人造地球卫星绕地做圆周运动属于宏观运动现象,玻尔理论

人造地球卫星与氢原子中电子运动规律的对比 李华 （额济纳旗中学） 摘要：本文从受力角度、轨道半径、速度、能量、轨道形状、以及轨道跃迁等方面，对人造卫星与氢原子中电子运动规律进行对比。从而认识宏观现象与微观现象的联系与区别，认识物理规律的统一性。 关键词：人造地球卫星  氢原子  电子  运动规律 对比 中图分类号：O441 人造地球卫星绕地球运动属于宏观运动现象，氢原子中关于电子的运动属于微观现象。人造地球卫星做圆周运动的向心力由地球对其的引力提供，氢原子中电子绕核做圆周运动,所需向心力是由原子核静电力提供，这两个引力的大小都与距离平方成反比，因此氢原子中的电子和人造地球卫星运动规律有许多相似之处，例如卫星和电子的动能与轨道的半径成反比，同一轨道上势能的绝对值总是动能的两倍，总能量的绝对值等于动能的大小。从总能量的表达式来看，质量相同的人造地球卫星离地面越高能量越大，这与发射速度越大的卫星越能在更高的轨道上做圆周运动是一致的，与卫星升空过程中及绕地球运动过程中机械能守恒也不矛盾。同样，电子离核越远能量越高，在某一轨道上运动时，虽然做加速运动但是并不向外辐射能量,总能量不变，电子吸收能量跃迁到高能级相当于卫星的发射速度越大，做圆周运动位置越高。还有由于都处于引力场，取无穷远处的势能为零，因此卫星的重力势能和电子的电势能都是负值，所以总能量也都是负值，这一结果表明系统比较稳定。再比如他们做圆周运动的速率都与轨道半径的平方根成反比，他们的周期均与 成正比，即轨道半径越大，周期越长，转动越慢。他们做圆周运动的速度、周期、半径、角速度的关系是一一对应的关系，一但一个确定，其他的便随着确定。 但是，卫星和氢原子中的电子毕竟一个是宏观物体，一个是微观粒子，这就决定了他们遵循的规律是有区别的，如氢原子中电子的可能轨道是不连续的，每一轨道上运动时具有一定的能量，电子从一个轨道跃迁到另一轨道吸收或释放的能量值是一定的，而人造卫星的轨道是可以连续变化的，因而它的能量变化也可以是任意的。另外，能量的变化方式也是不同的。本文通过它们的这些运动规律的对比，认识宏观与微观的联系与区别，认识物理规律的统一性。 1 人造地球卫星与氢原子中电子的受力分析    人类对人造地球卫星的科学设想，最早来源于牛顿的抛体理想实验[1]。如今，这一设想已经实现，人造地球卫星已经成了当代科学技术发展的重要标志。以牛顿运动定律和万有引力定律的发现为标志的牛顿经典力学体系，揭示了机械运动的本质规律，他把地球上物体的运动和宇宙的运动联系了起来，实现物理学的第一次大统一。人造地球卫星绕地球运动是在他们之间万有引力作用下进行的,地球质量远大于卫星质量,所以可以认为是卫星绕地球运动，根据万有引力定律，卫星所受作用力大小为 ，这个引力用来提供向心力，则 ，从内容上看卫星动力学方程揭示了力和卫星运动规律的因果联系，方程式的左边是地球对卫星的万有引力 ，它是产生向心加速度使人造地球卫星作圆周运动的向心力，等式右边的 ，是卫星作圆周运动的向心加速度，它是向心力作用的结果，这一方程的得出为人们认识和研究卫星运动提供了最基本的出发点。 对于氢原子中的电子而言，氢原子中原子核带有一个单元的正电荷，外边有一个电子，带一个单元的负电荷，因此原子核与电子间有库仑引力，其大小等于 ，由于原子核的质量比电子大约1836倍，所以它们的相对运动可以近似地看作只是电子绕原子核的运动。根据库仑定律，他们之间的库仑力为 。 总之，从受力角度分析可知，人造地球卫星和氢原子中电子其所受力是完全相似的，都遵循与距离平方成反比规律。 2 圆周运动轨道半径、速度与周期 当人造卫星绕地球以地球引力为向心力做匀速圆周运动时，根据卫星动力学方程： 可以得出： 由 可得： 由 可得： 由上述结论可知，人造卫星运动快慢（速度、角速度、周期）均与卫星质量大小无关，他们都取决于圆周轨道半径的大小，是圆周轨道半径的函数，卫星一定的状态（速度、角速度、周期）总是与一定的轨道半径相对应。