线性代数练习题,行列式,习题一,行列式的定义

线性代数练习题,行列式,习题一,行列式的定义 精品文档 线性代数练习题,行列式,习题一,行列式的定义 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 2 0?481bb2 2 1abcaxy ca byx?yx x?yxy 1 ?11 ?1;b31 c; c 2 c a a 2 . x?y 1 0?48 解 1 1 / 27 精品文档 ?1 ?1?2??3?0???1?1?8 ?0?1?3?2??8?1?? =?24?8?16?=?4 a bca c a?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc b ?3abc?a?b?c 3 3 3 b c 1 1bb 2 1 c?bc?ca?ab?ac?bac 2 2 2 2 / 27 精品文档 2 2 2 a a 2 ?cb 2 ? x yx?yx 3 2 x?yxy 3 3 3 2 3 3 3 3 / 27 精品文档 yx?y ?xy?yx?yx?y??x ?3xy?y?3xy?3yx?x?y?x ??2 3 3 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数: 1 ; 1 ; 1; 1 ; 1 „ „ ; 1 „ „ . 解逆序数为0 逆序数为4: 1，，， 逆序数为5:， 1，， 1,1 逆序数为3: 1， 1， 逆序数为 n 2 : 1个 ，个 ，，个 „„„„„„„ ，，，„， 个 逆序数为n 1个 ，个 „„„„„„„ ，，，„， 个 1个 ，6个 „„„„„„ „ ，，，„， 个 3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 t 4 / 27 精品文档 a1pa2pa3pa4p，其中t为p1p2p3p4的逆序数(由于 p1?1,p2?3 1 2 3 4 已固定，p1p2p3p4只能形如13??，即1324或1342. 对应的t分别为 0?0?1?0?1或0?0?0?2?2 ??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求. 4.计算下列各行列式: ?4?1??10??0 ??ab ?bd ???bf 1251 2021 ac?cdcf 4??2 ??23? ? ?10? ??7??5?aae?? 5 / 27 精品文档 ?1??de; ??0 ?ef??? ?042 c2?c3 1?1201b?102021 4236 1??1 ?;??2?01c?1 0??0?1??d? 解 4 1251 ?123?123 2021 41 ?1230 ?102?140 1100 4 0c4?7c37 ?102?1410?214 6 / 27 精品文档 c2?c3c1? 12 ? 4?3 =1 4 909017 10?2=0 14 =1 10 c3 2 1?1202 r4?r23 42361?121 ac?cdcf 1 1c4?c2224234 aede?ef 2315 0200 ?b 7 / 27 精品文档 1?1202310 c?cc 42361?120 02024230 ee ?e 315 0200 12 r4?r1 =0 ?ab bd bf =adfb b ?11?11 1 1=4abcdef ?1 =adfbce1 1 a 8 / 27 精品文档 1b?10 01c?1 2?1 001d 1?ab ac?1 ?10 r1?ar2 1?abb?10 c3?dc2 a1c?1 ?10 001d ac?1 ad1?cd 0 ?100 ?100 1 d 1?ab = = 9 / 27 精品文档 5.证明: a 2 3?2 ?ab?1 ad1?cd =abcd?ab?cd?ad?1 aba?b1 b 2 2a 1 2b=; 1 3 xyzx zx; y yz ??; 2 左边? c2?c1c3?c1 10 / 27 精品文档 3?1 a 2 ab?ab?a0 2 b?a 22 2a1 ab?ab?a 2b?2a 0 ? b?a 22 2b?2a 3 ? xayzxa 2 a1 b?a2 ??右边 az?bx 11 / 27 精品文档 y ay?bzaz?bxax?byzxy az?bxax?by ay?bz az?bxax?by ay?bz 左边 按第一列分开 ay?bzaz?bxax?by z ax?by ?bzay?bz yx 分别再分 ay?bzaz?bxax?byyzxx 3 yz x?0?0?bzyy 3 x zxy 2 分别再分 xa 3 12 / 27 精品文档 zxy z yz x?bzyyzx xz x?a 3 yzxa 2222 zx?by 2222 yz yz x?右边 y 2222 a?b?c?d ? 2222 左边? bcd 习题1—1全排列及行列式的定义 123 13 / 27 精品文档 1( 计算三阶行列式456。 789 2( 写出4阶行列式中含有因子a13a24并带正号的 项。 3( 利用行列式的定义计算下列行列式: 0 0?D4?0 4 0030020010 00 1 a11a12a13a14a15 a21a22a23a24a25 ?D5?a31a32000 a41a42000 a51a52000 010?0 002?0 ?Dn???? 000?n?1 n00?0 2x 4( 利用行列式的定义计算f?1 1 14 / 27 精品文档 x10x1?12x1中x4,11xx3的系数。 习题1—2行列式的性质 1( 计算下列各行列式的值: 2141 ?0?121 1202 5062 ?abacae ?bd?cdde bfcf?ef a222 ?b222 c222 d222 2223 a11 2( 在n阶行列式D?a12a22 ? an2?a1n?a2n中，已知aij??aji， ??anna21an1 证明:当n是奇数时，D=0. 