形(包括长方形)的面积为常数时，它们的底与高(或长与宽)成反比例，其中一个量是另一个量的反比例函数。 ?一般地，当柱体(圆柱体、长方体等)或圆锥的体积一定时，它的底面积S与高h成反比例，S是h的反比例函数，反之亦然。 B.反比例函数在物理学中的应用 ?当电压U为定值时，电路中的电流I时电阻R的反比例函数，即:I=. ?当物体的质量m一定时，密度是体积V的反比例函数，即:=. ?当压力F一定时，压强P是受力面积S的反比例函数，即:P=. C.反比例函数在生产实践中的应用 在生活与生产实践中，某些问题中两个变量成反比例，这时我们可以根据这种关系建立反比例函数模型，利用反比例函数性质解决问题。 ?实际问题与反比例函数(略) ?经典例题 22k，k,2y,kx?如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少, ky,,1y,kxk,0k,0x【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，()即() k,0又在第二，四象限内，则可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得: 1,2,k,,1或k,,2k，k,2,,1,2,,k,0k,0,,解得 ？k,,1 12y,,2k，k,2y,kx？k,,1x时函数为 1y,,，，xy，，，，xyxy33x1122?在反比例函数的图像上有三点，，，，， 。若x,x,0,x123则下列各式正确的是( ) y,y,yy,y,yy,y,yy,y,y312321123132A( B( C( D( 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 111y,,y,,y,,132xxx123解法一:由题意得，， ？x,x,0,x？y,y,y123312，所以选A 1y,,x解法二:用图像法，在直角坐标系中作出的图像 x,x,0,xy,y,y123312描出三个点，满足观察图像直接得到选A 解法三:用特殊值法 1？x,x,0,x,？令x,2,x,1,x,,1？y,,,y,,1,y,1,？y,y,y1231231233122 3n,m1，，y,mx，nm,0与反比例函数y,的图像，22x相交于点()，那?如果一次函数 么该直线与双曲线的另一个交点为( ) 【解析】 1,m,2,3n,m1,,,m，n,2？直线y,mx，n与双曲线y,x相交于，2，？解得,,,,2n,1x2,,,,3n,m,1, y,2x，1,1,1？直线为y,2x，1,双曲线为y,解方程组,y,x,x, x,,1,1得,y,,1,1 1,,x,2,2 ,y,22, ，，？另一个点为,1，,1 3.二次函数 ?表示函数关系:列表、图像、解析式。 ?函数:(1)“函数”在等式的左边 (2)自变量任取一有意义的值，函数只有一个对应值 (3)例:s= x? ? |s|= x? ? s=(x?1) ? 【?0】 ?知识提要 ?二次函数(一) (1).定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a?0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 (2).二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2;+bx+c(a，b，c为常数，a?0) 顶点式:y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h，k)] 交点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b??b^2;-4ac)/2a (3).二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x?的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 (4).抛物线的性质 (一).抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) (二).抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。 当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 对称轴:x=-b/2a。 (三).二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a,0时，抛物线向上开口;当a,0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 (四).一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab,0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab,0)，对称轴在y轴右。 (五).常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0，c) (六).抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac,0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac,0时，抛物线与x轴没有交点。 二次函数(二) 二次函数(三) 性质: (1)二次函数:|a|越大，函数图像的开口就越小。 (2)抛物线开口的大小，方向由a的值决定: (一)a,0，开口向上 (二)a,0，开口向下 (三)|a|越大，开口越小 (3)y=kx+b(k?0) k=, b=, 经过两个点，二元一次方程组 y=kx(k?0) k=, 经过一个点 y=k,x(k?0，x?0) k=, 经过一个点 y=a x?+bx+c(a?0) a=, b=, c=, 经过三个点，三元一次方程组 y=a(x-h)?+k(a?0) a=, 顶点坐标=, 一个顶点，经过一个点 (4)当x=0时，y的坐标为(0，c);二次函数与y轴交点的坐标为(0，c)。 (5)归纳(一): 二次函数 图对称轴 顶点坐标 开口方向 性质 像 ?y=a x? X=0(y轴) (0,0) A,0，向上 ??? (a?0) 抛 A,0，向下 ?y=a x?+c X=0(y轴) (0,0) 物 (a?0) ?y=a x?+bx x=-b/2a [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ] 线 (a?0) ?y=ax?+bx+c x=-b/2a [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ] (a?0) X=h ?y=a(x-h)?+k(h，k) (a?0) 性?? A,0，向上 当x?0，x?y? A,0向下 当x?0，x?y? 质: 当x?0，x?y? 当x?0，x?y? ?? A,0，向下 当x?-b/2a，x?y? A,0向上 当x?-b/2a，x?y? 当x?-b/2a，x?y? 当x?-b/2a，x?y? ? A,0，向下 当x?h，x?y? A,0向上 当x?h，x?y? 当x?h，x?y? 当x?h，x?y? 归纳(二): A.函数图像上、下平移在常数项发生变化(上“+”，下“-”) 左、右平移在二次项的自变量发生变化(左“+”，右“-”) B.顶点式:y=a(x-h)?+k(a?0) 顶点坐标(h，k) 对称轴x=h (一)y=a x?(a?0)?y=a(x-0)?+0(a?0) 顶点坐标(0,0)?(h=0，k=0) 对称轴，y轴(x=0)?x=h=0 (二)y=a x?+c(a?0)?y=a(x-0)?+c(a?0) 顶点坐标(0，c)?(h=0，k=c) 对称轴x=0?x=h=0 ?用函数观点看一元二次方程 (1)二次函数与一元二次方程 : 特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)， 即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 (2)A.当一个二次函数y= a x?+bx+c与x轴有两个交点，所得的一元二次方程(a x?+bx+c=0)的判别式大于0. B.没有交点，所得的一元一次方程a x?+bx+c=0的判别式小于0. C.只有一个交点(顶点在x轴上)，所得的一元一次方程a x?+bx+c=0的判别式等于0. (3)A.当一个二次函数y= a x?+bx+c所得的一元二次方程a x?+bx+c=0的判别式大于0，二次函数y=a x?+bx+c与x轴有两个交点。 B.小于0，二次函数y= a x?+bx+c与x轴没有交点。 C.等于0，二次函数y= a x?+bx+c与x轴只有一个交点(顶点在x轴上)。 ?实际问题与二次函数(略) ?经典例题 ?南博汽车城销售某种型号的汽车,每辆进货价是25万元,市场调研表明,当销售价为29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售价没降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆,如果设每辆车降价X万元,每辆汽车的销售利润为Y万元,(销售利润=销售价-进货价) (1)求Y和X的函数关系式,在保证商家不亏本的前提下,写出X的取值范围 (2)假设这种汽车平均每周销售利润为Z万元,试写出z与x的函数关系式 (3)当每辆汽车的定价为多少万元时,平均每周的销售利润最大?最大利润是多少? 解:(1)原来每个车的利润是:29-25=4万元 现在每个车的利润是:Y=4-X，(0<=X<=4) (2)Z=(29-25-x)[8+(x/0.5)*4]=(4-x)(8+2x)=32+8x-8x-2x^2=32-2x^2 (3)Z=-2x^2+32 所以当X=0时，Z取最大值，是32 即定价是29万元时，利润最大是32万元 ?