具有相同轨道半径的卫星运动的速度、角速度、周期的大小都是相同的。从轨道半径、角速度（或周期）来分有两种特殊的卫星，一种是近地卫星，一种是同步卫星。所谓近地卫星就是指在地球表面附近运行的卫星，它的轨道半径约为 ，绕行速度最大，约为 ，运行周期最短，约为 [1]。所谓地球同步卫星就是相对于地面静止的，在地球上的人看来它总是停留在地面上空某一位置，它是与地球的自转同步的卫星。因此它与地球的自转有相同的周期T=24小时，且只能位于地球赤道正上空的一个确定的轨道上运行。由 ，可以求得同步地球卫星的轨道半径为： 地球同步卫星速度大小为： 按照玻尔理论对于氢原子中电子其满足的运动方程为： 这些方程表明电子绕核运动快慢（速度、角速度、周期）均与轨道半径有关，是轨道半径的函数。虽然以上式子是根据经典力学和电磁学理论推出，但是我们非常明白，按经典理论，试图说明原子问题就会遇到困难。按经典电动力学，当带电粒子有加速度时，就会辐射电磁波，发射出来的电磁波的频率等于辐射体运动的频率[3]，而氢原子中电子绕核运动是圆周运动，具有向心加速度，他就应连续辐射，但是实际情况不是这样，因为如果原子连续辐射，它的能量就会逐渐降低，电子轨道半径逐渐减小，环绕速度逐渐增加，辐射电磁波的频率就会逐渐增加生成连续光谱，沿螺旋线落到核上，但是从不同的实验测得原子半径都是10-10m的数量级，足见这里的结论与事实不符[2]。另一方面，实验事实是原子光谱是线状谱，这经典理论也是无法解释的。这就说明宏观物理中的理论不能用在原子这样的微观客体上。为了突破经典理论的局限性，玻尔建立了氢原子理论，根据玻尔理论，氢原子中的电子可以实现的轨道不是任意的而是量子化的，必须满足量子化条件： 其中 ，将（6）进行变换可得： 由（5）和（7）联立方程可以得出： 令 则（8）式可以写为 ，在氢原子中电子对应的最小轨道半径为 所对应的轨道半径，即 ；电子在最小轨道上运动时的线速度最大，为 ，角速度也最大，为 ，周期最小，为 。由以上分析可以看出人造卫星和电子的线速度、周期、角速度有如下相似点： （1）卫星或电子的环绕速度都与轨道半径的平方根成反比。 （2）卫星或电子的角速度的平方都与轨道半径的立方成反比。 （3）卫星或电子的周期平方都与轨道半径的立方成正比。 但是二者也有不同之处，主要体现在电子绕核运动的轨道半径是量子化的。 3 能量 人造地球卫星运动是一个包括地球在内的卫星系统的运动，卫星正常运行依靠的是系统本身所提供的机械能，由卫星动力学方程 可得，卫星运动的动能为 。理论研究表明：若以距地球无穷远处为引力势能的零势能位，那么卫星系统的机械能总量就是 ，与重力场中机械能守恒定律类似，在只有引力做功的卫星系统中，只发生动能和引力势能的相互转化，转化过程中系统的机械能总量不变，这便是卫星系统中的机械能守恒定律。从公式 可看出，对于一定的卫星系统来说，卫星在不同的轨道上做稳定的匀速圆周运动时，所具有的机械能大小与轨道半径有关，轨道半径越大，卫星系统的机械能越大，我们不妨将一定的卫星系统中不同的轨道半径所对应的不同的机械能叫这一系统的能级。以最小的轨道半径在地球表面附近运动的卫星处于机械能总量最小的最低能级，不妨称为基础能级。由机械能表达式可知系统的基础能级为 ，根据能量转化守恒定律不难理解，卫星由低能级轨道跃迁到高能级轨道运行，其必然需要获得足够能量，其获得的能量值等于两个不同轨道能级能量差；反之卫星由高能级轨道跃迁到低能级轨道运行，需要降低能量，其降低的值等于两个不同轨道的能量差，这一规律可以说是卫星系统中的能级跃迁规律。利用它我们完全可以推演出地球卫星的宇宙速度，所谓宇宙速度指的是物体脱离地球不同程度的进入太空所需的最小发射速度。