3( 计算下列n阶行列式的值: xa?a 15 / 27 精品文档 ?Dax?a n??? aa?x ?a11? ?D11?a2? n??? 11? 11?a1a2an?0? ?an1 习题1—3行列式按行展开 ?3 1( 已知Aij是行列式50043的元素aij的代数余子式，求7A31?2A32的 2?21 值。 1 2( 按第三列展开下列行列式，并计算其值:0 ?1 ?1 3( 计算下列n阶行列式的值 a0?01 0a?00 ?Dn???? 00?a0 16 / 27 精品文档 10?0a 0a1?1b?1?1c?1 1d0 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业班 姓名 学号第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义 一(选择题 1 235 5 ?= 0，则x?[C ] x 1(若行列式1 2 2?2?3 ?x1?2x2?3 2(线性方程组?，则方程组的解= [C ] ?3x1?7x2?4 x23 x 2 3(方程4?0根的个数是[C ] 01 3 17 / 27 精品文档 4(下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有[A ] a15a23a32a44a51a66a11a26a32a44a53a65a21a53a16a42a65 a34a51a32a13a44a65a26(若 N a11ak2a43al4a55是五阶行列式aij的一项，则k,l的值及该项的符号为[ B] k?2,l?3，符号为正; k?2,l?3，符号为负; k?3,l?2，符号为正; k?3,l?2，符号为负 6(下列n阶行列式的值必为零的是 [B ] 行列式主对角线上的元素全为零 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 行列式零的元素的个数多于n个 行列式非零元素的个数小于等于n个 二、填空题 1(行列式 k?12 2k?1 ?0的充分必要条件是 k?3,k??1 2(排列36715284的逆序数是 3(已知排列1r46s97t3为奇排列，则r = ,8,5s =,2, ，t =,5,2 4(在六阶行列式aij中，a23a14a46a51a35a62应取的符号为 。 三、计算下列行列式: 1 18 / 27 精品文档 213 32=11 1(3 2 1 119 14=5 2(3 8 x yx?yx x?yxy ??2 3 3 ,(yx?y 0100 1000 0010 001 ,(=1 00 19 / 27 精品文档 10?00 02?00 ???? 00?n?10 ? n?1 ,(? 0n n! a11 ???? a1,n?1a2,n?1 ?0 a1n0?0 n ,( a21?an1 ? 2 a1na2,n?1?an1 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系专业班 姓名 20 / 27 精品文档 第二节行列式的性质 一、选择题: a11 a12a22a32 a13a33 4a114a31 2a11?3a122a21?3a222a31?3a32 2a13 2a2，则D1?[C ]a33 1(如果D?a21 a31 a23?1，D1?4a21 ?1 ?2424 a11 a12a22a32 a13a33 a11a13 2a31?5a212a32?5a222a33?5a23 3a21 3a22，则D1? [B ]a23 2(如果D?a21 a31 21 / 27 精品文档 a23?3，D1?a12 1 ?18??27 a 2222 2222 2222 2222 3( bcd = [C ] 80 ?二、选择题: 1 1101 1011 0111 ? -3 1(行列式 3421528092 3621530092 22 / 27 精品文档 ? 122460002. 行列式 110 a1a1?xa1a13 2 a2a2a2?x?1 a2 4425?x 2 a3a3a3 a3?x?2 ?0的所有根是0,?1,?2 2(多项式f? 123?x44 3(若方程 133 311 = 0 ，则x??1,x?? 21210 0121 0012? 4(行列式 D? 23 / 27 精品文档 100 三、计算下列行列式: 2 141( 3?121235 6 x a?2( ax? ??a a ? 1214110622r2?r51 1232?0. 2 5 6 2aa??[x?a] n?1 . x 线性代数练习题 第一章 行 列 式 24 / 27 精品文档 系专业班 姓名 第二节行列式按行展开 一、选择题: ?1 01?1?1 x?11?1 1?1?11 1(若A? 111 ，则A中x的一次项系数是[ D] 1?14?4 a1 0a2b30 0b2a30 b100a4 2(4阶行列式 00b4 的值等于 [D ] a1a2a3a4?b1b2b3b a1a2a3a4?b1b2b3b a11a21 a12a22 25 / 27 精品文档 ?a11x1?a12x2?b1?0 ?1，则方程组 ? 的解是 [B ] ?a21x1?a22x2?b2?0 3(如果 x1? b1b2?b1?b2 a12a22 ，x2? a11a21 b1b2?a11?a21 x1???b1?b2 b1b2 a12a22?a12?a22 ，x2? a11a21 b1b2 x1? ?a12?a22 ，x2? x1? ?b1?b2 ，x2?? ?a11?a21 26 / 27 精品文档 ?b1?b2 二、填空题: ?3 00?2 4 中元素3的代数余子式是 1 1( 行列式5 2 27 / 27