某超市经销一种销售成本为每件40元的商品，据市场那个调查分析，如果按每件50元销 售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件，问:在超市对该 商品投入不找过10000元的情况下，使得一周的销售利润达到8000元，销售单价应定为多 少, 解:设定价是x元，则每件利润x-40元 涨价x-50元，所以减少10(x-50)=10x-500件 是500-(10x-500)=1000-10x件 所以利润=(x-40)(1000-10x)=8000 (x-40)(x-100)=-800 x?-140x+4800=0 (x-60)(x-80)=0 x=60,x2=80 投入不超过10000元，则件数不超过10000?40=250 即1000-10x<=250 x>=75 所以x=80 答:销售单价应定为80元 4.锐角三角形函数 ?知识提要(略) ?锐角三角函数 ?解直角三角形 ?经典例题 三 图形的变换 图轴对称形 之 间连结对应点的线段平行(或在同的平移一直线上)且相等,对应线段平变行(或在同一直线上)且相等换 关 系对应点与旋转中心的距离不变; 旋转每一点都绕旋转中心旋转了同 样大小的角度 旋转对称中心对称 在轴对称、平移、旋转这些图形变换中, 线段的长度不变,角的大小不变;图形的 形状、大小不变 1.平移 ?知识提要 ? 平移的概念:平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移( 注:平移变换的两个要素:移动的方向、距离( (1)基本图形:是什么图形发生了平移; (2)方向:向什么方向发生了平移; (3)距离:平移了多远。 平移的基本特征:图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。 ? 平移变换的性质 (1)平移前后的图形全等(即:平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 (2)对应线段平行(或共线)且相等; (3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等( 如图所示，，且共线，且 ?用坐标表示平移: (1)点的平移:在平面直角坐标系中，将点: A.向右或向左平移a个单位?点 (x+1，y)或(x-1，y) B.向上或向下平移b个单位?点 (x，y+1)或(x，y-1) (2)图形的平移:对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按(1)中的方式作出改变. ?经典例题(略) 2.轴对称 ?知识提要 ?轴对称 A. [轴对称图形] 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴( 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴( B. [轴对称] 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点(两个图形关于直线对称也叫做轴对称( C.如图所示，关于直线l对称，l为对称轴( D. [轴对称与轴对称图形的区别] 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称( E.[图形轴对称的性质] 一 如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线( 轴对称的性质(二): (1)关于某条直线对称的两个图形全等; (2)对称点的连线段被对称轴垂直平分; (3)对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上; 如图被直线l垂直平分( F. [线段的垂直平分线] (1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线(或线段的中垂线)( (2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上(因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合( ?轴对称变换 A.[轴对称变换] 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换(• 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到( B.[轴对称变换的性质] (1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 (2)•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点( (3)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分( C.[作一个图形关于某条直线的轴对称图形] (1)作出一些关键点或特殊点的对称点( (2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形( D.用坐标表示轴对称 (1)[关于坐标轴对称] 点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，-y) 点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(-x，y) (2)[关于原点对称] 点P(x，y)关于原点对称的点的坐标是(-x，-y) (3)[关于坐标轴夹角平分线对称] 点P(x，y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是(y，x) 点P(x，y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是(-y，-x) (4)[关于平行于坐标轴的直线对称] 点P(x，y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x，y); 点P(x，y)关于直线y=n对称的点的坐标是(x，2n-y); ?等腰三角形(略) ?经典例题(略) 3.旋转 ?知识提要 ?图形的旋转 (1)旋转变换的概念:在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转(这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角( 注:旋转变换的三要素:旋转中心，旋转角度，旋转方向。 (2)旋转变换的性质: A.旋转前、后的图形全等 B.对应点到旋转中心的距离相等(意味着:旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上) C.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 (3)作图: 在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转角这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心;确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角. 作图的步骤: A.连接图形中的每一个关键点与旋转中心; B.把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角); C.在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点; D.连接所得到的各对应点. ?中心对称 (1)中心对称: 把一个图形绕着某一个点旋转180?，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心( 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点( (2)中心对称的两条基本性质: A.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分( B.关于中心对称的两个图形是全等图形( (3)中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转180?，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心( (4)中心对称和中心对称图形的区别与联系: 中心对称 中心对称图形 区别 ?指两个全等图形之间的相互位置关系( ?指一个图形本身成中心对称( ?对称中心不定( ?对称中心是图形自身或内部的点( 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体如果把中心对称图形对称的部分看成 (一个图形)，那么这个图形就是中心对称是两个图形，那么它们又关于中心对 图形( 称( (5)关于原点对称的点的坐标特征: 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点 关于原点的对称点 的坐标为 ，反之也成立. ?课题学习 图案设计 旋转对称性:因为正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，所以，把正n边形绕着它的中心旋转360??n的整数倍后所得的正n边形与原正n边形重合。我们说，正n边形关于其中心有360??n的旋转对称。 一般地，如果一个图形绕着某点O旋转角α后所得的图形与原图形重合，则称此图形关于点O由角α的旋转对称。 ?经典例题 ?如图,?ABC与?ADE是顶角为m?的等腰三角形,BC与DE分别是底边, 请你仔细观察图形,是否存在两个三角形可以通过旋转而相互得到?若存在, 说明是怎样旋转的. A E D 解:?ABD与?ACE可以通过旋转相互得到,将?ABD绕点A逆时针旋转BC m ?得到?ACE;也可将?ACE顺时针旋转m?得到?ABD. 4.位似 ?知识提要 ?定义:如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心( 注:(1)两图形相似( (2)每组对应点所在直线都经过同一点( 同时满足上述两个条件的两个图形才叫做位似图形(两条件缺一不可(此时，把这个点叫做位似中心(这时的相似比叫做位似比( ?性质:如果两图形F与是位似图形，它们的位似中心是点O，位似比为k，那么: (1)设A与是一双对应点，则直线过位似中心O点，并且( (2)设A与，B与是任意两双对应点，则对应线段;若直线AB、不通过位似中心O，则( ?作用:利用位似，可以将一个图形放大或缩小( ?经典例题(略) 5.投影与视图 ?知识提要 ?投影 (1)物体在光线的照射下，会在地面或者墙上留下影子，这就是投影现象。 太阳光线可以看成直线 ，像这样的光线所形成的投影称为平行投影 。 这种投影解决问题的根据是:相似三角形的对应边成比例。 太阳光下的影子 时间:早——中——晚，方向:西——西北——北——东北——东， 长短:长——变短——短——变长——长。 (2)探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成从一点发出的，像这样的光线所形成的投影是中心投影。灯光(点的位置)由两个物体和它的影子的外端所在的交点确定。 (3)投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关. ?三视图 (1)我们从不同的方向观察同一个物体，可能看到不同的图形，其中，把从正面看到的图形叫做主视图 ，把从左面看到的图形叫做左视图，把从上面看到的图形叫做俯视图， (2)物体的主视图反应物体的长和高，物体的左视图反应物体的宽和高，俯视图反应物体的长和宽。 (3) 三种视图的画法 首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，其中看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线( 画三视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，左、俯视图要宽相等。 画三视图时还要注意看清题目。如画底面为正三角形的直三棱柱的三视图(主视图面对最大矩形) ?课题学习制作立体模型(略) ?经典例题 ?阳光下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小勇和小宁站在同一列，小勇的影子正好落到后面一个同学身上，而小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，据此判断他们的队列方向是______ (填“背向太阳”或“面向太阳”)，小宁比小勇______ (填“高”、“矮”、或“一样高”)( 答案:面向太阳;矮( 四 几何 1.图形认识初步 ?知识提要 ?多彩多姿的图形 我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。 几何图形分为立体图形(各部分不都在同一平面内)和平面图形(各部分都在同一平面内)。 点动成线，线动成面，面动成体。 ?直线、射线、线段(略) ?角 (1)[角平分线的性质] A MPC在角平分线上的点到角的两边的距离相等. ONB?OP平分?AOB，PM?OA于M，PN?OB于N， ?PM=PN (2)[角平分线的判定] A MPC到角的两边距离相等的点在角的平分线上. ONB?PM?OA于M，PN?OB于N，PM=PN ?OP平分?AOB (3)[三角形的角平分线的性质] 三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等( (4)[添加辅助线口诀] 几何证明难不难，关键常在辅助线; 知中点、作中线，倍长中线把线连. 线段垂直平分线，常向两端来连线. 线段和差及倍分，延长截取全等现; 公共角、公共边，隐含条件要挖掘; 平移对称加旋转，全等图形多变换. 角平分线取一点，可向两边作垂线; 也可将图对折看，对称之后关系现; 角平分线加平行，等腰三角形来添; 角平分线伴垂直，三线合一试试看。 (5)A.角也是一种基本的几何图形。 B.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的 两条边。 C.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 D.从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 E.补角的性质:等角的补角相等。 余角的性质:等角的余角相等。 ?课题学习 设计制作长方体形状的纸盒(略) ?经典例题(略) 2.相交线与平行线 ?知识提要 ?相交线 (1) 互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角 是邻补角。 (2) A. 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。 B. 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。 (3) 邻补角的性质: 同角的补角相等。 (4) 对顶角性质:对顶角相等。 两个特征:A.具有公共顶点; B.角的两边互为反向延长线。 (5) n条直线相交于一点，就有n(n-1)对对顶角。 (6) 垂线的定义: 两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角是90?时，就说这两条 直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。 (7) 垂线的性质: A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质B. 直线外一点与 直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。 (8) 点到直线的距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距 离。 (9) 如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它 们所在的直线互相垂直。 (10) 垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指 一个数量，是有单位的。 ?平行线 (1)平行线的概念: 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 (2)两直线的位置关系: 在同一平面内，两直线的位置关系只有两种: A.相交; B.平行。 (3)夹在两平行线间的垂线段的长度,叫做两平行线间的距离。 (4)同位角、内错角、同旁内角的概念: 同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。 A.同位角的位置特征是:a.在截线的同旁，b.被截两直线的同方向。 B.内错角的位置特征是: a.在截线的两旁，b.在被截两直线之间。 C.同旁内角的位置特征是: a.在截线的同旁，b.在被截两直线之间。 (5)判定两直线平行的方法有三种: A. 定义法:在同一平面内不相交的两条直线是平行线。 B. 传递法:两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。 C. 三种角判定(3种方法):a. 同位角相等,两直线平行。 b.内错角相等,两直线平行。 c.同旁内角互补,两直线平行。 在这五种方法中，定义一般不常用。 ?平行线的性质 (1) 平行线的基本性质: A.平行公理(平行线的存在性和唯一性)经过直线外一点，有且只 有一条直线与已知直线平行。 B.推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (2)A.命题的概念: 判断一件事情的句子，叫做命题。 命题必须是一个完整的句子; 这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断。两者缺一不可。 B.命题的组成: 每个命是由题设、结论两部分组成。 题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。或 “若……，则……”等形式。 C. 真命题和假命题: 命题是一个判断，这个判断可能是正确的，也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题。 真命题就是: 如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 假命题就是: 如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题。 ?平移(略) ?经典例题(略) 3.三角形 Section A:三角形 ?知识提要 ?与三角形有关的线段 (1)不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. (2)三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. (3)三角形分类: A. 三角形按边分类如下: 三角形 不等三角形 ,, 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 ,,, 等边三角形 , B. 