线性回归中的相关系数
山东 胡大波
线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法．
一、关于相关系数法
统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当不全为零，yi也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：
r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）．
说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；
（2）另外注意r的大小，如果，那么正相关很强；如果，那么负相关很强；如果或，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱．
下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线．
二、典型例题剖析
例1 测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：
父亲
身高（）
60
62
64
65
66
67
68
70
72
74
儿子
身高（）
63.5
65.2
66
65.5
66.9
67.1
67.4
68.3
70.1
70
（1）对变量y与x进行相关性检验；
（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．
解：（1），，，，，，
，，
所以
，
所以y与x之间具有线性相关关系．
（2）设回归直线方程为，则，
．
故所求的回归直线方程为．
（3）当英寸时，，
所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．
点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型．
例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：
74
71
72
68
76
73
67
70
65
74
76
75
71
70
76
79
65
77
62
72
其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩．
（1）y与x是否具有相关关系；
（2）如果y与x是相关关系，求回归直线方程．
解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得
，，，，．
，．
．
由于，由知，有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系．
（2）y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为，则
，
．
所以y关于x的回归直线方程为．
点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．
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