在中学物理中，人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度叫第一宇宙速度，也就是卫星处在基础能级时所具有的速度，根据牛顿抛体运动理想实验对发射人造地球卫星的设想，第一宇宙速度也就是发射卫星所须的最小发射速度，由卫星运动方程可得： 第二宇宙速度指的是物体脱离地球成为太阳的卫星的最小发射速度，使卫星脱离地球运行，意味着使卫星获得足够的能量使其跃迁到无穷远的能级，这时卫星引力势能为零，因此其机械能为零，根据卫星系统中机械能守恒定律有： 于是可以求得第二宇宙速度， ， 对于氢原子中电子其能量表达式可以写为 设无穷远处为势能零点，则 由（5）、（9）和（10）联立可得： 由于电子的轨道半径是量子化的，其最低的能量状态能量为 ，在其他各轨道上相对应的能量分别是 ， 称为主量子数。在氢原子问题中，电子与核在库仑力的作用下绕二者共同质心运动，但是由于核的质量远大于电子的质量，近似认为核是不动的，电子的能量代表原子能量，换句话说氢原子能级是指氢原子中电子能级，这两种说法的意义相同，都是氢原子系统的能量，氢原子的能量是电子绕轨道运动的动能加上电子与原子核系统的势能，如果选择无穷远处为电势能零点，则电势能为负值导致电子的总能量也为负值，总能量为负值仅表示电子在该状态中的能量都是小于它脱离原子而静止于无穷远处时的能量，氢原子的能量是负值意味着氢原子体系比较稳定，氢原子能量不能为任意值而只能取由量子数 决定的一系列分立的值，也就是说氢原子能量是量子化的，由 可以计算出相邻两能级的间距为 ，随着 的增加间距减小，氢原子的能级随状态能量的增高越来越密。当 很大时 可以认为能量是连续的。 由以上分析可知： （1） 卫星总能量和电子总能量全部为负值，这就表明二者是稳定的。 （2） 卫星由跃迁时吸收或放出的能量是连续的，其每一轨道所对应的能量也是连续的。电子跃迁时吸收或放出的能量是量子化的，而且每一轨道所对应的能量也是量子化的，只有当 足够大时能量才趋于连续。 4 轨道形状 对于地球卫星来说，以地心为极点，在卫星与地心连线和速度方向所决定的平面内建立极坐标系，由于卫星是在有心力作用下的运动，而这个有心力又是保守力，故满足角动量守恒和机械能守恒两个定律，根据角动量守恒有： ，其中r0为发射时卫星到地心的距离； 为发射时卫星绕地球旋转的角速度，令 取无穷远处引力势能为零，则在任意距离r处的引力势能为 ，卫星的机械能，为： （15）式中 为积分常数，将极轴转一个角度可使 =0，则（15）式可以写为： （16）式就是卫星在地球万有引力作用下的运行轨道方程[3]，将（16）式与极坐标系的圆锥曲线方程 比较可得： （1）地心是地球卫星的一个焦点。 （2） 时卫星轨道与 时的圆锥曲线对应，是一条双曲线。 （3） 时卫星轨道与 时的圆锥曲线对应，是一条抛物线。 （4） ，对应 ，轨道为椭圆。 （5） ，对应 ，轨道为圆。 因此，人造地球卫星的运动轨道是以地心为焦点的椭圆或为圆心的圆。 电子绕着原子核在一个平面上作椭圆运动是二个自由度的运动，按索末菲理论应该用两个量子化条件： 和 式中 是电子的角速度， 是垂直于 的速度分量， 是 方向的速度分量[2]。 这一体系能量， 对每一坐标引用量子化条件 [5]就有 式中 和 都是整数，分别称为角量子数和径量子数。由（17）、（18）和（19）各式可以求得椭圆轨半长轴 和半短轴 的关系和数值： 以上各式中 是主量子数，其中 而 。由此可知，当 时电子的运动轨道为圆形，当 时电子的运动轨道是椭圆。 由以上分析可知：卫星轨道形状是圆形或椭圆形，其大小可以是任意的。而电子轨道形状也是圆形和椭圆形的，但它的大小不是任意的，是量子化的。 5 轨道跃迁 人造地球卫星是利用火箭技术实现轨道间的变换的。下面以人造地球卫星的发射和回收为例来讨论其轨道变换。如下图， 此时卫星在半径为r的圆上运动，满足方程 ，如果卫星到A点时自带的推进器向后喷气，则卫星的速度增加，则 ，由于人造卫星在A点受到的万有引力不足以提供做圆周运动的向心力，人造卫星将做离心运动，从而过度到椭圆轨道。此后人造卫星在万有引力作用下沿椭圆轨道运行，如果在椭圆轨道和大圆轨道公切点B处再次给卫星加速，当速率达到沿大圆做圆周运动所需的速率时，人造卫星就会沿大圆轨道而运行[4]。