三角形按角分类如下: , 三角形 直角三角形 , 斜三角形 锐角三角形 ,,, 钝角三角形 , (4) 三角形的 意义 图形 表示法 重要线段 从三角形的 一个顶点向A1.AD是?ABC的BC上的高它的对边所三角形 线. 在的直线作的高线 2.AD?BC于D. 垂线,顶点和3.?ADB=?ADC=90?. BDC垂足之间的 线段 A三角形中,连1.AE是?ABC的BC上的中结一个顶点三角形 线. 和它对边中1的中线 BC. 2.BE=EC=的 2BCD线段 三角形一个 内角的平分A1.AM是?ABC的?BAC的线与它的对21三角形的 平分线. 边相交,这个1角平分线 ?BAC. 2.?1=?2=角顶点与交2BCD点之间的线 段 (5) 三线交点位置 a.三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交 点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部. b.三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内. c.无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点. (6)三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.。 (7)三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性。 ?与三角形有关的角 (1)三角形内角和为180度(三角形内角和定理). (2)三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 (3)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 ?多边形及其内角和 (1)在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形(多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角( (2)画出多边形的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的图形叫做凸多边边形，否则称为凹边形。 (3)各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形( (4)n边形的内角和等于(n一2)?180?(多边形的外角和等于360?. n(n,3) 2(5)从n边形的一个顶点出发，可以引 n-3条对角线.n边形共有条对角线. ?课题学习镶嵌 各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360?。 用同一种正多边形镶嵌，只要正多边形内角的度数整除360?，这种正多边形就能作平面镶嵌。 ?经典例题 ?在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，…则在第n个图中，互不重叠的三角形共有 个，(含n的式子表示) 析解:图形分割的规律是:每增加一个小三角形，图形中不重叠的三角形总数增加3个，依照这样的规律，第4个图形中不重叠的三角形共有4+3+3+3=13，第5个图形中共有 ，，n,1，33n，14+3+3+3+3=16，第n个图形中，互不重叠的三角形的个数为4+即 ?(2006年武汉市)一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为( ) A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 360:解析: 多边形平面镶嵌需要满足的条件之一:拼接在同一个点的各个角的和恰好等于. 60:,90:,120:因为正三角形、正四边形、正六边形的每个内角是，则第四个正多边形的内 360:,60:,90:,120:,90:角必须是，所以另一个多边形是正四边形. 选B. Section B:全等三角形 ?知识提要 ?全等三角形 (1)能够完全重合的两个图形叫做全等形。 (2)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 (3)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 (4)全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等。 ?三角形全等的条件 (1) 三角形全等的判定: A.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)。 B.有两多角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)。 C.有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)。 D.有三条边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)。 E.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”) (2)两个三角形全等的判定公理有三个:“SAS”“ASA”“SSS”，其中“AAS”是“ASA”的推论。而“AAA”(角角角)及“SSA”(边边角)不能作为两个三角形全等的判定公理，这可以通过画图，举例说明。 ?角的平分线的性质(略) ?经典例题(略) Section C:相似三角形 ?知识提要 ?相似图形的含义:把形状相同的图形叫做相似图形。(即对应角相等、对应边的比也相等的图形) 解读:(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到( (2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同( (3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关( ?比例线段: 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 (或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段( 解读:(1)四条线段a,b,c,d成比例，记作 (或a:b=c:d)，不能写成其他形式，即比例线段有顺序性( (2)在比例式 (或a:b=c:d)中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项( (3)如果比例内项是相同的线段，即 或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等( ?相似多边形的性质: 相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等，对应边的比相等( 解读:(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系( (2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性( ?相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形( 解读:(1)相似三角形是相似多边形中的一种; (2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; (3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同; (4)相似用“?”表示，读作“相似于”; (5)相似三角形的对应边之比叫做相似比( 注意:?相似比是有顺序的，比如?ABC??ABC，相似比为k,若?ABC??ABC，111111 1则相似比为。?若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三k 角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似;若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等( ?相似三角的判定方法 (1) 定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似; (2) 平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原 三角形相似( (3) 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似( (4) 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么 这两个三角形相似( (5) 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三 角形相似( (6) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似( ?相似三角形的基本类型: A.平行线型 常见的有如下两种，DE?BC，则?ADE??ABC ADE A DE B.相交线型 CBCB常见的有如下四种情形，如图，已知?1=?B，则由公共角?A得，?ADE??ABC AA E1DCE B1CBD 如下左图，已知?1=?B，则由公共角?A得，?ADC??ACB 如下右图，已知?B=?D，则由对顶角?1=?2得，?ADE??ABC AE DD 2A11CBCB C.旋转型 A已知?BAD=?CAE，?B=?D，则?ADE??ABC，下图为常见的基本图形( E D BC D.母子型 C已知?ACB=90?，AB?CD，则?CBD??ABC??ACD( BAD 解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出(构造出)上述基本图形( ?相似三角形的性质 (1) 对应角相等，对应边的比相等; (2) 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比; (3) 相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方( ?经典例题 ?如图，已知?ADE??ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 (1) 求DE、AE的长; A(2) 你还能发现哪些线段成比例( ED CB DEADAE,,BCABAC分析:此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即( DEADAE,,BCABAC解:(1)??ADE??ABC， ? 8x,1215?，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7 设DE=x，则， ?12x=8?15, x=10; a8ADAE,,a，712BDEC设AE=a,则, ?a=14. (2) AB2 AB2113?已知?ABC??ABC，=，?ABC的周长为20cm，面积为40cm( ，111 求(1)?ABC的周长;(2)?ABC的面积( 111111 分析:根据相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方求解( 2 易求出?ABC的周长为30cm; ?ABC的面积90cm111111 Section D:直角三角形 ?知识提要 (1)如果三角形中较小两边的平方和等于较大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，较大边所对的角是直角。 (2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30? (3)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30? (4)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”)。 (5)在线段的中垂线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 (6)到一条线段的两端点距离相等的点，在这条线段的中垂线上。 (7)在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (8)到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 (9)关于某条直线对称的两个图形是全等图形。 (10)如果两个图形的关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的中垂线。 (11)直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt?ABC中,?BAC=90?,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD?DC, (2)(AB)^2;=BD?BC , (3)(AC)^2;=CD?BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明). ?勾股定理 A.勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 B.勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c满足a,+b,=c,那么这个三角形是直角三角形。 ?解直角三角形(略) ? 经典例题(略) Section E:特殊三角形 ?知识提要 ?等腰三角形 (一)[等腰三角形] 有两条边相等的三角形是等腰三角形(相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边(两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角( (二)[等腰三角形的性质] 性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合( 特别的:(1)等腰三角形是轴对称图形. (2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. (三)[等腰三角形的判定定理] 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)( 特别的: (1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形( (2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形( (3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形( (4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形( (四)[利用“三角形奠基法”作图] 根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所 求的三角形. ?等边三角形 (一)[等边三角形] 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形( (二)[等边三角形的性质] 等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60? (三)[等边三角形的判定方法] (1)三条边都相等的三角形是等边三角形; (2)三个角都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形( ?经典例题(略) 4.四边形 ?知识提要 ? 平行四边形 A.平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 性质: 平行四边形性质1:平行四边形的两组对边分别相等。 平行四边形性质2:平行四边形的两组对角分别相等。 平行四边形性质3:平行四边形的两条对角线互相平分。 判定: 平行四边形判定1:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 平行四边形判定2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 平行四边形判定4:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 平行四边形判定5:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 B.平行线之间的距离及特征: 平行线之间的距离定义:若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线之间的距离。 平行线之间的距离特征1:平行线之间的距离处处相等。 平行线之间的距离特征2:夹在两条平行线之间的平行线段相等。 ? 特殊的平行四边形 矩形: 矩形定义1:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形定义2:有三个角是直角的四边形叫做矩形 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的 垂直平分线。 矩形性质1:矩形的四个角都是直角。 矩形性质2:矩形的对角线相等且互相平分。 (注意:矩形具有平行四边形的一切性质 直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 矩形判定1:有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形判定2:有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形判定3:对角线相等的平行四边形是矩形。 菱形: 菱形定义1:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形定义2:四条边都相等的四边形叫做菱形。 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线 所在的直线。 菱形性质1:菱形的四条边都相等。 菱形性质2:菱形的对角线互相垂直平分。 菱形性质3:菱形的每一条对角线平分一组对角。 菱形的面积:菱形的面积等于对角线乘积的一半。 推广:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 菱形判定1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形判定2:四条边都相等的四边形是菱形。 菱形判定3:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 菱形判定4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 (注意:菱形具有平行四边形的一切性质) 正方形: 正方形定义1:有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形定义2:有一个角是直角的菱形叫做正方形。 正方形定义3:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边 的垂直平分线和对角线所在的直线。 正方形性质1:正方形的四个角都是直角。 正方形性质2:正方形的四条边都相等。 正方形性质3:正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。 正方形判定1:有一组邻边相等的矩形是正方形。 正方形判定2:有一个角是直角的菱形是正方形。 正方形判定3:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 正方形判定4:对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 (注意:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质) ?梯形 (1)梯形: 梯形定义:只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 梯形判定1:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 梯形判定2:一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 直角梯形定义:有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 等腰梯形定义:两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。 等腰梯形性质1:等腰梯形的两腰相等、两底平行。 等腰梯形性质2:等腰梯形同一底边上的两个内角相等。 等腰梯形性质3:等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形判定1:两腰相等的梯形是等腰梯形。 等腰梯形判定2:在同一地上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 等腰梯形判定3:对角线相等的梯形是等腰梯形。 (2)梯形辅助线的添法: ?(1) 1(四边形的内角和与外角和定理: AD(1)四边形的内角和等于360?; (2)四边形的外角和等于360?. BC A4D2(多边形的内角和与外角和定理: 3(1)n边形的内角和等于(n-2)180?; 12(2)任意多边形的外角和等于360?. BC3(平行四边形的性质: (1)两组对边分别平行;,DC,(2)两组对边分别相等;,O,因为ABCD是平行四边形,(3)两组对角分别相等; ,,(4)对角线互相平分;AB,,(5)邻角互补., 4.平行四边形的判定: (1)两组对边分别平行,DC,(2)两组对边分别相等,O,(3)两组对角分别相等ABCD是平行四边形. ,,(4)一组对边平行且相等AB,,(5)对角线互相平分, 5.矩形的性质: DC (1)具有平行四边形的所有通性;,O,(2)四个角都是直角;因为ABCD是矩形, ,AB,DC(3)对角线相等., AB 6. 矩形的判定: DC(1)平行四边形，一个直角, ,,四边形ABCD是矩形. (2)三个角都是直角,O,(3)对角线相等的平行四边形,ABDC AB 7(菱形的性质: D因为ABCD是菱形 (1)具有平行四边形的所有通性;,OAC,, (2)四个边都相等;, ,(3)对角线垂直且平分对角., B D8(菱形的判定: ,(1)平行四边形，一组邻边等 ,O(2)四个边都相等,四边形四边形ABCD是菱形. ,AC,(3)对角线垂直的平行四边形, B9(正方形的性质: 因为ABCD是正方形 (1)具有平行四边形的所有通性;, ,(2)四个边都相等，四个角都是直角;, , ,(3)对角线相等垂直且平分对角., DCDC O BAAB(1) (2)(3) 10(正方形的判定: ,(1)平行四边形，一组邻边等，一个直角,(2)菱形，一个直角,四边形ABCD是正方形. ,,(3)矩形，一组邻边等, (3)?ABCD是矩形 DC 又?AD=AB ?四边形ABCD是正方形 BA 11(等腰梯形的性质: D,A(1)两底平行，两腰相等;,因为ABCD是等腰梯形, (2)同一底上的底角相等;,O,(3)对角线相等.,CB 12(等腰梯形的判定: ,(1)梯形，两腰相等,,四边形ABCD是等腰梯形 (2)梯形，底角相等,,(3)梯形，对角线相等, D A(3)?ABCD是梯形且AD?BC ?AC=BD O ?ABCD四边形是等腰梯形 CB A 14(三角形中位线定理: DE三角形的中位线平行第三边，并且 等于它的一半. BCDC15(梯形中位线定理: EF梯形的中位线平行于两底，并且等 于两底和的一半. BA (2)A.基本概念:四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平 行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯 形，三角形中位线，梯形中位线. B.定理:中心对称的有关定理 (一)关于中心对称的两个图形是全等形. (二)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. (三)如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于 这一点对称. C.公式: 1(一)S菱形 =ab=ch.(a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高) 2 (二)S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高) 1(三)S梯形 =(a+b)h=Lh.(a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线) 2 D.常识: 正菱矩n(n,3)方形(一)若n是多边形的边数，则对角线条数公式是:. 形形2 (二)规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”. 平行四边形(三)如图:平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系. (四)常见图形中，仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 „„ ;仅是中心对称图形的有:平行四边形 „„ ;是双对称图形的有:线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 „„ .注意:线段有两条对称轴. E. 中位线 三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。(三角形有三条中位线) 三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线定义:连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。(梯形的中位线有且只有一条) 梯形中位线性质:梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 梯形面积:梯形面积等于中位线与高的乘积。 ?课题学习 重心 线段的重心就是线段的中点。 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心。 黄金矩形:长与宽的比是【(-1)?2】(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形。 线段AB(黄金比例):?0.618 C点:黄金分割点 ?经典例题(略) 5.圆 ?知识提要 ?圆 (1)弦一定时线段圆心，但线段不一定是弦;直径一定时弦，但弦不一定是直径。 (2)同心圆:同一个圆心的圆叫同心圆。 等圆:半径相同的两个圆叫等圆。 等弧:两弧的长度相等，我们把这两条弧叫等弧。 (3)弦心距:弦到圆心的距离。 (4)等弧对等弦对等圆心角对等圆心距对等圆周角; 等圆心角对等弧对等弦对等弦心距对等圆周角; 等弦对等弧对等圆心角对等弦心距对等圆周角; 等弦心距对等弧对等弦对等圆心角对等圆周角; 等圆周角对等弧对等弦对等圆心角对等弦心距。 (5)三角形的一个外角:与它相邻的一个内角互补; 大于它不相邻的两个内角; 等于它不相邻的两个内角之和。 (6)一条任意弦(弧)所对的圆心角只有一个，所对的圆周角有无数个。 (7)圆内接四边形的对角互补。同角的补角互补。 (8)在同一平面内，不在同一直线上的三点确定一个圆。 (9)圆的基本元素:a.xian弦和直径;b.弧和半圆;c.圆周角和圆心角。 ?与圆有关的位置关系 三角形的外心:A.到三个顶点的距离相等。 B:a锐角三角形的外心在三角形的内部;b直角三角形的外心在斜边上的中心(外接圆的半径=斜边的一半);c钝角三角形的外心在三角形的外部。 ?正多边形和圆 (1)正n边形有:a.n条半径;b.n个中心角;c.n条边心距;d.每个中心角为(360?n)? (2)正n边形:a.边数越多边心距越长;b.边数越多中心角越小;c.在同一个圆中，边数改变半径不变。 (3)正多边形的面积公式“?周长?边心距”S=?lr (4)任意n边形:a.内角和:(n-2)?180?【n?3】;b.外角和:360?;c.对角线条数: 【n(n-3)?2】【n?3】 (5)正n边形:a.S=?lr(l—周长，r—边心距);b.中心角:(360??n);c.内角: {【(n-2)?180?】?n}【n?3】 (6)正多边形的外接圆和内切圆是同心圆;正多边形的内心(中心)和外心重合。 (7)π=3.141592653589793??? ?弧长和扇形面积(略) ?经典例题(略) 6.多边形(略) ?知识提要 ?正多边形 ?经典例题 五 统计 1.数据的调查、整理和描述 ?知识提要 ?统计调查 (1)收集数据(问卷调查) 整理数据 得出规律(条形统计图、扇形统计图、折线统计图) (2)考察全体对象的调查叫做全面调查。 只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫做抽样调查。 要考察的全体对象称为总体，组成总体的每一个考察对象称为个体，被抽取的那些个体组成一个样本。 样本中个体的数目称样本体容量。 总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样。 ?直方图 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称为组距。 对落在各小组内的数据进行累计，得到各小组内的数据的个数叫做频数。整理可得频数分布。 等距分组时，各小长方形的面积(频数)与高的比时常数(组距)。画等距分组的频数分布直方图时，通常直接用小长方形的高表示频数。 ?课题学习 从数据谈节水(略) ?经典例题(略) 2.数据的分析 ?知识提要 ?数据的代表 数据的权能够反映数据的相对重要程度。 (1)算数平均数，其特点:适用于数据较小，且较分散; 或加权平均数，其特点:适用于出现较多重复数据; 利用基准球平均数，其特点:适用于数据较接近于某一组数据。 (2) (3)若n个数，，…，的权分别是，，…，，则叫做这n个数的加权平均数。 (4)在求n个数的算术平均数时，如果出现次，出现次，…，出现次(这里++…+=n)，那么这n个数的算术平均数也叫做，，…，这k个数的加权平均数。其中，，…，分别叫做的权。 (5) (6)将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间的位置的数称为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数。 中位数是一个位置代表值，利用中位数分析数据可以获得一些信息。在一组不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半。 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 如果一组数据中有两个数据的频数一样，都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数。当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量。 平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息。 【?归纳:平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它受极端值的影响较大。 当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响。 中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响。】 ?数据的波动 (1)一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。(最大数据-最小数据= 极差) 极差能够反映数据的变化范围。极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极端值的影响较大。 (2)方差是实际值与期望值之差平方的期望值，而标准差是方差平方根。 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即 s^2=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2] ，其中，x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，^2表示平方，xn表示个体，而s^2就表示方差。 方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动越小。 ?课题学习 体质健康中的数据分析(略) ?经典例题(略) 3.概率初步 ?知识提要 ?概率 (1)分类:A.确定事件(必然事件、不可能事件):必然事件和不可能事件统称为确定事件。 B.不确定事件(随机事件) 重点提示:一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 (2)求概率的常用方法 A.用概率的意义直接求概率 如果在一次实验中，有n种发生的可能性都相等的结果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=m?n 重点提示:它主要能解决的是只涉及一步实验的随机事件发生的概率。 B.用列举法求概率 C.用树状图求概率 D.用频率估计概率 一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m?n会稳定在某个常数p附近，那么事件A 发生的概率P(A)=p。 (3)游戏的公平性 一个公平的游戏应该是游戏双方各有50,赢的机会。解决这类问题的步骤是:求出游戏双方的概率;比较两个概率的大小;概率大的有利，概率相等时对双方公平。 ?用列举法求概率(略) ?利用频率估计概率(略) ?课题学习 键盘上字母排列规律(略) ?经典例题(略) 六 计算 1.有理数 ?知识提要 ?正数和负数 (1)大于0的数叫做正数。在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 (2)数0既不是正数，也不是负数。 0是正数与负数的分界。 0的意义已不仅是表示“没有”。 把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量。 ?有理数 (1)所以正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合。正整数、0、负整数统称整数。 整数和分数统称为有理数。 (2)一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”。通常用一条直线上的点表示数(有理数)，这条直线叫做数轴。 (3)只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数仍是0. (4)一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 正数大于0,0大于负数，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。 (5)异号两数比较大小，要考虑它们的正负;同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。 (6)倒数:乘积是1的两个数互为倒数。(重点提示:0没有倒数。) ?有理数的加减法 (1)有理数加法法则: A.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 B.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. C.一个数同0相加，仍得这个数。 (2)加法交换律:几个数相加，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a 加法结合律:几个数相加，先把前几个数相加，或者先把后几个数相加，和不变。 (a+b)+c=a+(b+c) ?有理数的乘除法 (1)有理数的减法法则:减去一个数，等于加这个数的相反数。 a-b=a+(-b) (2)引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。 a+b-c=a+b+(-c) (3)有理数乘法法则:两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0乘，都得0. (4)几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数;负因数的个数是奇数时，积是负数。 (5)乘法交换律:几个数相乘，交换因数的位置，积相等。 ab=ba 乘法结合律:几个数相乘，先把前几个数相乘，或者先把后几个数相乘，积相等。 (ab)c=a(bc) 分配律:一个数同几个数的和相乘，，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加。 a(b+c)=ab+ac (6)有理数的除法法则:除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 a?b=a?(b?0) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0. (7)有理数的加减乘除混合运算:先乘除，后加减。 ?有理数的乘方 (1)一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。 (2)负数的幂的规律:当指数是奇数时，负数的幂时负数;当指数时偶数时，负数的幂是正数。 ?负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. (3)有理数的混合运算顺序:a.先乘方，再乘除，最后加减;b.同级运算，从左到右进行;c.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次运行。 (4)科学计数法:把一个大于10的数表示成a?10的n次方的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，使用的时科学计数法。 (5)近似数:近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字为止，所有的数字都是这个数的有效数字。 ?经典例题(略) 2.整式的加减 ?知识提要 代数式的值:用数值代替数式里的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果，叫做代数式的值。 ?整式 (1)单项式 A.单项式的概念:数与字母的积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。 注意:数与字母之间是乘积关系。 B.单项式的系数:单项式中的字母因数叫做单项式的系数。 如果一个单项式，只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。 C.单项式的次数:一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 (2)多项式 A.多项式的概念:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号，看作各项的性质符号。 B.多项式的次数:多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 C.多项式的排列: (一)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。 (二)把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母 升幂排列。 (3)整式: 单项式和多项式统称为整式。 (4)同类项的概念: 所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。 ?整式的加减 (1)整式的加减(合并同类项) A.合并同类项的概念:把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 B.合并同类项的法则:同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 C.合并同类项步骤: (一)准确的找出同类项。 (二)逆用分配律，把同类项的系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变。 (三)写出合并后的结果。 (2)幂的运算法则: 幂的乘方:底数不变，指数相乘。 积的乘方:把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 同底数幂相除:底数不变，指数相减。 (3)整式的乘法: 单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式 单项式与单项式相乘有以下法则:单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式与多项式相乘有以下法则:单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘有下面的法则:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式:(a+b)(a-b)=a平方-b平方 完全平方公式:(a?b)^2=a^2?2ab+b^2 平方差公式:两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。 (4)整式的除法 单项式除以单项式，多项式除以单项式 单项式与单项式相除有以下法则:单项式与单项式相除，把它们的系数，同底数幂分别相除，除数中多余的字母连同它的指数不变，作为积的形式。 单项式与多项式相除有以下法则:多项式与单项式相除，先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的积相加。 运算顺序:先乘除， 后加减。 诺有括号， 最先做。 同级运算，从左到右。 ?经典例题(略) 3.实数 ?知识提要 ?平方根(略) ?立方根(略) ?实数 ?经典例题(略) 4.整式的乘除与因式分解 ?知识提要 ?整式的乘法 (1) (2) (3) (4)0指数和负指数: (5) (6)多项式与多项式相乘的法则 ?乘法公式 (1)平方差公式: (2)完全平方公式: (3)三项式的完全平方公式: ?整式的除法 (1) (2)单项式的除法法则: (3)多项式除以单项式的除法法则: ?因式分解(略) ?经典例题(略) 5.不等式与不等式组 ?知识提要 ?不等式 ?实际问题与一元一次不等式 ?一元一次不等式组 ?课题学习 利用不等关系分析比赛(略) ?经典例题(略) 6.分式 ?知识提要 ?分式 (1)一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A?B叫做分式(B?0)。 分式是不同于整式的另一类式子。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 A.组成:在分式 中A称为分式的分子，B称为分式的分母。 B.意义:对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。 C.分式值为0的条件:在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分数值为0。 注:分式的概念包括3个方面:?分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用;?分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据;?在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0， 否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。 (2)分式的基本性质和变形应用 A.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变。 B.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分( C.分式的约分步骤:(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.(2)分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去. 注:公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. D.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式. E.通分:把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分. F.分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子. 注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积. 注:(一)约分和通分的依据都是分式的基本性质. (二)分式的约分和通分都是互逆运算过程. ?分式的运算 分式的四则运算: A.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. B.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. C.分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. D.分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. ?分式方程(略) ?经典例题(略) 7.二次根式 ?知识提要 ?二次根式 (1)定义: 形如?ā(a?0)的式子叫做二次根式。 (2)二次根式?ā的范围 ?ā是一个非负数。即?ā?0。 当a,0时，?ā表示a的算术平方根。 当a=0时，?ā表示0的算术平方根，即0。 (3)计算公式: A.(?ā)?=a(a?0) B.当a,0时，?ā?=a 当a=0时，?ā?=0 当a,0时，?ā?=-a C. ?ā×?ō=?āō(a?0, o?0) ?ā??ō=?(ā?ō) (a?0, o?0) (4)最简二次根式 条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因式。 ?二次根式的乘除 (1)二次根式的乘法 =(a0，b0) 用文字语言叙述为:两个二次根式相乘，将被开方数相乘，根指数不变。 注: 公式的条件说明: A.a、b均为非负数时，上式才成立; B.当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则; C.公式可逆向应用，逆向应用时要特别注意符号。 (2)积的算术平方根的性质 =(a0，b0) 用文字语言叙述为:积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积。 利用这个性质可以进行二次根式的化简。 注: 公式的说明:没有a0，b0这个条件，上述性质不成立，当时，虽然有意义，而，在实数范围内没有意义，总的来说等式不成立，如 (3)二次根式的除法与商的算术平方根 A.二次根式的除法:/=(a0，b,0) 用文字语言叙述为:二次根式相除，就是把被开放数相除，根指数不变。 B.商的算术平方根:=/(a0，b,0) 用文字语言叙述为:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，运用 这个性质可进行二次根式的化解简。 ?二次根式的加减 先将二次根式各项化为最简二次根式，再把被开方数相同的根式合并。 注:二次根式有双重非负数性( ?经典例题(略)